Cambi di variabile. 1 2 y ; x 2 + y 2, (x,y) :x 2 + y 2 1, (x 1) 2 + (y 1) ; y x su {(x,y) : x 2 + y 2 4, 1 x}.

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1 Analisi Matematica II, Anno Accademico Ingegneria Edile ed Architettura Vincenzo M. Tortorelli FOGLIO DI EERCIZI n. CAMBI DI VARIABILE NEGLI INTEGRALI: CALCOLO DI INTEGRALI IN COORDINATE CURVILINEE INTEGRALI U UPERFICE, OMMABILITÀ Gli esercizi contrassegnati con sono piú impegnativi Cambi di variabile Esercizio Calcolare le misure degli insiemi e gli integrali delle funzioni: f(x,y) = x y su (x,y) : x + y, 0 y } ; f(x,y,z) = x sul dominio definito da x + y + z ; f(x,y) = + (3x + y + 5), su (x,y) : x + y 3 }; (x,y) R : xy, y x y } ; f(x,y) = x su (x,y) : 4(x 3) + 3(y ) 4 } ; f(x,y) = 4x y, sul paralleogramma di vertici (±, 0), (0, ±); f(x,y,z) = (x ) z su (x,y,z) : x + y 4, z 3}; f(x,y) = y x su (x,y) : x y x }; f(x,y,z) = z sull intersezione della palla unitaria di centro l origine con il cono retto di vertice l origine, apertura π, e asse x = y = 0; 6 f(x,y) = x + y, [0; ] [0; ]; (x,y) :x + y, (x ) + (y ) (x,y) : x + y, } y ; f(x,y) = x + y su } ; y x su (x,y) : x + y 4, x}. Esercizio Calcolare le misure degli insiemi e gli integrali delle funzioni specificati: (i) x + y, (x,y) : x + y, 3 y < x} ; (ii) x + y, (x,y) : x + y, 3 y < x}; (x,y,z) : (x ) + y z x} ; (iv) (x,y,z) : x + y z x} ; (v) z + x + y, 0 z ; (vi) z + x + y, 0 z x y ; (vii) (x,y,z) : z r ( } x + y R), r < R, toro ; (viii) (x,y,z,w) : x + y R, z + w r } toro spiaccicato ; (ix) x + y + z, su (x,y,z) : 0 z x + y, x + y + z }, (xii) y x + y, (x,y) : x + y 4, x, 0 y } ; (xiii) y z, (x,y,z) :x +y +z min, z}} ( ) x 3 + y 3 Esercizio 3 Calcolare l integrale di sin, su (x,y) : x y, y x}. xy Esercizio 4 Calcolare: (i)] 3y x dxdy ; (ii) x dxdy ; B((0,0);) B((0,0);) y x } y + z dxdydz ; (iv) x + y + z dxdydz y +z e x } B((0,0,0);) x+y+z }

2 Esercizio 5 a- (Guldino.0-Pappo) i provi che nello spazio il volume di un solido di rotazione (su piani ortogonali all asse di rotazione) di un sottoinsieme di un sempiano determinato dall asse, è uguale al prodotto dell area della figura ruotante per la lunghezza dell arco di circonferenza descritta dal suo baricentro. b- (Guldino 0.-Pappo) i consideri D = x J, 0 z F(x)} con J [0; + ) intervallo e F misurabile non negativa; si denotino con (x D,z D ) le coordinate del suo baricentro. Il volume del solido di rotazione, per un angolo di α radianti, di D attorno all asse z è dato da: V z = α x F(x)dx = α Area(D) x D = Area(D) lungh. arco percorso dal baricentro = J = α Area(D) distanza media dall asse. [cfr. Foglio di Esercizi n. 0 Es.0b-0bis.-] Esercizio 6 Calcolare gli integrali, sui rispettivi domini, delle seguenti funzioni: x + y, (x,y,z) : a (x + y ) z R x y } ; x + y + z, e su (x,y,z) : a (x + y ) z R x y } ; Esercizio 7 (Coordinate sferiche geogrfiche in R N ) Per N sia G : [0, [ [ π,π] [ π, π ]N R N : G(ρ,ϑ,...,ϑ N ) = x definita induttivamente x = ρˆr N = ρ(cosϑ N ˆr N, sin ϑ N ) da ˆr = (cosϑ, sin ϑ ) x N = ρ sin ϑ N x N = ρ cos ϑ N sin ϑ N x N 3 = ρ cos ϑ N cosϑ N sin ϑ N 3 ovvero... x 3 = ρ cos ϑ N cos ϑ N cos ϑ N...cosϑ 3 sin ϑ x = ρ cos ϑ N cos ϑ N...cos ϑ 3 cos ϑ sin ϑ x = ρ cos ϑ N cos ϑ N...cos ϑ 3 cos ϑ cos ϑ i- i mostri che G è surgettiva su R N. ii- i mostri cheg è iniettiva da [0, [ ( π,π] ( π, π )N (ovvero dato x si ha che ϑ h è individuato univocamente se ϑ h+,...ϑ N ± π ), e se ne determini l immagine, e la misura N-dimensionale del suo complementare. iii- i provi che le derivate parziali di G sono tra loro ortogonali. iv- i calcoli la matrice Jacobiana di G verificando che JG(ρ,ϑ,...,ϑ N,ϑ N ) =ρ N (cos ϑ N ) N (cos ϑ N ) N 3... (cos ϑ 3 ) (cos ϑ ). v- Posto B N (R) = x R N : x N R}, si ricavi la formula m N (B N (R)) = N+ [ ] π [ N ] R N = N!! M! πm R M N = M M! (M+)! 4M π M R M+ N = M +, ove [t] denota la parte intera del numero reale t e k!! è il prodotto di tutti i naturali fra e k che hanno la stessa parità di k (convenendo che 0!! = ).

