(a) E è convesso; (b) (1, 0) non è punto interno; (c) E non è misurabile.

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1 Cognome Nome Matricola Laurea Civ Amb Gest Inf Eln Tlc Mec Non scrivere qui A Università degli Studi di Parma Dipartimento di Ingegneria e Architettura Esame di Analisi Matematica Soluzioni A.A. 8-9 Parma, Febbraio 9 Compilate l intestazione in alto a sinistra e scrivete cognome e nome in stampatello anche su ogni altro foglio. Il tempo massimo per svolgere la prova è di tre ore. Al momento della consegna, inserite tutti i fogli dentro a questo foglio. Esercizio. Sia E = (x, y) : y /3 x + y }. Allora, (a) E è convesso; (b) (, ) non è punto interno; (c) E non è misurabile. Soluzione. L insieme E non è convesso poiché il segmento di estremi (, ±3) non è contenuto in E ed è misurabile poiché è limitato e il suo bordo è unione di sostegni di curve regolari. Il punto di coordinate (, ) appartiene al bordo di E e quindi non è un punto interno. La risposta corretta è quindi (b). Esercizio. Siano ϕ, Φ: R R due funzioni di classe C (R ) tali che ϕ(, ) =, ϕ(, ) = (, ) e Φ(, ) = (, ). Allora, il gradiente di in (, ) è f(x, y) = Φ(x + ϕ(x, y), xϕ(x, y)), (x, y) R, (a) f(, ) = (, ); (b) f(, ) = (, ); (c) f(, ) = (, ). Soluzione. Denotiamoo con Φ(u, v) le variabili di Φ. Per la regola di derivazione delle funzioni composte si ha f x (x, y) = Φ u (x + ϕ(x, y), xϕ(x, y))[ + ϕ x (x, y)] + Φ v (x + ϕ(x, y), xϕ(x, y))[ϕ(x, y) + xϕ x (x, y)]; f y (x, y) = Φ u (x + ϕ(x, y), xϕ(x, y))ϕ y (x, y) + Φ v (x + ϕ(x, y), xϕ(x, y))xϕ y (x, y)]; e quindi risulta f x (, ) = e f y (, ) =. La risposta corretta è quindi (c). Esercizio 3. L equazione del piano tangente al grafico di f(x, y) = xe y + ye x, (x, y) R, in (, ) è (a) ex (e + )y + ez = ; (b) ( + e)x ey + ez = ; (c) ex y + ez =. Soluzione. Si ha f(, ) = e f x (, ) = e y + ye x x=,y= = ; f y (, ) = xe y + e x x=,y= = + e ; da cui segue z = (x + ) + ( + /e)y ovvero ex (e + )y + ez =. La risposta corretta è quindi (a).

2 Esercizio 4. Sia f C (U, R ), f = (f, f ) il campo vettoriale definito da f (x, y) = x y x y e f (x, y) = xy x y per ogni (x, y) U. (a) Determinate il dominio U di f. (b) Stabilite se f è irrotazionale e conservativo. (c) Verificate che il sostegno della curva parametrica γ(t) = ( + t t 4 )e + (t )e, t [, ], è contenuto in U e calcolate l integrale curvilineo di f lungo γ. Soluzione. (a) Il dominio U di f è l insieme aperto U = (x, y) R : x > y } che è unione dei due insiemi aperti, convessi e disgiunti U + = (x, y) R : x > y } e U = (x, y) R : x < y }. (b) Poiché il campo vettoriale f è di classe C in U e ciascuno dei due insiemi aperti e disgiunti U ± è convesso, f è conservativo se e solo è irrotazionale. Si ha con facili calcoli f y (x, y) = y 3 (x y ) 3/ e f x(x, y) = y 3 (x y ) 3/ per ogni (x, y) U e quindi f risulta essere conservativo. (c) Si ha + t t 4 e t per ogni t [, ] e quindi il sostegno di γ è contenuto in U +. Poiché f è conservativo, si ha f dl = f dl γ dove σ è una qualunque curva parametrica regolare con sostegno contenuto in U + avente i medesimi estremi di γ. Scegliendo ad esempio σ(t) = e + te, t [, ], risulta γ f dl = σ f dl = f(σ(t)) σ (t) dt = σ f (, t) dt = Alternativamente si può determinare un potenziale di f che è dato da F (x, y) = x y x f (t, ) dt + f (x, t) dt = t y dt + t t 4 t dt = 4 3. xt x t dt = x x y + per ogni (x, y) U + cosicché risulta f dl = F (γ()) F (γ()) = F (, ) F (, ) = 4 3. γ

