determinazione della terna principale d inerzia nel caso di sistemi piani.

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1 Brevi Note sulla Geometria delle Masse I concetti che verranno introdotti in questa parte saranno: momenti d inerzia; omografia d inerzia e matrice dei momenti d inerzia; terna principale d inerzia; ellissoide d inerzia; determinazione della terna principale d inerzia nel caso di sistemi piani. Verranno poi presentati alcuni esempi riguardanti il calcolo di momenti d inerzia e la determinazione della terna principale d inerzia. Momenti d inerzia Sia S un sistema di N punti materiali (P i, m i ), i =,,..., N. Indicheremo con P o il centro di massa (CM) del sistema e con M = N m i, la massa totale di S. Definizione. Data una retta r, il cui versore è e r, passante per il punto Q, la grandezza I r (Q) = m i [(P i Q) e r ], si dice momento d inerzia del sistema S rispetto ad r. Riferendosi alla figura, [(P i Q) e r ], rappresenta la distanza al quadrato di P i dalla retta r passante per Q (il segmento P i R i ). Pertanto, la definizione è indipende dalla scelta del punto Q r. E facile vedere che I r (Q) >, e I r (Q) = soltanto nel caso particolare in cui tutti i punti P i giacciono sulla retta r. Nel caso di un sistema continuo che occupa un dominio D, la somma si sostituisce con l integrale, ovvero I r (Q) = [(P Q) e r ] dm = [(P Q) e r ] ρdv, D intendendo con dm, la misura di massa che viene espressa come ρdv, con ρ massa per unità di volume (densità di massa) e dv misura di volume. Definizione. Siano dati due piani π e π non paralleli, i cui versori normali sono e π e e π. Sia r la retta tale che r = π π, e sia Q un punto di r. Si definisce il momento d inerzia di S rispetto ai piani π e π come I π π (Q) = D m i [(P i Q) e π ] [(P i Q) e π ]. Analogamente alla definizione di I r (Q), è facile dimostrare che I π π (Q) non dipende dalla scelta del punto Q su r. Infatti, [(P i Q) e π ] (e allo steso modo anche [(P i Q) e π ]) rappresenta la quota (che può essere quindi positiva, negativa o nulla) del punto P i rispetto a π. Come nel caso precedente, se il sistema è continuo la somma andrà sostituita con un integrale (definito sul dominio D occupato da S) che, al solito, farà intervenire ρdv.

2 P i r R i θ i Q e r [( P Q) e ] = PQ sinθ = PR i r r i i i i Figure : Retta r e distanza di P i da r. Teorema (di Huygens). Sia dato il sistema di punti N materiali S. Indichiamo (in accordo con la nostra convenzione) con P o il CM di S. Si ha e I r (Q) = I rpo (P o ) + M [(P o Q) e r ], (.) I π π (Q) = I π,p o π,po (P o) M [(P o Q) e π ] [(P o Q) e π ], (.) dove con r Po si intende una retta parallela ad r, passante per P o, e con π,po, π,po i due piani, paralleli rispettivamente a π e π, la cui retta d intersezione passa per P o. Dim. Si nota che (.) si può anche scrivere come I r (Q) = I rpo (P o ) + Md, essendo d la distanza fra le retta r e la retta r Po, ovvero d = (P o Q)) e r. Ricordando la definizione di CM M (P o Q) = m i (P i Q), (.3)

3 abbiamo I r (Q) = = m i [(P i Q) e r ] = m i [((P i P o ) + (P o Q)) e r ] ( N ) m i [(P i P o ) e r ] + m i [(P o Q)) e r ] }{{} }{{}}{{} I rp (P o) M o { N } + m i [(P i P o ) e r ] [(P o Q)) e r ]. d + L ultimo termine si annulla per definizione di CM (.3), [ N ] m i [(P i P o ) e r ] = m i (P i P o ) e r =. } {{ } = La prima parte del teorema è così dimostrata. La (.) si dimostra con la stessa tecnica, tenendo cioè conto del fatto che N m i (P i P o ) =. Abbiamo infatti I π π (Q) = = m i [(P i Q) e π ] [(P i Q) e π ] m i [((P i P o ) + (P o Q)) e π ] [(P i P o ) + (P o Q)) e π ] = I π,p o π,po (P o) M [(P o Q) e π ] [(P o Q) e π ]. Vediamo adesso alcune proprietà dei momenti d inerzia. Proposizione. Sia S un sistema materiale di N punti e sia S Q : { e, e 3, e 3 } una terna costituita da tre versori fra loro ortogonali, tali che e 3 = e e, centrata sul punto Q. Sia I i (Q), i =,, 3, il momento d inerzia rispetto alla retta e i passante per Q. Allora I (Q) + I (Q) + I 3 (Q) = m i P i Q. Dim. Il generico punto P i è individuato dal vettore (P i Q), che nel sistema S Q è rappresentato da P i Q = x i e + y i e + z i e 3, ovvero dalla terna (x i, y i, z i ). In particolare, osserviamo che P i Q = x i + y i + z i, è una quantità intrinseca e che quindi non dipende da S Q. Applicando la definizione, abbiamo ( m i y i + zi ) + } {{ } I (Q) ( m i x i + zi ) + } {{ } I (Q) ( m i x i + yi ) } {{ } I 3 (Q) = ( m i x i + yi + zi ) } {{ } N m i P i Q (.4) 3

