Esercizi di Analisi Matematica II assegnati nell A.A. 2011/12. Corsi di laurea in Ingegneria Elettronica ed Informatica

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1 Esercizi di Analisi Matematica II assegnati nell A.A. 2011/12 Corsi di laurea in Ingegneria Elettronica ed Informatica 1) Rappresentare nel piano xy i campi di esistenza delle seguenti funzioni: a) xy x, b) log(1 xy 2 ), c) x 2 y y 2, d) log(2x 2 + xy y 2 ). 2) Calcolare nel punto ( 2, 1) la derivata direzionale della funzione in 1b) nella direzione della retta 2y x = 4, orientata nel verso delle x crescenti. 3) Si considerino le funzioni nulle nell origine che nei punti (x, y) (0, 0) sono definite dalle seguenti leggi, e se ne studino, nell origine, le derivate parziali e la derivata nella direzione della retta y = x, orientata nel verso delle x crescenti. a) x 2 y x 2 + y 2, b) x 2 + y 4, c) sin(xy) x 2 + y 2, d) y 3 x4 + y 4. 4) Determinare, qualora esista, l equazione del piano tangente al grafico della funzione f(x, y) = x 2 + xy + 2y 2 nei seguenti punti: a) (1, 1, 2) b) (0, 0, 0) 5) Determinare i punti di minimo e di massimo locale delle seguenti funzioni: a) xy x2 1 3 y3, b) x 2 y 3, c) 1 2 x + y x2 y 2, d) x 2 y 2xy 2, e) log(y x 2 ) + (2x/y) 6) Stabilire se l origine è un punto di estremo locale per le seguenti funzioni: a) x 2 y + y 3, b) x 2 + y 2 cos x, c) y 2 x 4, d) y 2 2x 2 y + 2x 4. 1

2 7) Determinare i valori di estremo assoluto di f su E nei seguenti casi. a) f(x, y) = x 2 + y 2 2y, E = {(x, y) IR 2 : x 2 y 2 x 2 } b) f(x, y) = 2y 3 x 2 y 2, E = triangolo di vertici (0, 0), (2, 0), (1, 1) c) f(x, y) = xy x 2 log y, E = [0, 2] [1, e] d) f(x, y) = x 2 + y 2 y 2, E = {(x, y) IR 2 : 1 2 (x2 1) y 1} e) f(x, y) = ye x, E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 2, y 0} f) f(x, y) = xy 2y, E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 2x, y x} g) f(x, y) = arctg 4 x 2 + y 2, E = [1, 2] [0, 5] h) f(x, y) = x 3 y, E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 4, 0 y 2 x} i) f(x, y) = x + xy, E = {(x, y) IR 2 : 3x 2 + y 2 3, y x + 1} j) f(x, y) = xy 2, E = {(x, y) IR 2 : 1 x 2 + y 2 2x} 8) Determinare, qualora esista, l equazione della retta tangente alla curva Γ = {(x, y) IR 2 x 3 + y 4 = 2xy} nel punto (1, 1). 9) Sia Γ = {(x, y) IR 2 x e 3 xy = 4y}: determinare gli eventuali punti di Γ in cui la retta tangente è parallela all asse x. 10) Determinare i valori di estremo assoluto della funzione f(x, y) = x+y sulla circonferenza di equazione x 2 + y 2 = 2x ) Sia Γ l arco di iperbole Γ = {(x, y) IR 2 : x 2 y 2 = 1, 0 x 2}. Determinare i punti di Γ a distanza minima e massima dal punto (0, 1). 12) Un triangolo isoscele (simmetrico rispetto all asse y) è inscritto nell ellisse di equazione 4x 2 + 3y 2 = 12, ed ha un vertice nel punto (0, 2). Quanto può valere, al massimo, la sua area? 2