3 Esercizio 5. Sia ( K = (x, y, z) : x + y + z, } x + y ) + 4z e x, y, z. (a) Descrivete l insieme K. (b) Calcolate I = z dv 3 (x, y, z). K Soluzione. L insieme K è la porzione compresa tra i semispazi x, y e z del solido di rotazione che si ottiene facendo ruotare attorno all asse z la figura contenuta nel primo quadrante del piano rz (con r = x + y ) compresa tra le circonferenze di equazione r + z = e (r /) + z = /4 come illustrato nella figura seguente. z / r L insieme K è compatto perché è limitato ed è intersezione di controimmagini di intervalli chiusi mediante funzioni continue. Inoltre, K è misurabile poiché è intersezione di un solido di rotazione e di semispazi. La funzione f(x, y, z) = z, (x, y, z) R 3, è lineare e quindi integrabile su K. Calcoliamo l integrale di f su K mediante la formula di riduzione per fili. La proiezione di K sul piano xy è la porzione del cerchio π xy (K) = (x, y) : x + y e x, y } e per ogni (x, y) π xy (K) la corrispondente sezione è il segmento [ ( K (x,y) = ] x + y ), (x + y ) che scriviamo brevemente nella forma [ K (x,y) = (r ), ] r con r = r(x, y) = x + y. Per la formula di riduzione si ha allora I = π xy(k) ( ) r z dz dv (x, y) (r ) e, utilizzando coordinate polari nel piano abbinate nuovamente alla formula di riduzione, risulta I = π 4 [ ( r r ) [ (r ) ]] dr = π 4 4 r( r) dr = π 4 ( r r3 3 ) = π 4.

4 Esercizio 6. Considerate il problema di Cauchy x (t) + x(t) = cos t x() = e x () =. (a) Determinate tutte le soluzioni dell equazione differenziale. (b) Determinate la soluzione del problema di Cauchy. Soluzione. (a) L equazione proposta è una equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. L equazione caratteristica è λ + = con soluzioni λ = ±i. Quindi, le funzioni x (t) = cos t e x (t) = sen t con t R sono un sistema fondamentale di soluzioni dell equazione omogenea e tutte le soluzioni dell equazione omogenea sono le funzioni x(t) = C cos t + C sen t, t R, con C i R (i =, ) costanti arbitrarie. Per determinare un soluzione dell equazione completa, osserviamo che per le formule di addizione risulta cos + cos (t) t = = + cos (t), t R, e quindi è possibile cercare una soluzione dell equazione completa x p (t), t R, della forma x p (t) = A + B cos (t) + C sen (t), t R, con A, B, C R costanti da determinare. Si ha allora x p(t) + x(t) = A 3B cos (t) 3C sen (t), t R, cosicché la funzione x p è soluzione dell equazione completa per A =, B = /3 e C = da cui segue x p (t) = 3 cos (t) = cos t, t R. Pertanto tutte le soluzioni dell equazione completa sono le funzioni x(t) = C cos t + C sen t cos t, t R, con C i R (i =, ) costanti arbitrarie. Alternativamente, procedendo con il metodo delle costanti arbitrarie, si può cercare una soluzione dell equazione completa x p (t), t R, della forma x p (t) = c (t) cos t + c (t) sen t, t R, con c (t) e c (t) funzioni da determinare in modo che che risulti c (t) cos t + c sen t = Si ricava facilmente per ogni t R e risulta quindi c (t) sen t + c cos t = cos t. c (t) = 3 cos3 t e c (t) = sen t 3 sen3 t x p (t) = 3 cos4 t 3 sen4 t + sen t, t R, che coincide (anche se non sembra) con la soluzione trovata sopra. (b) Scegliamo le costanti C i R (i =, ) in modo che la soluzione x(t) definita in (a) sia tale che x() = e x () =. Si ha x() = C + /3 = x () = C = da cui segue C = /3 e C =. La soluzione cercata è dunque la funzione x(t) = 3 cos t + 3 cos4 t 3 sen4 t + sen t, t R.