4 Quindi, anche considerando un altra terna S Q diversa da S Q (si che il vettore (P i Q) non sia più rappresentato da (x i, y i, z i )), la relazione (.4) continuerà a valere, nel senso che il secondo membro sarà sempre dato da N m i P i Q. Corollario. Se S giace su un piano π, e Q sta nel medesimo piano, allora, data una generica terna S Q con, e 3 ortogonale a π, si ha I 3 (Q) = I (Q) + I (Q) Dim. Si procede come nel caso precedente, considerando z i =, i =,,..., N. Osservazione. Concludiamo la sezione sottolineando una proprietà importante dei momenti d inerzia: l additività rispetto alle masse. Se un sistema S è composto da due sottosistemi S e S, tali che S S =, e S S = S, allora, definendo con I S i r (Q), I S i π,π (Q), i =,, i momenti d inerzia dei sottosistemi S i, abbiamo I r (Q) = I S r (Q) + I S r (Q), (.5) I π,π (Q) = I S π,π (Q) + I S π,π (Q). (.6) Evidentemente la (.5) e la (.6) si generalizzano banalmente al caso in cui S sia componsto non solo da ma n > sottosistemi purché tra loro non si intersechino e purché la loro unione dia S. Omografia d inerzia, matrice d inerzia e terna principale d inerzia Definizione 3. Sia S il sistema di punti materiali, e sia dato un punto Q. Sia poi V lo spazio vettoriale definito sullo spazio affine. Su V si definisce il seguente operatore linere, detto omografia d inerzia, σ (Q) : V V che opera così, v V σ(q) σ (Q) v = Si osserva che in base alla nota formula ( ) A B C σ (Q) può anche essere così definto m i (P i Q) [ v (P i Q)]. = B ( ) A C C ( ) A B, σ (Q) v = ] m i [ P i Q v ( v (P i Q)) (P i Q). (.) Proposizione. L operatore σ (Q) gode delle seguenti proprietà:. v σ (Q) v = I v (Q) v, dove I v (Q) è il momento d inerzia rispetto alla retta passante per Q parallela a v. 4

5 . Se u e v sono due vettori non paralleli u σ (Q) v = I π v π u (Q) v u + i m i P i Q u v, I π v π u (Q) è il momento d inerzia rispetto ai due piani π v, e π u, rispettivamente ortogonali a u e v, la cui retta d intersezione passa per Q. Dim. La dimostrazione dei punti. e. si effettua facilmente sfruttando la formula (.). Infatti, per quanto riguarda il punto, ricordando che v (P i Q) = v P i Q cos θ i essendo θ i l angolo fra (P i Q) e v, si ha v σ (Q) v = = m i P i Q v ( cos ) θ i }{{} sin θ i ( N ) m i [(P i Q) e v ] v, } {{ } I e v (Q) dove e v vettore unitario parallelo a v. Analogamente, partendo dalla (.) e ricordando la definizione, il punto è facilmente dimostrabile. La conseguenza della proposizione è la seguente: σ (Q) definsice una forma bilineare simmetrica definita positiva. La simmetria è banale da dimostrate come il fatto che v σ (Q) v >, se v, e che v σ (Q) v =, solo se v = (si esclude qui il particolarissimo caso in cui i punti di S giacciono sulla retta passante per Q e parallela al vettore v). Data adesso una terna ortonormale S Q : { e, e 3, e 3 }, centarta in Q, possiamo rappresentare σ (Q) tramite la matrice simmetrica I Q I I I 3 I Q = I I 33 I 3 I 3 I 3 I 33 i cui elementi si determinano così I jk = e j σ (Q) e k, j, k =,, 3. Evidentemente, gli elementi I ij della matrice, detta matrice d inerzia, dipendono dalla praticolare terna S Q scelta. Pertanto, se il generico vettore (P i Q) si rappresenta nel sistema S Q come P i Q = x i e + y i e + z i e 3, la matrice I Q assumerà (rispetto a S Q ) questa forma i m ( i y i + z ) i i m ix i y i i m ix i z i I Q = i m ix i y i i m ( i x i + zi ) i m iz i y i i m ix i z i i m iz i y i i m ( i x i + yi ). (.) 5

