Analisi Matematica II Politecnico di Milano Ingegneria Industriale

Transcript

1 Analisi Matematica II Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Autovalutazione #8. Sia f : R 2 R la funzione definita da 2 y 2 per (, y) (, ) f(, y) 2 + y 2 per (, y) (, ). (a) Stabilire se f è continua in (, ). (b) Stabilire se f è derivabile in (, ). (c) Stabilire se f è differenziabile in (, ). 2. Sia f : R 2 R la funzione definita da f(, y) (7 + y) e y e sia γ la curva di equazione 4 + y y + 2 4y + y. (a) Mostrare che γ è regolare nel punto P (, ). (b) Scrivere l equazione cartesiana della retta tangente a γ nel punto P (, ). (c) Mostrare che f possiede un punto critico vincolato a γ in P (, ).. Calcolare l integrale I Ω ( + y y + ) y d dy dove Ω è la regione piana delimitata dalle iperboli di equazione y e y 9 e dalle rette di equazione y e y Sia γ la curva di equazioni cartesiane { 2 + y 2 a 2 a + z b a, b R, a, b >. (a) Riconoscere la curva γ e orientarla positivamente rispetto all asse z. (b) Determinare una parametrizzazione di γ. (c) Utilizzando la definizione, calcolare l integrale di linea I (y z) d + (z ) dy + ( y) dz dove γ è orientata positivamente rispetto all asse z. (d) Calcolare I utilizzando il teorema di Stokes. γ 5. Calcolare il flusso del campo F (z, 2 y, 2z ) attraverso la superficie Σ, orientata verso l esterno, data dalla porzione del cilindro circolare retto di equazione 2 + z 2 r 2 contenuto nel semispazio definito dalle condizioni y h e z.

2 Soluzioni. (a) La funzione f è continua in (, ) se lim f(). Passando in coordinate polari, si ha F (ρ, θ) f(ρ cos θ, ρ sin θ) ρ 2 cos 2 θ ρ 2 sin 2 θ ρ ρ cos 2θ ρ per ρ +. Quindi F (ρ, θ) per ρ +, uniformemente rispetto a θ. Pertanto f() per, ossia f è continua in. (b) Poiché il seguente limite f(, ) f(, ) lim lim 2 lim lim sign() non esiste (valendo per + e per ), non esiste nemmeno la derivata parziale prima di f rispetto a in (, ). Di conseguenza, f non è derivabile in (, ). (c) Non essendo derivabile (, ), la funzione f non è nemmeno differenziabile in (, ). 2. Sia f : R 2 R la funzione definita da e sia γ la curva di equazione f(, y) (7 + y) e y (a) Sia g la funzione definita da g(, y) 4 + y y + 2 4y + y. Poiché g(, ), si ha che il punto P appartiene alla curva γ. Essendo un polinomio, g è di classe C su tutto R 2 e quindi anche in P. Inoltre, si ha g 4 + y + 2 4y g y 9y2 y e quindi g(, ) (5, ). Pertanto, la curva γ è regolare in P (, ). (b) L equazione cartesiana della retta tangente a γ in P (, ) è g(, ), (, y ) ossia 5( ) + (y ), ossia 5 + y 8. (c) Poiché f (7 + 7y + y2 ) e y f y ( y) e y si ha f(, ) (5e, 9e) e (5, ) e g(, ), ossia f(, ) e g(, ) sono due vettori paralleli. Questo significa che f punto critico vincolato a γ in P (, ). possiede un 2

3 . Iniziamo ad osservare che l insieme Ω è contenuto nel primo quadrante (bordo escluso), ossia Ω (, + ) (, + ) : y 6 Ω Possiamo quindi considerare la trasformazione T : (, + ) (, + ) (, + ) (, + ) che ha per equazioni { u y/ v y. Tale trasformazione, oltre ad essere ben definita e di classe C, è invertibile. Infatti, moltiplicando le due equazioni tra di loro, si ha uv y, mentre prendendone il quoziente si ha v/u. Pertanto, l inversa è data dalla trasformazione T : (, + ) (, + ) (, + ) (, + ) di equazioni { v/u y uv. Possiamo così utilizzare questa trasformazione per calcolare l integrale dato: I (( + u 2 ) u + v) det J T du dv. T (Ω) La matrice jacobiana della trasformazione T è [ ] [ u J T v v u y u y v u 2 u ]. u Pertanto, il determinate jacobiano è det J T v u 2 v u v u v u 2v u.