3 13) Calcolare f(x, y) dxdy, dove f ed E sono dati come segue. E a) f(x, y) = 1 + x 2, E = triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (1, 1) b) f(x, y) = x 3, E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 1, y x } c) f(x, y) = y, E = {(x, y) IR 2 : x y 2, 0 y 2 x} d) f(x, y) = sin(x 2 y 2 ), E = triangolo di vertici (1, 0), (2, 2), (0, 1) e) f(x, y) = x 2 (1 + y 2 ) 1, E = {(x, y) IR 2 : x 0, x 3 y 1} f) f(x, y) = xe 2y, E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 1, y x/ 3} g) f(x, y) = x, E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 4x 3, y 0} h) f(x, y) = y 1 log(2 xy), E = {(x, y) IR 2 : 0 xy 1, 1 y 2} i) f(x, y) = x (1 + y) 1, E = {(x, y) IR 2 : 1 x 2 + y 2 4, y 0} j) f(x, y) = x 2, E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 2, x 1} k) f(x, y) = (y + xy 2 ) 1, E = {(x, y) IR 2 : 1 y x, xy 3} l) f(x, y) = 4 x 2 y 2, E = {(x, y) IR 2 : 1 x 2 + y 2 2y} 14) Si calcoli l area dei seguenti insiemi, utilizzando: in a) la sostituzione ξ = 2x + y, η = x + 2y, in b) le coordinate polari riferite all origine. a) E = {(x, y) R 2 : 2x + y x + 2y 2} b) E = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 2x + y, 0 y x} 15) Sia E = {(x, y) IR 2 : y 2 2x 3 x 4, x 1}: tramite la sostituzione ξ = x, η = y/x si calcoli E x 1 dxdy. 3

4 16) Calcolare il volume dei seguenti solidi: a) E = {(x, y, z) IR 3 : x 2 + y 2 4, z y} b) E = {(x, y, z) IR 3 : 0 z 1, 0 y z 2 x 2 } c) E = {(x, y, z) IR 3 : x 2 + z 2 1, y 2 + z 2 1} d) E = {(x, y, z) IR 3 : x 2 2x z 3 y 2, x 1} 17) Nei seguenti casi, calcolare il volume del solido generato dalla rotazione di A attorno agli assi indicati a lato. a) A = {(x, y) IR 2 : 1 y 2, y x }, asse x b) A = {(x, y) IR 2 : 0 x π/2, 0 y cos x}, entrambi gli assi c) A = {(x, y) IR 2 : x 2 + y 2 3 2x, x 0}, asse y 18) Calcolare i baricentri dei seguenti solidi a) E come in 16a b) E = {(x, y, z) IR 3 : 1 x 2 + y 2 + z 2 4, z 0}. 19) Calcolare f(x, y, z) dxdydz, dove f ed E sono dati come segue. E a) f(x, y, z) = z 3, E = {(x, y, z) IR 3 : x 2 y 1, 0 z 1 y} b) f(x, y, z) = xy, E = {(x, y, z) IR 3 : x 2 + y 2 + z 2 4, 0 y x} c) f(x, y, z) = x 1, E = {(x, y, z) IR 3 : x 2 + y 2 + 4z 2 4x} 20) Determinare,qualora esista, la retta tangente alla curva di equazione polare ρ = e θ, θ IR, nel punto (1, 0). 21) Calcolare la lunghezza dell arco γ(t) = (t 3, (4 t 2 ) 3/2 ), t [0, 2]. 4

5 22) Sull arco dell esercizio precedente si determini un punto che lo divida in due archi di uguale lunghezza. 23) Calcolare γ yexy dy, dove la traccia di γ è definita dalle condizioni x 2 = e xy, 1 x e, ed il suo verso di percorrenza è quello in cui cresce x. 24) Calcolare γ x4 ds, dove γ(t) = (2e t/2, t 1 2 et ), t [0, log 2]. 25) Calcolare F (u) du, dove γ è il segmento che va da (0, 2) a (2, 1) γ ed F (x, y) = (x + y, 2x y). 26) Calcolare γ F (u) du, dove γ(t) = (t2 log t, t), t [1, e], ed F (x, y) = (x y 2, x/y). 27) Calcolare F (u) du, dove E è il trapezio del piano xy definito + E dalle condizioni 0 y 2 x, y 1 ed F (x, y) = (2y + cos x, x 4 sin y). 28) Calcolare l area della regione piana racchiusa dall arco γ e dal segmento che ne congiunge gli estremi, nei seguenti due casi: a) γ(t) = (cos(πt), t t 2 ), b) γ(t) = (te t 1, te 1 t ), t [0, 1]. 29) Calcolare l area della regione piana racchiusa dall arco γ di equazione polare ρ = sin 2 θ, θ [0, π]. 30) Posto F (x, y) = ( 4 x 3 + 3y, x y 4 e 2y ) e γ(t) = (cos t, 2 + sin t), t [0, 2π], calcolare F (u) du. γ 31) Posto F (x, y) = (y 3 y log x, 3xy 2 x log x) e γ(t) = (1+2 cos t, 2 sin t), t [ π/2, π/2], calcolare F (u) du. γ 32) Stabilire se i seguenti campi vettoriali risultano conservativi e, in caso affermativo, calcolarne un potenziale. Salvo diversa indicazione a lato, si consideri ciascun campo definito sul suo dominio di esistenza. a) F (x, y) = (x + 2y, y 2x), b) F (x, y) = (x + xy 2, y 2 + x 2 y), c) F (x, y) = (y log y, x + x log y), d) F (x, y) = (1 xy) 1/2 (y 2, 3xy 2), e) F (x, y) = (x + y) 2 (y 2, x 2 ), x + y > 0. 5