6 Se, invece di S Q, avessimo considerato un altra terna S Q : { e, e 3, e 3 }, avremmo ottermo un altra matrice I Q, che rappresenta l operatore σ (Q) rispetto S Q. In particolare, le matrici I Q e I Q sono legate da I Q = BI Q B T, dove B è la matrice ortogonale (cioè B T = B ) del cambio di base. In particolare, data la proprietà di simmetria di I Q (che ovviamente discende dalla proprietà di σ (Q)), è possibile determinare una particolare terna, detta terna principale d inerzia, rispetto alla quale la matrice d inerzia è diagonale, ovvero I Q = I I I 3 I versori che costituiscono la terna principale d inerzia (centrata in Q) sono detti assi principali d inerzia, ed i momenti I, I, I 3, momenti principali d inerzia. I vettori unitari e i, i =,, 3, della terna principale d inerzia, sono gli autovettori dell operatore σ (Q). Infatti, se un generico vettore v è parallelo ad una autovettore di σ, allora viene trasportato da σ (Q) in un altro vettore, σ (Q) v, che sarà parallelo a v stesso, ovvero σ (Q) v = I i v, con l evidente significato del momento I i : autovalore corrispondente all autovettore e i. Data una generica terna S Q : { e, e 3, e 3 }, centarta in Q, rispetto alla quale l operatore σ (Q) è rappresentato dalla matrice I Q, la determinazione della terna principale d inerzia si fa diagonalizzando I Q, ovvero ricercando gli autovettori di I Q stessa. Tale procedimento può essere talvolta lungo. Si preferisce allora seguire (quando possibile) alcune scorciatoie che permettono di individuare subito una terna principale d inerzia a partire dalle proprietà geometrico-materiali di S. Osservazione. Sia data S Q : { e, e 3, e 3 }, tale che e 3, per esempio, è asse principale d inerzia, allora I 3 = I 3 =. Viceversa, se I Q è la matrice d inerzia rispetto a S Q, ed è tale che I 3 = I 3 =, allora l asse e 3 è asse principale d inerzia. La dimostrazione di tali affermazioni è molto semplice. Infatti se e 3 è asse principale d inerzia, allora I Q e 3 = I 3 e 3 ovvero Del resto, in generale, I Q = I Q I I I 3 I I 33 I 3 I 3 I 3 I 33 I I I 3 I I 33 I 3 I 3 I 3 I 33 = I 3... Avremo quindi = da cui, per banale confronto, discende I 3 = I 3 =. Se invece I Q ha questa forma I Q = I I I I 33 I 33 6, I 3 I 3 I 33,