4 Inoltre, poiché si ha Pertanto, si ha Ω {(, y) (, + ) (, + ) : y 4, y 9} {(, y) (, + ) (, + ) : y/ 2, y }, T (Ω) {(u, v) (, + ) (, + ) : u 2, v } [, 2] [, ]. I (( + u 2 ) u + v) 2v du dv u [ (( + u 2 ) v + v2 [( + u 2 ) v2 2 + v u ( 4( + u 2 ) + 26 u ] u du ) du [ 4u + 4 u + 26 ln u ] ln 2. ) ] dv du 4. (a) La curva γ è l intersezione del cilindro circolare retto di equazione 2 + y 2 a 2 con il piano di equazione /a + z/b. Quindi, γ è un ellisse. In particolare, per la simmetria della configurazione, gli assi di simmetria di γ sono le rette che congiungono i punti di intersezione di γ con il piano y e con il piano. Tali punti sono V (a,, ), V 2 (, a, b), V ( a,, 2b) e V 4 (, a, b). Pertanto gli assi di γ sono le rette V V e V 2 V 4. Inoltre, il centro di γ giace sull asse z ed è dato dal punto C (,, b). Pertanto, i semiassi di γ sono d(c, V ) a 2 + b 2 e d(c, V 2 ) a. Infine, l orientazione richiesta di γ è quella per cui si va da V a V 2 a V, come si vede nella figura seguente 4

5 (b) Poiché il generico punto P (, y, z) di γ deve appartenere al cilindro di equazione 2 + y 2 a 2, poniamo a cos θ e y a sin θ. Poiché P deve appartenere anche al piano di equazione /a + z/b, si deve avere cos θ + z/b, ossia z b b cos θ. Pertanto, si ha a cos θ γ : y a sin θ θ [, 2π]. z b b cos θ Si osservi che l orientazione indotta da questa parametrizzazione coincide con quella richiesta nel punto precedente. Infatti, per θ si ha il punto V (a,, ), per θ π/2 si ha il punto V 2 (, a, b) e per θ π si ha il punto V ( a,, 2b). (c) Utilizzando la definizione di integrale di linea e la parametrizzazione di γ trovata nel punto precedente, si ha I 2π 2π 2π [(a sin θ b + b cos θ)( a sin θ) + +(b b cos θ a cos θ)a cos θ + (a cos θ a sin θ)b sin θ] dθ ( a 2 sin 2 θ + ab sin θ ab sin θ cos θ + +ab cos θ ab cos 2 θ a 2 cos 2 θ + ab sin θ cos θ ab sin 2 θ) dθ ( a 2 ab + ab sin θ + ab cos θ) dθ [ (a 2 + ab)θ ab cos θ + ab sin θ 2πa(a + b). (d) Sia Σ la superficie che giace sul piano di equazione /a + z/b e delimitata da γ, orientata scegliendo il vettore normale N (/a,, /b), in modo che l orientazione coerente di γ sia quella richiesta. In particolare, il versore normale associato è ( ab n a2 + b 2 a,, ). b Posto F (y z, z, y), si ha rot F ( 2, 2, 2). Quindi, per il teorema di Stokes, si ha I rot F, n dσ 2ab ( a2 + b 2 a + ) 2(a + b) dσ b a2 + b A(Σ). 2 Σ ] 2π Poiché A(Σ) πa a 2 + b 2, si ha I 2πa(a + b). Σ 5. La superficie Σ ha equazioni parametriche r cos θ y t z r sin θ t [, h] θ [, π]. Pertanto, il vettore normale a Σ è N f t f θ (r cos θ,, r sin θ) 5

6 e quindi Φ F, n dσ Σ h π h π dt [,h] [,π] F(t, θ), N(t, θ) dt dθ (r cos θ r sin θ r cos θ + (2r sin θ r cos θ)r sin θ) dt dθ (r sin θ cos 2 θ + 2r 2 sin 2 θ r 2 sin θ cos θ) dθ [ h r cos θ + r 2 θ r 2 sin θ cos θ + r2 4 π + 2r hr 2. ] π cos 2θ 6