3 Area di superficie Esercizio 8 Calcolare l area delle seguenti superfici o varietà bidimensionali nello spazio: i- z = x + y 37; ii- z = x + y x + ; iii- x + y = 4, 3 z 5; iv- x + y 4, x + y + z = ; v- superficie del cono retto di altezza ; vi- s(cost, sin t,t) + ( s)(0, 0,t), 0 [ t 3π, 0 s + x = (log(x + + x ) + x ) ] + x +c ; vii- (ridursi ad un integrale di funzione razionale di una variabile) x + y + z =, 0 z, 0 y x. Esercizio 9 (i) x y ds, ove è è la frontiera della regione compresa fra il cilindro x + y =, il piano x + y + z = 8 e il piano z = 0; (ii) i calcoli l area della frontiera del sottoinsime delimitato dal paraboloide z = x + y, dal cilindro x + y =, e dal piano z = ; ( π sin (z ) x + y ) ds, ove = (x,y,z) R 3 : 0 y, z, e z = x + y }. Esercizio 0 (Guldino.0 -Pappo) a- e γ(t) = (r(t), 0,z(t)) (per semplicità r(t) 0) è una curva regolare a tratti, si dia una parametrizzazione della supericie di rotazione ottenuta ruotandola attorno all asse x = y = 0 di α radianti. b- Data una curva contenuta in un semipiano determinato dall asse di rotazione, l area della superficie di rotazione, ottenuta ruotando la curva attorno all asse di α radianti, è data da: lunghezza dell arco di circonferenza percorso dal baricentro della curva lunghezza della curva = = α distanza del baricentro della curva dall asse lunghezza della curva Esercizio 0-bis Calcolare l area delle seguenti varietà: - (x,y, arsin x + y ), x + y 4 ; - superficie ottenuta ruotando di una giro la curva (x, x a, 0), x a, a > 0, attorno a all asse x = z = 0; - superficie e ottenuta ruotando di un giro la stessa attorno all asse y = z = 0; Esercizio - i scriva l elemento d area della superficie parametrica sferica di raggio r: (ρ cos ϕ cos ϑ,ρcos ϕ sin ϑ,ρsin ϕ), 0 < ρ r, π < ϕ < π, 0 ϑ < π. - i calcoli il volume V (r) = m 3 (B(r)) della palla di raggio r. - e A(r) è l area della sfera di raggio r, (r), si mostri che d V (r) = A(r). dr - i verifichi il fatto intuitivo che il 4αr è la misura della regione di (r), compresa tra due cerchi massimi che si incontrano con un angolo di α radianti. - i mostri che l area A = A(r,α,β,γ) di un triangolo sferico, delimitato da tre cerchi massimi, con i tre angoli di incidenza eguali a α, β, γ radianti è uguale a (α + β + γ π)r [conviene un ragionamento sintetico].

4 Esercizio Calcolare i seguenti integrali di superficie: ( x + y + z)ds, = (x,y,z) : z = x + y }; (x + y + xy + yz)ds, = (x,y,z) : x + y =, z 3}; z (x + y ) + z ds, ottenuta ruotando attorno all asse x = y = 0 la curva di equazione ( ) 4 x x, 0,, 0 x 0 x ; Esercizio 3 (Area settore curvilineo, volume conoide) a- Data una curva in coordinate polari r = Γ(θ), θ [α;β] (i.e. γ(θ) = (Γ(θ) cos θ, Γ(θ) sin θ) mostrare che Γ(θ) dθ α calcola l area del settore curvilineo delimitato dalla curva e con vertice l origine: (x, y) = rγ(θ), r [0; ],θ [α;β]}. b.- ia γ(t) = (x(t),y(x)), t I una curva piana semplice regolare. Per semplicità si assuma che non passi per l origine e che γ γ sia bigettiva su di un arco della circonferenza γ unitaria. i mostri che det (γ,γ ) dt = xy x y dt calcola l area del settore con vertice l origine e delimitato da γ: (x,y) : (x,y) = rγ(t), r [0; ], t I}. b.- A livello intuitivo, non assumendo altro che la regolatà a tratti del cammino, cosa rappresentano xy x y dt e (xy x y)dt. i esprima l integrale di superficie di f(x,y,z) su (x,y) : (x,y,z) = rγ(t), r [0; ], t I} in termini di integrazione di foγ, γ. b.3-ia γ(t) = (x(t),y(x),z(t)), t I una curva semplice regolare. Per semplicità si assuma che non passi per l origine e che γ γ sia iniettiva nella sfera unitaria. γ i esprima in termini di x(t), y(x), z(t) e delle loro derivate l area della suprficie parametrica (x,y,z) : (x,y,z) = rγ(t), r [0; ], t I}. Che interpretazione dare del risultato? [cfr. formula di Cauchy-Binet, ed interpretazione geometrica del modulo del prodotto vettoriale]. c- ia σ(s,t), (s,t) T una superficie parametrica regolare. Per semplicità si assuma che non passi per l origine e che σ σ sia iniettiva. σ i mostri che σ (σ s σ t ) dsdt calcola il volume del cono con vertice l origine e 3 T delimitato da σ: (x,y,z) : (x,y,z) = rσ(s,t), r [0; ], (s,t) T }. Esercizio 3-bis - i calcoli l area della regione delimitata dal sostegno della curva γ(t) = (cost, sin t). - i calcoli il volume dell immagine della funzione (rx,ry,r(x y +)), 0 r, x +y. Esercizio 4 ia E il sottoinsieme di R descritto, in coordinate polari, dalla diseguaglianza ρ α(ϑ), ϑ [0, π], ove α è una funzione continua e non negativa su [0, π]. i calcoli m (E). Che cosa succede quando α assume anche valori negativi? β