7 applicando I Q ad ogni vettore del tipo β e 3 (parallelo all asse e 3 ) I I I I 33 = I 33 β I 33 β si ottiene un vettore ancora parallelo ad e 3. L asse e 3 è dunque asse principale d inerzia. Evidentemente, tale ragionamento resta valido anche se, invece dell asse e 3, avessimo scelto l asse e, oppure l asse e. Definizione 4. Dato un sistema S di N punti materiali, un piano π si dice piano di simmetria materiale se per ogni punto materiale P i i =,,..., N, ne esiste un altro, avente la stessa massa, disposto in posizione simmetrica rispetto a π. Proposizione 3. Sia S un sistema di punti materiali e sia π un piano di simmetria materiale. Sia inoltre Q un punto di π. Allora una retta passante per Q e perpendicolare a π, è asse principale d inerzia. Dim. Consideriamo una generica terna S Q : { e, e 3, e 3 } con e 3, perpendicolare al piano che, senza perdere in generalità, sarà dato da z =. Rifacendosi all osservazione, per provare che e 3 è asse principale d inerzia, è sufficiente mostrare che I 3 = I 3 =. Se P i Q = x i e + y i e + z i e 3, possiamo raggruppare i primi N/ punti come quelli caratterizzati da z i, e i rimanenti N/ come i loro simmetrici (la cui coordinata rispetto ad e 3 è z i ). Quindi, ricordando la (.), abbiamo, N/ N/ I 3 = m i x i (z i z i ) =, e I 3 = m i y i (z i z i ) =. Corollario. Se S è un sistema piano (tutti i punti giacciono su un piano) allora, comunque sia dato Q sul piano, una retta perpendicolare al piano e asse principale d inerzia. Dim. Possiamo considerare, per esempio, z = il piano su cui giacciono tutti i punti di S. Di conseguenza P i Q = x i e + y i e, i =,,...N. E facile provare che I 3 = I 3 =, e che quindi e 3 è asse principale d inerzia. Proposizione 4. Sia Q coincidente con P o, CM di S. Sia S Q : { e, e 3, e 3 }, terna principale d inerzia. Dato un qualsiasi punto A appartenente ad uno degli assi di S Q (ovvero (A Q) parallelo a e, oppure ad e, oppure ad e 3 ), allora la terna { e, e 3, e 3 } centrata in A, che si denota con S A, è terna principale d inerzia. Dim. Incominciamo col considerare un punto A qualsiasi (A Q) = x A e + y A e + z A e 3. Il sistema S Q : { e, e 3, e 3 } è terna principale d inerzia, per cui I I Q = I. I 3 Consideriamo adesso la terna S A centrata in A, e applicahiamo il teorema di Huygens. Avremo I + M ( ya + ) z A Mx A y A Mx A z A I A = Mx A y A I + M ( x A + ) z A My A z A Mx A z A My A z A I 3 + M ( x A + ) (.3) y A 7

8 Quindi, se, per esempio, A giace sull asse e (sì che y A = z A = ), avremo I A diagonale, come del resto se A giace sull asse e o sull asse e 3.. Ellissoide d inerzia Sia dato il sistema di punti materiali S. Fissata una generica direzione individuata dal versore w, w =, il momento d inerzia di S rispetto alla retta avente direzione w, passante per Q, è dato da (proposizione, punto ) I w (Q) = w σ w. (.4) Consideriamo adesso il vettore W parallelo a w, dato da W = I w (Q). Dalla (.4) abbiamo W σ W =. I w (Q) w. Evidentemente W = Ora fissiamo una generica terna ortonormale S Q : { e, e 3, e 3 }, centrata in Q. Rispetto a S Q, il vettore W avrà componenti W = ξ e + η e + ζ e, (.5) tali che ξ + η + ζ = I w (Q). Inoltre, sempre rispetto a S Q, l omografia d inerzia σ, sarà rappresentata dalla matrice I I I 3 I Q = I I 33 I 3. I 3 I 3 I 33 Di conseguenza ovvero = W ( σ W ) = ξ η ζ I I I 3 I I 33 I 3 I 3 I 3 I 33 I ξ + I η + I 3 ζ + I ξη + I 3 ξζ + I 3 ηζ =. (.6) L equazione (.6) è l equazione di una superficie (ellissoide), detto ellissoide d inerzia, centarta in Q. Quindi, data comunqe una direzione w, il vettore W = w, le cui generiche componenti sono I w (Q) specificate dalla (.5), individua un ben preciso punto geoemtrico che giace sulla superficie (.6). E ovviamente vero anche il viceversa. Ad ogni punto A che giace sulla superficie (.6), e che è individuato da una generica terna (ξ, η, ζ), possiamo associare il vettore W = (A Q) = ξ e + η e + ζ e. La norma di tale vettore ha un ben preciso significato fisico: A Q = W = ξ + η + ζ = ξ η ζ, I w (Q). (.7) Ora, i punti che stanno la superficie (.6), si trovano a varie distanze dal centro Q. In particolare, i due punti che si trovano in corrispondenza dell asse maggiore sono quelli che si trovano a maggior I punti si troveranno tutti alla stessa distanza da Q nel caso in cui l ellissoide è una sfera. 8

