Il Principio di Piero della Francesca e il volume della volta a padiglione

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1 Il Principio di Piero della Francesca e il volume della volta a padiglione Flaviano Battelli Dipartimento di Scienze Matematiche Università Politecnica delle Marche Ancona La volta a padiglione è la regione limitata di spazio compresa fra due cilindri dello stesso diametro i cui assi si attraversano perpendicolarmente e che si trova in una delle due regioni in cui lo spazio è diviso dal piano contenente i due assi. La regione compresa fra i due cilindri (senza la limitazione del semispazio) si dice invece (ovviamente) doppia volta. Prendendo un sistema di riferimento (x, y, z) in modo che l asse x sia l asse del primo cilindro e l asse y quello del secondo, i due cilindri avranno equazioni, rispettivamente y 2 + z 2 = r 2 e x 2 + z 2 = r 2 (r =raggio del cilindro) e quindi la doppia volta V è descritta da: ossia V = {(x, y, z) x 2 + z 2 r 2, y 2 + z 2 r 2 }. V = {(x, y, z) z min{ r 2 x 2, r 2 y 2 }, max{ x, y } r}. Per la simmetria del dominio si ha allora vol(v ) = 8 r2 x 2 dxdy D dove D = {(x, y) y x r}

2 2 (notiamo che r 2 y 2 r 2 x 2 r 2 y 2 r 2 x 2 x 2 y 2 r 2 x y r). Quindi, dalle formule di riduzione otteniamo: vol(v ) = 8 = 8 r 2 r x x r r2 x 2 dy dx = 8 2x r 2 x 2 dx (r 2 t) 1/2 dt = (r2 t) t=r 2 3/2 t= = 16 3 r3 = 2d3 3 essendo d = 2r il diametro del cilindro. Dato che d è la misura dello spigolo del cubo circoscritto alla doppia volta, si ottiene il seguente risultato Teorema (Piero della Francesca). Il volume della doppia volta è i due terzi del volume del cubo circoscritto. È interessante presentare una dimostrazione sulla falsariga di quella data da Piero della Francesca che fa uso di un risultato intuito da Piero stesso e che rappresenta una variante profonda del Principio di Cavalieri, principio enunciato più di 1 anni dopo (Piero della Francesca muore nel 192, Cavalieri nasce nel 1598). Teorema (Principio di Cavalieri). Siano V 1 e V 2 due insiemi misurabili e sia Π α, α [a, b] una famiglia di piani paralleli tale che area(v 1 Π α ) = karea(v 2 Π α ) per qualche k R. Allora vol(v 1 ) = kvol(v 2 ) Dimostrazione. Prendiamo un sistema di riferimento in modo che Π α = {(x, y, z) z = α}. Si ha integrando per strati: vol(v 1 ) = dxdydz = V 1 = k b a b area(v 2 Π z )dz = kvol(v 2 ). a V 1 Π z dxdydz = b a area(v 1 Π z )dz In altre parole: Se il rapporto area(v 1 Π α ) : area(v 2 Π α ) non dipende da α allora vol(v 1 ) : vol(v 2 ) = area(v 1 Π α ) : area(v 2 Π α ). Consideriamo il piano Π θ per l asse z di equazione x sin θ y = dove π θ π (questa limitazione corrisponde a considerare punti (x, y) con x y ). Consideriamo

3 3 l intersezione di Π θ con la volta a padiglione. Il risultato è: { z r2 x 2 x sin θ = y Un sistema di riferimento ortonormale nel piano Π θ è dato dai vettori w 1 = (, sin θ, ) = e 1 + sin θe 2 e w 2 = (,, 1) = e 3. I punti di R 3 che soddisfano il sistema { x 2 + z 2 = r 2 x sin θ = y sono del tipo uw 1 +vw 2 = (u u sin θ v) e quindi u, v soddisfano l equazione: u 2 cos 2 θ+ v 2 = r 2 che è l equazione di un ellisse di semiassi r πr2 e r. L area di tale ellisse è L area del rettangolo circoscritto all ellisse è invece r2. Il rapporto fra queste due aree è: π ed è quindi indipendente da θ. Dal Principio di Cavalieri verrebbe naturale congetturare che anche i volumi stiano nello stesso rapporto ossia: ovvero 1 2 vol(doppiavolta) : 1 vol(cubo) = π :. 2 vol(doppiavolta) = π vol(cubo) = π d3 che però non è vero. La conclusione del Principio di Cavalieri von vale se i piani costituiscono un fascio proprio. Si tratta allora di capire come si modifica il Teorema di Cavalieri in questo caso. Consideriamo la trasformazione in coordinate cilindriche: x = u y = u sin θ z = v dove (u, v) R 2 e π < θ π. Il determinante Jacobiano della trasformazione è: u sin θ ( ) det sin θ u u sin θ = det = u sin θ u 1.

4 e quindi, posto V = {(x, y, z) z r 2 x 2, y x r}, si ha vol(v ) = dxdydz = V u dudvdθ W dove W = {(u, v, θ) π θ π, (u, v) S θ} e S θ = {(u, v) u 2 cos 2 θ + v 2 r 2 }. Dalle formule di riduzione otteniamo allora: vol(v ) = u dudv dθ = 2 S θ π π S θ ududv dθ essendo: S θ = {(u, v) u 2 cos 2 θ + v 2 r 2, u }. Di conseguenza: vol(v ) = 2 u S θ area( S θ )dθ = π π u S θ area(s θ )dθ. avendo indicato con G S θ = (u S θ, ) il baricentro di Sθ. Ovviamente la stessa formula vale per ogni superficie S θ contenuta nel semipiano u. Prendendo, invece di Sθ, il rettangolo R θ = {(u, v) u essendo G R θ y }. r, r v r} otteniamo vol(c ) = 2 π u R θ area( R θ )dθ = (ur θ, ) il baricentro del rettangolo R θ e C = {(x, y, z) z r, x Abbiamo visto che area( S θ ) = π area( R θ ) tuttavia, per confrontare i volumi vol(v ) e vol(c ) occorre invece stabilire una relazione fra i prodotti u S θ area( S θ ) e u R θ area( R θ ). Si ha u R θ = r 2 e u S θ area( S θ ) = ududv = S θ Pertanto: r r u R θ area( R θ ) = r 2 v 2 r 2 udu dv = 1 2 2r 2 = r r r 2 v 2 r cos 2 θ dv = r 2 v 2 cos 2 θ dv = r3 cos 2 θ = 3 2 us θ area( S θ ) 2r3 3 cos 2 θ.