6 33) Nei casi che seguono, stabilire se F è conservativo sul proprio dominio di esistenza, sapendo che ivi risulta irrotazionale. a) F (x, y) = (x 2 + y 2 ) 3/2 (x, y), b) F (x, y) = (x 2 + y 2 ) 1 (x + 2y, y 2x). 34) Nei casi che seguono, calcolare F (u) du, sapendo che F è irrotazionale sul proprio dominio di γ esistenza. a) γ(t) = (2 log(t/2), sin 2 (π/t)), t [2, 4], F (x, y) = e x/y (y, 2y x) b) γ(t) = (1 + t, 1 + t 2 ), t [0, 1], F (x, y) = (log(x 2 + y 2 ), 2 arctg (x/y)) c) γ(t) = (2 + cos t, sin t), t [0, π], F (x, y) = (x + 2y) 1/2 (3x + 4y, 2x) d) γ(t) = (t, 2 t), t [0, 2], F (x, y) come in 33b 35) Calcolare l area delle seguenti superfici ordinarie: a) Σ = {(x, y, z) IR 3 : z = 1 2 x + y, 0 y 1 x2 }, b) Σ = {(x, y, z) IR 3 : z = y 2, x y 1}, c) Σ = {(x, y, z) IR 3 : z = x 2 + y 2, x 2 + y 2 4y 3}. 36) Calcolare l area della superficie Σ generata dalla rotazione dell arco Γ attorno all asse x, nei seguenti casi: a) Γ = segmento di estremi (1, 2), (2, 1) b) Γ = {(x, y) IR 2 : 2 x 6, y = x} c) Γ = {(x, y) IR 2 : y 0, x 2 + y 2 = x y}. 6

7 37) Scelto un orientamento su Σ, calcolare F νdσ nei casi che seguono. Σ a) Σ = {(x, y, z) IR 3 : x 2 + y 2 1, z = x + y}, F (x, y, z) = (3x, 2 y, z) b) Σ = triangolo di vertici (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 2), F (x, y, z) = (2y, z, x) c) Σ = {(x, y, z) IR 3 : z = x 2 + y 2, z 2y}, F (x, y, z) = ( x, y, 2z) 38) Come sopra, utilizzando il teorema della divergenza. a) Σ = {(x, y, z) IR 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1}, F (x, y, z) = (x + cos z, 4y x 3, e xy z) b) Σ = {(x, y, z) IR 3 : 0 z = log(3 x 2 y 2 )}, F (x, y, z) = (y 2, 2yz, 1 z 2 ) c) Σ = {(x, y, z) IR 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 4, z 2x y}, F (2, 3, 1) d) Σ = {(x, y, z) IR 3 : x 2 + y 2 = 2yz, 1 z 2}, F (x, y, z) = (x, y, 2 2z). 39) Risolvere i seguenti problemi di Cauchy, determinandone la soluzione in forma esplicita, ed indicando il dominio su cui viene considerata. (a) e 2t y = y 2, y(0) = 1 (b) 2tyy = y 2 1, y( 1) = 2 (c) t 2 y = ty 2, y(1) = 3 7