9 distanza da Q, ossia quelli per cui A Q = ξ + η + ζ è la più grande possibile. Allo stesso modo i due punti che stanno sull asse mimore sono quelli che si trovano a minor distanza da Q, ossia quelli per cui A Q = ξ + η + ζ è la più piccola possibile. Detti dunque A max e A min i punti dell ellessoide che si trovano in corrispondeza dell asse maggiore e dell asse minore, per ogni punto A che giace sull ellissoide, varrà A min Q A Q A max Q. Ma allora, dalla (.7), data una generica direzione individuata da w, abbiamo che A min Q I w (Q) A max Q, ossia A max Q I w (Q) A min Q. Questo vuol dire che il momento d inerzia di un sistema S rispetto alla retta per Q avente direzione w, è limitato dall alto e dal basso. Non solo, ma, fissato Q, al variare della direzione w, il momento d inerzia ha un massimo ed un minimo. Il massimo è ottenuto quando la direzione w corrisponde alla direzione dell asse minore dell ellissoide mentre il massimo quando la direzione w è parallela all asse maggiore dell ellissoide. 3 Determinazione della terna principale d inerzia nel caso di sistemi piani Supponiamo che tutti i punti materiali di S giacciano su un piano che, senza perdere in generalità, può essere il piano z =. Fissiamo poi un punto Q (giacente su z = ) ed una terna S Q : { e, e, e 3 }, tale che il versore e 3 sia perpendicolare al piano z = (e pertanto, corollario, è asse principale d inerzia). I punti P i di S avranno coordinate (P i Q) = x i e + y i e, i =,,.., N. Riferendoci sempre a S Q e limitandoci solo alle due componenti piane, la matrice d inerzia sarà ( ) I I I Q =. I I Il problema che ci poniamo è il seguente: determinare un nuovo sistema S Q : { e, e, e 3}, con e e e ruotati di un angolo α rispetto a e ed e, in modo che S Q sia terna principale d inerzia. Evidentemente, π α π. Nel seguito presentiamo alcuni metodi per individuare l angolo α, in modo tale che S Q risulti terna principale d inerzia. METODO DEL CERCHIO DI MOHR Riferendoci alla figura, S Q indica il sistema {x, y}, mentre S Q il sistema {X, Y }. Nel sistema S Q la matrice d inerzia è data da ( ) J J J Q =. J J Ora, è facile vedere che { X = x cos α + y sin α Y = x sin α + y cos α ( X Y 9 ) ( ) cos α sin α = sin α cos α }{{} B ( x y ).

10 Y y X Q α x Figure : Sistema (X; Y ) ruotato di α rispetto a (x, y). La relazione che lega I Q a J Q è la seguente J Q = B I Q B T Q. Sostituendo otteniamo J = I + I J = I + I I I + I I cos α + I sin α, cos α I sin α, (3.) J = I I sin α + I cos α, dove abbiamo sfruttato le formule di duplicazione: sin cos α α =, cos + cos α α =. Se selezioniamo la (3.) e la (3.) 3, abbiamo, nel piano (J, J ), una curva definita tramite il parametro α, π α π, J = I + I I I cos α + I sin α, J = I I sin α + I cos α. Tale curva rappresenta una circonferenza, detta cerchio di Mohr (v. figura 3), di raggio (I I R = ( I + I ed il cui centro nel piano (J, J ) ha coordinate ) + I, ),.

11 J I I ( ) R = + I R J m J M I + I, J Figure 3: Cerchio di Mohr. Quindi, l angolo α per cui S Q è principale d inerzia, è quello per cui J =, ovvero I I sin α + I cos α =, tan α = I I I. (3.) In corrispondenza di tali angoli (gli angoli α che soddisfano la (3.) sono due e sono separati da π/) J assume valore massimo J M = I + I + (I I ) + I, (3.3) o minimo J m = I + I (I I Notiamo che gli autovalori di I Q sono ottenuti dall equazione le cui soluzioni sono proprio le (3.3), (3.4). det (I Q λi) =, (I λ) (I λ) I =, METODO DEL PRODOTTO VETTORIALE ) + I. (3.4) Se il versore u è parallelo ad un autovettore di σ (Q), allora σ (Q) u è parallelo ad u stesso, per cui u σ (Q) u =. (3.5) Quindi, fissata una generica terna S Q, rispetto alla quale u ha la seguente espressione u = cos α e + sin α e, (3.6)