5 Cognome Nome Matricola Laurea Civ Amb Gest Inf Eln Tlc Mec Non scrivere qui B Università degli Studi di Parma Dipartimento di Ingegneria e Architettura Esame di Analisi Matematica Soluzioni A.A. 8-9 Parma, Febbraio 9 Compilate l intestazione in alto a sinistra e scrivete cognome e nome in stampatello anche su ogni altro foglio. Il tempo massimo per svolgere la prova è di tre ore. Al momento della consegna, inserite tutti i fogli dentro a questo foglio. Esercizio. Sia E = (x, y) : y /3 x + y }. Allora, (a) E è convesso; (b) (, ) non è punto interno; (c) E non è misurabile. Soluzione. L insieme E non è convesso poiché il segmento di estremi (, ±3) non è contenuto in E ed è misurabile poiché è limitato e il suo bordo è unione di sostegni di curve regolari. Il punto di coordinate (, ) appartiene al bordo di E e quindi non è un punto interno. La risposta corretta è quindi (b). Esercizio. Siano ϕ, Φ: R R due funzioni di classe C (R ) tali che ϕ(, ) =, ϕ(, ) = (, ) e Φ(, ) = (, ). Allora, il gradiente di in (, ) è f(x, y) = Φ(x + ϕ(x, y), xϕ(x, y)), (x, y) R, (a) f(, ) = (, ); (b) f(, ) = (, ); (c) f(, ) = (, ). Soluzione. Denotando con Φ(u, v) le variabili di Φ, si ha f x (x, y) = Φ u (x + ϕ(x, y), xϕ(x, y))[ + ϕ x (x, y)] + Φ v (x + ϕ(x, y), xϕ(x, y))[ϕ(x, y) + xϕ x (x, y)]; f y (x, y) = Φ u (x + ϕ(x, y), xϕ(x, y))ϕ y (x, y) + Φ v (x + ϕ(x, y), xϕ(x, y))xϕ y (x, y)]; e quindi risulta f x (, ) = e f y (, ) =. La risposta corretta è quindi (c). Esercizio 3. L equazione del piano tangente al grafico di f(x, y) = xe y + ye x, (x, y) R, in (, ) è (a) ex (e + )y + ez = ; (b) ( + e)x ey + ez = ; (c) ex y + ez =. Soluzione. Si ha f(, ) = e f x (, ) = e y + ye x x=,y= = ; f y (, ) = xe y + e x x=,y= = + e ; da cui segue z = (x + ) + ( + /e)y ovvero ex (e + )y + ez =. La risposta corretta è quindi (a).

6 Esercizio 4. e sia Determinate Sia f(x, y) = x xy, (x, y) R, K = (x, y) : x + y 6 }. (a) il minimo e il massimo globale di f su K; (b) l insieme immagine f(k). Soluzione. (a) La funzione f è un polinomio e dunque è di classe C in R e l insieme K è la parte di piano delimitata dall ellisse di equazione x + y = 6 i cui assi sono gli assi coordinati x e y con lunghezza dei corrispondenti semiassi 3 e 6. L insieme K è chiuso perché controimmagine della semiretta chiusa (, 6] mediante il polinomio q(x, y) = x xy, (x, y) R, ed è evidentemente limitato. Pertanto K è compatto e quindi f assume minimo e massimo globale su K per il teorema di Weierstrass. Per determinare tali punti osserviamo che l unico punto critico di f è l origine che risulta essere punto di sella. Conseguentemente, i punti di minimo e massimo globale di f devono trovarsi sul bordo K = (x, y) : x + y = 6 } di K che è una curva regolare nel piano e possiamo quindi cercare tali punti con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Il sistema dei moltiplicatori di Lagrange è x y 4λx = ( λ)x y = x λy = x + λy = x + y = 6 x + y = 6. Affinché il sistema lineare formato dalle prime due equazioni abbia altre soluzioni oltre alla soluzione x = y =, deve essere ( ) ( λ) det = λ + λ + = λ e ciò avviene per λ = / e λ =. Nel primo caso λ = /, le soluzioni delle prime due equazioni del sistema dei moltiplicatori di Lagrange sono i punti (x, y) tali che y = x. Imponendo che tali punti stiano su K, si trovano i punti di coordinate P ± = (±, ±). Nell altro caso λ =, le soluzioni delle prime due equazioni del sistema dei moltiplicatori di Lagrange sono i punti (x, y) tali che y = x e, imponendo che tali punti stiano su K, si trovano i punti di coordinate Q ± = (±, ). Risulta infine f(p ± ) = 4 = 3 e f(q ± ) = + 4 = 6 e conseguentemente il minimo globale di f su K è assunto nei punti P ± mentre il massimo globale è assunto nei punti Q ±. Gli insiemi di livello f = /}, f = } e il bordo di K sono rappresentati nella seguente figura. (b) L insieme K è convesso e quindi anche connesso cosicché per il teorema dei valori intermedi risulta e dunque da (a) segue f(k) = [ 3, 6]. f(k) = [f(p ± ), f(q ± )]

