Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = 3x 2 x 2 y + y + 1

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1 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio punti Data la funzione fx, y x x y + y + i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli come punti di massimo locale, minimo locale o sella Trovare sup e inf di f; ii determinare massimo e minimo di fx, y su Ω x, y R : x, y, x + y 5 } Esercizio punti Data la curva γ, I, con I [, π] e parametrizzazione γ : [, π] R, γt + cost, sint πt i dire se la curva è regolare; ii scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al sostegno della curva nel punto P, ; iii calcolare il lavoro lungo la curva γ, I del campo di vettori Fx, y y x +y x x +y Esercizio punti Data la superficie Σ x, y, z R : x + z } i farne un disegno approssimativo e scriverne una parametrizzazione globale; ii calcolare il volume del solido V x, y, z R : x + z }

2 Svolgimento Esercizio Data la funzione fx, y x x y + y + i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli come punti di massimo locale, minimo locale o sella Trovare sup e inf di f La funzione è un polinomio definito su tutto R, dunque è anche di classe C su tutto R Per trovare i punti critici dobbiamo dunque risolvere il sistema fx, y, ossia 6x xy x + Dalla seconda equazione si ricava x ±, e sostituendo nella prima otteniamo che i punti critici di f sono P e P Per caratterizzarli andiamo a calcolare la matrice Hessiana di f Osserviamo che essendo f un polinomio, è una funzione anche di classe C su tutto il dominio, dunque la matrice Hessiana sarà simmetrica In particolare troviamo 6 y x Hfx, y x Calcoliamo ora la matrice Hessiana in P : Hf,, e si ha det Hf, 4 < Dunque P è un punto di sella Calcoliamo ora la matrice Hessiana in P : Hf,, e si ha det Hf, 4 < Dunque anche P è un punto di sella Per trovare sup e inf di f, iniziamo considerando la restrizione della funzione su uno degli assi cartesiani, e guardiamo come si comporta a ± Se restringiamo f all insieme x } troviamo e quindi Ne segue che sup f + e inf f f, y y +, lim f, y ± y ±

3 ii determinare massimo e minimo di fx, y su Ω x, y R : x, y, x + y 5 } L insieme Ω è rappresentato nella figura Figure : L insieme Ω Per studiare massimo e minimo assoluto di f su Ω dobbiamo considerare i valori che la funzione assume sui punti critici liberi interni a Ω, sui punti critici vincolati al bordo di Ω, e sugli eventuali spigoli del bordo e punti di non derivabilità della funzione La funzione f non ha punti di non derivabilità, e i punti critici sono stati trovati al punto i Entrambi però non sono interni all insieme Ω Ci rimane da studiare il comportamento di f sul bordo di Ω Gli spigoli sono i punti S S S S 4 Parametrizziamo ora i cinque segmenti del bordo Troviamo t γ t t + t γ t t γ t t γ 4 t t + t + t + t t S 5, t [, ] t, t [, ] + t, t [, ] t, t [, ]

4 γ 5 t t + t t Componiamo con f e otteniamo le funzioni di una variabile, t [, ] g t fγ t t +, t [, ] g t fγ t t +, t [, ] g t fγ t 7 8 t t 9 t +, t [, ] g 4 t fγ 4 t 4 t t +, 4 t [, ] g 5 t fγ 5 t t, t [, ] Tutte le funzioni sono sempre derivabili e gli estremi dei loro domini corrispondono agli spigoli Dunque ci rimane di trovare i punti critici delle tre funzioni Le funzioni g e g 5 sono lineari, e quindi assumono massimo e minimo agli estremi degli intervalli di definizione, e quindi troviamo gli spigoli come loro punti di massimo e minimo Lo stesso succede per g, come si vede scrivendo g t 4t per t [, ] Rimangono da studiare g e g 4 Abbiamo g t 8 8 t t 9, che nell intervallo [, ] non si annulla mai Quindi anche per g troviamo solo gli spigoli Infine g 4 t t su [, ], e quindi anche per g 5 troviamo solo gli spigoli I valori che dobbiamo confrontare sono dunque solo i valori di f sugli spigoli, ossia fs, fs, fs, fs 4 4, fs 5 Per cui il massimo di f è e il minimo è Una parametrizzazione alternativa a γ che rende i conti più semplici si ottiene scrivendo [ ] t γ t 5 t, t, Da cui g t f γ t t + t t + 7, t [, ] e g t t + t che si annulla in t 6 + < e t + 6 < Quindi si ritrova che i punti di massimo e minimo sono gli estremi dell intervallo Esercizio Data la curva γ, I, con I [, π] e parametrizzazione γ : [, π] R, γt + cos t, sint πt i dire se la curva è regolare; 4

5 Bisogna determinare se ci sono punti interni all intervallo I in cui si annulla il vettore velocità γ t Essendo sin t γ t, t π cost πt il sistema sin t t π cost πt ha soluzione t π, π Quindi la curva non è regolare ii scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al sostegno della curva nel punto P, ; Innanzitutto troviamo t I tale che γt P risolvendo + cos t sint πt Si trova t o t π, essendo infatti la curva chiusa Essendo allora la curva chiusa, e la sua parametrizzazione ben definita anche per t <, posso procedere in maniera standard scegliendo t e considerarlo interno all intervallo di definizione La retta tangente al sostegno di γ, I nel punto P è dunque generata dal vettore velocità γ t γ π e quindi un vettore ortogonale alla retta è il vettore n L equazione cartesiana della retta tangente al sostegno della curva nel punto P è quindi x + y x iii calcolare il lavoro lungo la curva γ, I del campo di vettori y x Fx, y +y x x +y Studiamo innanzitutto le proprietà del campo F incontrato già a lezione Il suo dominio è R \, } e rotfx, y F x x, y F x x, y y x x + y y y x + y Quindi il campo F è irrotazionale 5

6 A questo punto poiché la curva è chiusa, prima di domandarci se il campo è conservativo, vediamo se possiamo applicare il Teorema del Rotore L ipotesi fondamentale che dobbiamo verificare è che l insieme U racchiuso dalla curva sia tutto contenuto nel dominio del campo, ossia che, U Di questo ci convinciamo facilmente provando ad abbozzare un disegno del sostegno di γ, I, o anche semplicemente notando che i valori della componente x del sostegno di γ, I sono compresi tra e Possiamo quindi applicare il Teorema del Rotore e otteniamo LF, γ rotfx, y dxdy dxdy U U Esercizio Data la superficie Σ x, y, z R : x + z } i farne un disegno approssimativo e scriverne una parametrizzazione globale; La superficie Σ è una superficie di rotazione con asse dato dall asse y, generata dalla rotazione della funzione gy sin y Per capire quindi come sia fatta Σ dobbiamo innanzitutto determinare il dominio I della funzione g Si trova I [ 6 π, 5 6π] Un disegno approssimativo di Σ è quello dato nella figura Figure : La superficie Σ Una possibile parametrizzazione globale di Σ è allora σ : D R, σθ, t sin t sin cos θ, t, t sin θ con D θ, t R : θ π, 6 π t 56 } π 6

7 ii calcolare il volume del solido V x, y, z R : x + z } Si tratta di un solido di rotazione della forma x, y, z R : a y b, x + z g y } dove gz la formula VolumeV sin y, e come abbiamo visto prima, a π 6 e b 5 6π Possiamo quindi applicare b a πg y dy 5 6 π π 6 π sin y dy π cos y y 5 6 π π 6 π π 7