8 (d) yy = e t y 2 3, y(0) = 2 (e) y = 1 + y 3, y(2) = 1 (f) (t + 1)y = ty + 1, y(0) = 1 (g) t + y e y+t = 0, y(0) = 0 (h) 2t(y t y 2 ) = (1 2t 2 )y, y(1) = 1 (i) (y + 1)y = y 3 (t + 1), y(1) = 1/3 (j) yy = (4 y 2 )tg t, y(π/4) = 2 (k) (2y 3t)(1 + t) = y, y(0) = 2 (l) y = y y 1, y(0) = 2 (m) ty (2 + y) = y 2 2y, y(1/2) = 1 (n) (t 2 1)(y t) = ty, y(0) = 1 (o) y + (y log y)tg t = 0, y(0) = 1/ e (p) (t t 2 )y = y + t, y(1/4) = 1 40) Determinare l integrale generale delle seguenti equazioni. (a) y + y = y, (b) y 2y = 0, (c) 2y = y + y, (d) y + y + 6 = (t 2 y)/4, (e) y y = cos t, (f) y + y 2y = e 2t, (g) y + y = te t, (h) y 2y + y = t 1 e t, t > 0. 41) Risolvere il problema di Cauchy relativo all equazione 40e) ed alle condizioni iniziali y(0) = 1, y (0) = 1/2. 8

9 42) Nelle equazioni che seguono, stabilire per quali valori del parametro ρ tutte le soluzioni sono periodiche. (a) y + ρy + y = 0, (b) y + ρy = 0. 43) Nelle equazioni che seguono, stabilire per quali valori del parametro ρ tutte le soluzioni non banali sono oscillanti e tendenti a zero per t +. (a) y + ρy + y = 0, (b) y y + ρy = 0. 44) Determinare le trasformate di Laplace delle seguenti funzioni: (a) 2e t + e 2t, (b) 3t 2 + cos(2t), (c) t 3 e t, (d) t sin(t/2), (e) e 2t cos(3t), (f) max (t 2 2t, 0), (g) sin 3 t. 45) Determinare, qualora esistano, le antitrasformate di Laplace delle seguenti funzioni: (a) 2 3z z 4, (b) e 2z z 2, (c) z z + 1, (d) 1 z 2 1, (e) z 4z 2 + 1, (f) 1 z 2 + 9, (g) z (2z + 1), (h) 2z z 2 4z + 8, (i) 3z 1 z 2 2z 3, (j) z z 4 + 4, (k) 1 z 2 + z, (l) 4z z 2 4 z 4 3z ) Utilizzando la trasformata di Laplace, risolvere i seguenti problemi di Cauchy su [0, + [. (a) y 2y + 5y = 0, y(0) = 2, y (0) = 1 (b) y 4y + 4y = e 2t cos(t), y(0) = 0, y (0) = 0 (c) y 4y = 3te t, y(0) = 0, y (0) = 0 9

10 47) Determinare le trasformate di Fourier delle seguenti funzioni. (a) f(t) = 1, se 1 t 2, f(t) = 0, altrove, (b) 1 t 2 + 9, (c) e 2t 3, (d) (f) t 2 sin 3t, (e) t (t 2 + 1), (g) t /4 2 e t2, (h) sin2 t, t 1 2t 2 2t + 5, Risposte agli esercizi ) Il campo di esistenza richiesto è l insieme dei punti (x, y) IR 2 che verificano, rispettivamente, le seguenti condizioni: a - [ (x 0 y 1) (x 0 y 1) ], b - [ (x 0) (x > 0 1/ x < y < 1/ x) ], c - [ 0 y x 2 ], d - [ (x < 0 2x < y < x) (x > 0 x < y < 2x) ]. 2) [ 2/(3 5) ] 3) Ci si riferisce, nell ordine, alle tre derivate direzionali richieste: a - [ 0; 0; 1/(2 2) ], b - [ ; 0; ], c - [ 0; 0; ], d - [ 0; 1; 1/2 ] 4) a - [ 3x + 5y 4z = 0 ]; b - [ ]; 5) Ci si riferisce, nell ordine, ai punti di minimo locale, massimo locale ed ai punti sella (ovvero ai punti stazionari che non sono di estremo locale). a - [ (1, 1); ; (0, 0) ]; b - [ (0, y), y > 0; (0, y), y < 0; (x, 0), x IR ]; c - [ ; ; (1, 1/2) ]; d - [ ; ; (0, 0) ]; e - [ ; ; (1/2, 1/2) ]; 6) a - [ no ]; b - [ sì (minimo) ]; c - [ no ]; d - [ sì (minimo) ]; 7) Ci si riferisce, nell ordine, ai valori di minimo e massimo assoluti. 10