7 Esercizio 5. Sia ( K = (x, y, z) : x + y + z, } x + y ) + 4z e x, y, z. (a) Descrivete l insieme K. (b) Calcolate I = z dv 3 (x, y, z). K Soluzione. L insieme K è la porzione compresa tra i semispazi x, y e z del solido di rotazione che si ottiene facendo ruotare attorno all asse z la figura contenuta nel primo quadrante del piano rz (con r = x + y ) compresa tra le circonferenze di equazione r + z = e (r /) + z = /4 come illustrato nella figura seguente. z / r L insieme K è compatto perché è limitato ed è intersezione di controimmagini di intervalli chiusi mediante funzioni continue. Inoltre, K è misurabile poiché è intersezione di un solido di rotazione e di semispazi. La funzione f(x, y, z) = z, (x, y, z) R 3, è lineare e quindi integrabile su K. Calcoliamo l integrale di f su K mediante la formula di riduzione per fili. La proiezione di K sul piano xy è la porzione del cerchio π xy (K) = (x, y) : x + y e x, y } e per ogni (x, y) π xy (K) la corrispondente sezione è il segmento [ ( K (x,y) = ] x + y ), (x + y ) che scriviamo brevemente nella forma [ K (x,y) = (r ), ] r con r = r(x, y) = x + y. Per la formula di riduzione si ha allora I = π xy(k) ( ) r z dz dv (x, y) (r ) e, utilizzando coordinate polari nel piano abbinate nuovamente alla formula di riduzione, risulta I = π 4 [ ( r r ) [ (r ) ]] dr = π 4 4 r( r) dr = π 4 ( r r3 3 ) = π 4.

8 Esercizio 6. Considerate il problema di Cauchy x (t) + x(t) = cos t x() = e x () =. (a) Determinate tutte le soluzioni dell equazione differenziale. (b) Determinate la soluzione del problema di Cauchy. Soluzione. (a) L equazione proposta è una equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. L equazione caratteristica è λ + = con soluzioni λ = ±i. Quindi, le funzioni x (t) = cos t e x (t) = sen t con t R sono un sistema fondamentale di soluzioni dell equazione omogenea e tutte le soluzioni dell equazione omogenea sono le funzioni x(t) = C cos t + C sen t, t R, con C i R (i =, ) costanti arbitrarie. Per determinare un soluzione dell equazione completa, osserviamo che per le formule di addizione risulta cos + cos (t) t = = + cos (t), t R, e quindi è possibile cercare una soluzione dell equazione completa x p (t), t R, della forma x p (t) = A + B cos (t) + C sen (t), t R, con A, B, C R costanti da determinare. Si ha allora x p(t) + x(t) = A 3B cos (t) 3C sen (t), t R, cosicché la funzione x p è soluzione dell equazione completa per A =, B = /3 e C = da cui segue x p (t) = 3 cos (t) = cos t, t R. Pertanto tutte le soluzioni dell equazione completa sono le funzioni x(t) = C cos t + C sen t cos t, t R, con C i R (i =, ) costanti arbitrarie. Alternativamente, procedendo con il metodo delle costanti arbitrarie, si può cercare una soluzione dell equazione completa x p (t), t R, della forma x p (t) = c (t) cos t + c (t) sen t, t R, con c (t) e c (t) funzioni da determinare in modo che che risulti c (t) cos t + c sen t = Si ricava facilmente per ogni t R e risulta quindi c (t) sen t + c cos t = cos t. c (t) = 3 cos3 t e c (t) = sen t 3 sen3 t x p (t) = 3 cos4 t 3 sen4 t + sen t, t R, che coincide (anche se non sembra) con la soluzione trovata sopra. (b) Scegliamo le costanti C i R (i =, ) in modo che la soluzione x(t) definita in (a) sia tale che x() = e x () =. Si ha x() = C + /3 = x () = C = da cui segue C = /3 e C =. La soluzione cercata è dunque la funzione x(t) = 3 cos t + 3 cos4 t 3 sen4 t + sen t, t R.