5 quindi vol(v ) = 2 u S θ area( S θ )dθ = u R θ area( π 3 R θ )dθ = 2 π 3 vol(c ). Ma come si può calcolare il volume della volta a padiglione senza calcolare gli integrali? Ecco l idea di Piero della Francesca. 1 5 Siano R θ, S θ regioni misurabili di R 2 + = {(ξ, η) ξ } e sia L θ : R 2 R 2 un applicazione lineare (invertibile). Poniamo R θ = L θ (R θ ) e S θ = L θ (S θ ). Supponiamo che i coefficienti l ij θ di L θ varino con continuità rispetto a θ. Si ha: area(s θ) = dudv = detl θ dξdη = detl θ area(s θ ) S θ S θ e: ududv = (l 11 S θ ξ + l 12 θ η) detl θ dξdη = (l 11 θ u S θ + l 11 θ u S θ )area(s θ). θ S θ Allo stesso modo si prova che vdudv = (l 21 θ u S θ + l 22 θ u S θ )area(s θ) S θ Di conseguenza indicando con G S θ e G S θ i baricentri di S θ e S θ: G S θ = L θ (G S θ ) Formule simili valgono, ovviamente, sostituendo S θ con R θ ed S θ con R θ. Supponiamo ora che L θ (ξ, η) = (l 1 θξ, l 12 θ ξ + l 2 θη). con l 1 θ >, l2 θ >. Siano V, V 1 i solidi di R 3 descritti da: V = {(x, y, z) x = u, y = u sin θ, z = v, (u, v) S θ, θ θ θ 1 } V = {(x, y, z) x = u, y = u sin θ, z = v, (u, v) S θ, θ θ θ 1 } W = {(x, y, z) x = u, y = u sin θ, z = v, (u, v) R θ, θ θ θ 1 } W = {(x, y, z) x = u, y = u sin θ, z = v, (u, v) R θ, θ θ θ 1 } 1 Pare che questa idea risalga ad Archimede, creatore del metodo di esaustione, e che Piero della Francesca ne abbia compreso l importanza dandone anche una giustificazione. E da sottolineare che gli scritti di Pitagora erano stati trascritti da altri che spesso non ne comprendevano il contenuto e non davano quindi le dimostrazioni.

6 6 Il principio di Piero della Francesca recita: Risulta: θ area(r θ) : u S θ area(s θ) = u R θ area(r θ ) : u S θ area(s θ) e se tale rapporto è indipendente da θ risulta anche: Dimostrazione. Si ha vol(w ) : vol(v ) = vol(w ) : vol(v ) θ area(r θ) = l 1 θ detl θ u R θ area(r θ ) e, similmente u S θ area(s θ) = l 1 θ detl θ u S θ area(s θ ) da cui si ottiene subito: Supponiamo ora che θ area(r θ) : u S θ area(s θ) = u R θ area(r θ ) : u S θ area(s θ). θ area(r θ) : u S θ area(s θ) = u R θ area(r θ ) : u S θ area(s θ ) = l sia indipendente da θ. Dalla parte precedente otteniamo: e similmente: vol(w ) = vol(w ) = θ area(r θ)dθ = θ θ u R θ area(r θ )dθ = θ lu S θ area(s θ)dθ = lvol(v ) θ lu S θ area(s θ )dθ = lvol(v ) ossia vol(w ) : vol(v ) = vol(w ) : vol(v ) che è quanto si voleva dimostrare.

7 7 Applichiamo il Criterio di Piero della Francesca alle regioni: R = {(ξ, η) ξ r, r η r} S = {(ξ, η) ξ r, ξ 2 + η 2 r 2 } R θ = {(u, v) u S θ = {(ξ, η) u con π θ π e Lθ(ξ, η) = r, r v r} r, u2 cos 2 θ + v 2 r 2 } ( ξ ), η Dato che il rapporto u R area(r) : u S area(s) è ovviamente indipendente da θ (non c è bisogno di calcolarlo!) dal principio di Piero della Francesca si ottiene: vol(w ) : vol(v ) = vol(w ) : vol(v ). Ma W = {(x, y, z) x r, y x, z r} è un quarto del cubo di spigolo r e V è un quarto della doppia volta. Invece W = {(x, y, z) x 2 + y 2 r 2, y x, z r} è un quarto del cilindro di base {x 2 + y 2 r 2 } e altezza 2r e V = {(x, y, z) y x, x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 r 2 } è un quarto della sfera di centro l origine e raggio r. Otteniamo quindi: Pertanto vol(w ) : vol(v ) = vol(cilindro) : vol(sfera) = 2πr 3 : 3 πr3 = 3 2. vol(cubo) : vol(doppiavolta) : vol(w ) : vol(v ) = 3 2 ossia vol(doppiavolta) = 2 3 vol(cubo) = 2 3 d3. Tutto questo senza calcolare un solo integrale!!!