11 a - [ 1 = f(0, 1); 0 = f(0, 0) = f(0, 2) = f(±1, 1) ] b - [ 5/16 = f(3/2, 1/2); 1 = f(1, 1) ] c - [ 0 = f(0, y), 1 y e; 2 = f(2, 1) ] d - [ 0 = f(0, 0) = f(0, 1); 5/4 = f(± 2, 1/2) ] e - [ 0 = f(x, 0), 2 x 2; e = f(1, 1) ] f - [ 1 = f(1, 1); 3 3/4 = f(1/2, 3/2) ] g - [ π/4 = f(1, 0); π/3 = f(2, 5) ] h - [ 3 3 = f( 3, 1); 27/16 = f(3/2, 1/2) ] i - [ 1 = f( 1, 0); 2 2/3 = f( 2/3, 1) ] j - [ 0 = f(x, 0), 1 x 2; 32/27 = f(4/3, ±2 2/3) ] 8) [ x + 2y 3 = 0 ] 9) [ ±(2/e, e/2) ] 10) [ 1 = f(0, 1); 3 = f(2, 1) ] 11) [ ( 5/2, 1/2) è il punto più vicino; (2, 3) è il più lontano ] 12) [ 9/2, area del triangolo di vertici (0, 2), (±3/2, 1) ] 13) a - [ (2 2 1)/3 ], b - [ 0 ], c - [ 5/12 ], d - [ 0 ], e - [ (log 2)/6 ], f - [ 1/e ], g - [ π ], h - [ (log 4 1)/2 ], i - [ 3 log 3 (1/2) ], j - [ π/4 ], k - [ log 2 (π/6) ], l - [ (2π/ 3) (10/9) ] 14) a - [ 4/3 ], b - [ (5π/16) + (7/8) ] 15) [ π/2 ] 16) a - [ 32/3 ], b - [ 1/3 ], c - [ 16/3 ], d - [ 4π ] 17) a - [ 28π/3 ], b - [ asse x : π 2 /4; asse y : π(π 2) ], 11

12 c - [ 6π 3 (8π 2 /3) ] 18) a - [ (0, 3π/8, 0) ], b - [ (0, 0, 45/56) ] 19) a - [ (7/6) (π/4) ], b - [ 32/15 ], c - [ 16π/3 ] 20) [ y = x 1 ] 21) [ 12 ] 22) [ (2 2, 2 2) = γ( 2) ] 23) [ 2/3 ] 24) [ (8/3)( ) ] 25) [ 9/2 ] 26) [ 1 ] 27) [ 6 ] 28) a - [ 4π 2 ], b - [ 1/3 ] 29) [ 3π/16 ] 30) [ 2π ] 31) [ 16 2π ] 32) a - [ F non è conservativo ], b - [ V (x, y) = 1 3 y x2 y x2 + c, c IR, (x, y) R 2 ], c - [ V (x, y) = xy log y + c, c IR, y > 0 ]. d - [ V (x, y) = 2y 1 xy + c, c IR, xy < 1 ]. e - [ V (x, y) = (x + y) 1 xy + c, c IR, x + y > 0 ]. 12

13 33) a - [ sì ], b - [ no ]. Nota: nel punto (a), a meno di un fattore scalare, F è il campo elettrico generato da una carica puntiforme situata nell origine (ristretto al piano). Un suo potenziale è dato da V (x, y) = (x 2 + y 2 ) 1/2. 34) a - [ 3 ], b - [ 5 log 2 + (π/2) 2 ], c - [ ], d - [ π ]. 35) a - [ 2 ], b - [ (5 5 1)/6 ], c - [ π 2 ]. 36) a - [ 3π 2 ], b - [ 49π/3 ], c - [ π(4 π)/2 2 ]. 37) a - [ ± 2π ], b - [ ± 3/2 ], c - [ ± π ]. 38) a - [ ± 16π/3 ], b - [ ± 2π ], c - [ ± 8π/ 6 ], d - [ ± 8π ]. 39) Le soluzioni sono le seguenti: a - [ y(t) = 2(e 2t + 1) 1, t IR ], b - [ y(t) = 1 3t, t < 0 (prolungabile a t < 1/3) ], c - [ y(t) = 2t + t 1, t > 0 ], d - [ y(t) = 3 + e 2t, t IR ], e - [ y(t) 1, t IR ], f - [ y(t) = (2e t 1)/(t + 1), t > 1 ], g - [ y(t) = log(1 + t) t, t > 1 ], h - [ y(t) = t, t > 0 ], i - [ y(t) = (t + 2) 1, t > 2 ], j - [ y(t) = 2 sin t, π/2 < t < π/2 ], k - [ y(t) = t 2 t 2, t > 1 (prolungabile a tutto IR) ], l - [ y(t) = 1 + tg 2 ((2t + π)/4), π/2 < t < π/2 ], m - [ y(t) = t + 2 t 2 + 4t, t > 0 ], 13