12 avremo σ (Q) u = ( I I I I ) ( cos α sin α ) = (I cos α + I sin α) e + (I cos α + I sin α) e. Pertanto ( I I u σ (Q) u = da cui, imponendo la (3.5), si ottiene nuovamente la (3.). METODO DELLA DERIVAZIONE ) sin α + I cos α e 3, Il metodo consiste nello sfruttare il fatto (messo in luce nella sezione dedicata all ellissoide d inerzia) che, fissato Q, una direzione u è asse principale d inerzia se il momento d inerzia rispetto ad essa è massimo o minimo, o comunque stazionario. Quindi, se u è una generica direzione data da (3.6), avremo I u (Q) = u σ (Q) u = = I + I ( cos α sin α (I I ) ) ( I I I I cos α + I sin α. ) ( cos α sin α Quindi, I u (Q) risulta una essere una funzione di α. Ricercando gli angoli α che rendono stazionaria tale funzione, imponiamo di u (Q) =, da cui si ottiene, ancora una volta, la (3.). dα )

13 4 Esempi. Determinare il momento d inerzia di un anello omogeneo di massa M, raggio R e spessore trascurabile, rispetto ad una retta passante per il centro e ortogonale al piano dell anello. Applicando semplicemente la definizione si ha I = MR.. Determinare la matrice d inerzia di un disco omogeneo di massa M, raggio R rispetto ad una terna centrata nel centro deldisco, il cui asse z è perpendicolare al piano del disco (v. figura 4). z y Q R x Figure 4: Disco omogeneo di massa M e raggio R. L asse z è asse principale d inerzia così come lo sono l asse x e l asse y (v. proposizione 3). Per determinare I 3 (momento rispetto a z) si ricorre all osservazione, immaginando di suddividere il disco in un inifinità di anellini di raggio r, < r < R, e spessore infinitesimo dr. La massa infinitesima di ciascun anellino sarà dm = κπrdr essendo κ la massa per unità di superficie (densità superficiale di massa) κ = M πr. Avremo I 3 = R r dm = πκ R r 3 dr = MR. Inoltre, dal momento che I x = I y, per ovvie ragioni di simmetria, sfruttando il corollario avremo I x = MR, I x = I y = MR 4. La matrice d inerzia sarà dunque MR 4 MR I Q = 4 MR 3. (4.)

14 3. Determinare il momento d inerzia di un segmento di massa M, lunghezza L, rispetto ad una retta ortogonale al segmento stesso passante per il suo centro. Anche in questo caso si ricorre all osservazione, considerando il segmento come l unione di massettine infinitesime dm, la cui posizione sulla retta individuata dal segmento, è identificata con la coordinata x, L/ < x < L/, essendo x = il centro del segmento. Introducendo la massa per unità di lunghezza λ = M/L, possiamo scrivere dm = λdx, e quindi, il momento d inerzia rispetto ad una qualunque retta passante per il centro del segmento e ad esso ortogonale sarà I = L/ L/ x λdx = ML. 4. Determinare la matrice d inerzia di una lamina rettangolare omogenea di massa M e lati a e b, rispetto ad una terna {x, y, z}, centarta in Q, come in figura 5. z y Q b a x Figure 5: Lamina rettangolare omogenea di massa M. L asse z è asse principale d inerzia, mentre gli assi x e y lo sono perchè ortogonali a piani di simmetria materiale (proposizione 3). Iniziamo col calcolare il momento d inerzia rispetto all asse y, I y.seguendo ancora l osservazione si suddivide il rettangolo in un infinità di sbarrette di lunghezza b e spessore infinitesimo dy. La massa di ciscuna sbarretta infinitesima sarà dm = κbdy, con κ = M, densità superficiale di massa. Il momento d inerzia infinitesimo del segmento che si trova ab a coordinata y, a/ < y < a/, sarà b b3 Mb dm = κ dy = I y = Mb a/ a/ 4 dy a = Mb. dy, per cui a

15 Con lo stesso procedimento si prova che I x = Ma, per cui, applicando il corollario, si ha Ma I Q = Mb M ( a + b ). 5. Determinare la matrice d inerzia di una semidisco omogeneo di massa M e raggio R, rispetto ad una terna {x, y, z}, centarta in Q, come in figura 6. z y Q R x Figure 6: Semidisco di massa M. L asse z è asse principale d inerzia, così come l asse x (perchè ortogonale ad un piano di simmetria materiale. Il terzo asse sarà di conseguenza asse principale d inerzia. Per calcolare I z, si ricorre ancora all osservazione notando che il momento d inerzia rispetto all asse z di un disco di massa M è il doppia di I z. Avremo così I z = MR, I z = MR. Allo stesso modo, I x è il momento d inerzia di un disco di massa M rispetto all asse x, La matrice I Q è quindi identica alla (4.). I x = MR, I x = MR Data una lamina piana omogenea, a forma di triangolo isoscele, avente massa M, base a ed altezza h, determinare il momento d inerzia rispetto ad una retta ortogonale alla base e passante per il vertice del triangolo (retta r in figura 7 (I)). 5