14 n - [ y(t) = t t 2, 1 < t < 1 ], o - [ y(t) = e 1 2 cos t, π/2 < t < π/2 ], p - [ y(t) = (t 2 t)/(1 t), 0 < t < 1 ], 40) Le soluzioni sono le seguenti (definite su tutto l asse reale, tranne l ultima), al variare di c 1, c 2 IR. a - [ y(t) = e t/2 (c 1 cos( 3t/2) + c 2 sin( 3t/2)) ], b - [ y(t) = c 1 + c 2 e 2t ], c - [ y(t) = c 1 e t/2 + c 2 e t ], d - [ y(t) = e t/2 (c 1 + c 2 t) + t 2 8t ], e - [ y(t) = c 1 e t + c 2 e t 1 cos t ], 2 f - [ y(t) = (c t)e 2t + c 2 e t ], g - [ y(t) = c 1 cos t + c 2 sin t (t + 1)e t ], h - [ y(t) = e t (c 1 + c 2 t + t log t), t > 0 ] 41) [ e t et 1 cos t, t IR ] 2 42) a - [ ρ = 0 ], b - [ ρ > 0 ] 43) a - [ 0 < ρ < 2 ], b - [ nessun valore di ρ ] 44) a - [ 3(z + 1)(z 2 + z 2) 1, Re z > 1 ], b - [ 6z 3 + z(z 2 + 4) 1, Re z > 0 ], c - [ 6(z + 1) 4, Re z > 1 ], d - [ 16z(4z 2 + 1) 2, Re z > 0 ], e - [ (z 2)(z 2 4z + 13) 1, Re z > 2 ], f - [ 2z 3 e 2z (1 + z), Re z > 0 ], g - [ 6(z z 2 + 9) 1, Re z > 0 ], 14

15 45) a - [ (t 3 /3) (3t 2 /2) ], b - [ max(0, t 2) ], c - [ ], d - [ (e t e t )/2 ], e - [ (1/4) cos(t/2) ], f - [ (1/3) sin(3t) ], g - [ (1/8)e t/2 (2 t) ], h - [ (e 2t /2)(4 cos(2t) + 5 sin(2t)) ], i - [ 2e 3t + e t ], j - [ (1/4)(e t e t ) sin t ], k - [ t sin t ], l - [ (1/5)(3e 2t + e 2t 4 cos t sin t) ]. 46) a - [ y(t) = (e t /2)(4 cos(2t) 3 sin(2t)) ], b - [ y(t) = e 2t (1 cos t) ], c - [ y(t) = (e 2t /12) (3e 2t /4)+(2 3t)(e t /3) ]. 47) a - [ ˆf(s) = (2/s)(sin(2s) sin(s)) per s 0, ˆf(0) = 2 ], b - [ ˆf(s) = (π/3)e 3s ) ], c - [ ˆf(s) = 4(s 2 + 4) 1 e 3is/2 ], d - [ ˆf(s) = π se 3 < s < 3, ˆf(±3) = π/2, ˆf(s) = 0 altrove ], e - [ ˆf(s) = (π/3)e (is+ 3s )/2 ], f - [ ˆf(s) = (π/2)e s (1 s ) ], g - [ ˆf(s) = 4 π is e s 2 ], h - [ ˆf(s) = πi/2 se 2 < s < 0, ˆf(s) = πi/2 se 0 < s < 2, ˆf(s) = 0 altrove ]. 15