16 r y () () B h A a a/ ( I ) ( II ) x Figure 7: Lamina piana omogenea a forma di triangolo isoscele. Si indica con I il momento d inerzia che vogliamo determinare. La figura 7 (II) rappresenta la metà del triangolo isoscele, ovvero un triangolo rettangolo di base a/ ed altrezza h, la cui massa è M/, ed è indicato con A. Il momento della lamina A, rispetto alla retta () (v. ancora figura 7 (II)) si indica con I () A. Ricordando ancora l osservazione, avremo I = I () A. (4.) Ora consideriamo il rettangolo (che denotiamo con A B) di figura 7 (II), dato dal triangolo A, e dal triangolo virtuale B. Il momento d inerzia del rettangolo A B (avente massa M e lati h e a/) rispetto alla retta () sarà I () A B = I() A + I() B, (4.3) dove I () B rappresenta il momento d inerzia del triangolo virtuale B rispetto alla retta (). Quest ultimo sarà uguale al momento d inerzia di A rispetto alla retta (), I () A Quindi tornando alla (4.3) si ha I () B = I() A., ovvero I () A B = I() A + I() A, (4.4) dove sappiamo quanto vale I () A B (è sufficiente ricordare l esempio 4 ed il teorema di Huygens) ( a/ I () A B = M (a/) + M ) = M 3 (a/). (4.5) Dobbiamo quindi valutare sia I () A, che I() A. Anche qui si ricorre al teorema di Huygens sfruttando il fatto che, riferendoci al sistema di riferimento {x, y} indicato in figura 7 (II), il CM del triangolo A ha 6

17 ( a/ le coordinate 3, h ). Pertanto, indicando con IA CM il momento d inerzia di A rispetto alla retta 3 passante per il CM e parallela alla retta (), abbiamo I () A = ICM A + M ( ) a/. 3 e I () A = I CM A + M ( a/ ) = I () 3 A M ) = I () A + M ( (a/) }{{} 3 Inserendo queste ultime due formule nella (4.4) si ha da cui, ricordando anche la (4.5), E infine, dalla (4.), I () A ( a/ I () A B = I() A + M 6 (a/). 3 ) + M = I () A + M 6 (a/). = I() A B M 6 (a/) = M 6 (a/). ( a/ ) = 3 I = Ma 4. Ovviamente il procedimento qui illustrato non è l unico per determinare I, ma ha il pregio di far spesso ricorso al teorema di Hugens e all osservazione. 7. Data una lamina omogenea quadrata di massa M e lato a, dimostrare facendo uso del metodo del cerchio di Mohr che, dato un qualunque punto A sulle diagonali del quadrato, un base { e, e } è principale d inerzia se { e, e } sono paralleli alle diagonali del quadrato. Riferendoci alla figura 8, si indica con S Q il sistema { E, E } centrato in Q, mentre con S A sistema { E, E } centrato in A. S Q è principale d inerzia e, rispetto ad esso, la matrice ( ) d inerzia è Ma I Q = Ma. Fissato un generico punto A, in generale S A non sarà principale d inerzia. Infatti la matrice d inerzia è data da (v. formula (.3)) Ma I A = + My A Mx A y A Ma. Mx A y A + Mx A Dobbiamo adesso individuare l angolo α di cui ruotare S A al fine di ottenere un nuovo sistema S A : { e, e }, che sia principale d inerzia. Ricordando la (3.) abbiamo M x A y A sin α Mx A y A cos α =. 7

18 e A e α E Q E Figure 8: Quadrato omogeneo. Ora se A giace su una diagonale del quadrato vale x A = ±y A, per cui la formula precedente diventa ±MyA cos α =, le cui due soluzioni sono: α = π 4, e α = π 4 + π. Quindi S A è principale d inerzia se { e, e } sono paralleli alle diagonali del quadrato. 8