5 ommabilità Esercizio 5 Discutere la finitezza delle misure dei seguenti insiemi e la sommabilità delle seguenti funzioni nei domini specificati: (i) (v) x + y, B((0, 0); ) ; (ii), B((0, 0); ) \ B((0, ); ) B((0, ); ) ; x + y x + y, R \ B((0, 0); ) ; (iv) (x + + x N )α, x + + x N ; (vi) (vii) (x + y + z ), x + y z α x + y, α 0 ; (viii) (x) ( xii) x + y, (x,y) : 0 y x, y yx } ; xyz, [0; ] [0; ] [0; ] ; (x + y + z ) 6 x 3 + y, [0; ] [0; ] ; (ix) 3 x 6 + y 6 + z, 6 z4 x + y ; x + y, [0; ] [0; ] ; (xi) x + y, x + y ; sin x + siny, [0; ] [0; ] ; [(xiii)] (xiv) x +y 3, x, y 0; [(xv)] x y α x +y, x + y <, α 0 ; cos sin(xy) cos x + y (xvi) x 4 +y 4 +z, x3 + y 3 + z 0, x 0, y 0 ; (xvii) (xviii), x 0, y 0; x + y4, [0; ] [0; ] ; x y z x + y 4 + z α per x + y + z, e per x + y + z al variare di α R. Esercizio 6 Discutere la finitezza delle misure dei seguenti insiemi e la sommabilità delle seguenti funzioni nei domini specificati: (i) (iv) x + y, [0; ] [0; ]; (ii) x + y 4, R \B((0, 0); ); x + y 4, 0 x 3y 3x ; (v) x + y 3 + z 4, R \B((0, 0); ); x y x + y, n N max x n ; y n } n ; Miscellanea Esercizio 7 ia data l applicazione Φ λ (x,y) = (x+λ,y +e λy ) =: (u,v), e sia B il disco determinato dalla disequazione x + y. i calcoli [ ] d D = ududv.. dλ Φ λ (B) λ=0 Esercizio 8 Calcolare i seguenti integrali: (i) x dxdy, ove A è il semicerchio di centro (r, 0) e raggio r > 0, e y > 0; A

6 (ii) (iv) (v) (vi) (vii) B E C D F y e x dxdy, ove B = (x,y) R : ρ cos ϑ}; y dxdy, ove C R è la regione definita da x + y x + 4 ; dxdy, D = trapezio di vertici (, 0), (3, 0), (, ), (3, 3); x + y x x + y dxdy, ove E = (x,y) R : y x r, x + y r } (r > 0); arctan y x dxdy, ove F è definito da 0 < x, y, x + y 4. dxdy, ove G è la regione delimitata dalla curva (lemniscata di Bernoulli) di G + x + y equazione (x + y ) (x y ) = 0. Esercizio 9 Calcolare i seguenti integrali: (i) ln( + xy)dxdy, ove A = (x,y) R : 0 xy, y x, y x}; (ii) A B x + y dxdy, ove B è delimitato dalla retta y +x = e dalla parabola passante per i punti (, 0), (0, ) con vertice in (0, 0); C xy dxdy, ove C = (x,y) R : x }; y x, x y 4 x (iv) (x + y) x y dxdy, ove D = (x,y) R : x + y, x + y 0}; (v) (vi) (vii) (viii) (ix) (x) E D F J I y(x y) sin(x + y )dxdy, ove E = (x,y) R : 4 x + y 6, y x 3y}; G x y dxdy, ove F = (x,y) R : x y x, x y x}; x y (y x )dxdy, ove G = (x,y) R : x,y 0, x + y x +, H sin 3 (x + y )dxdy, ove H R è definito da π x + y π, y x. x y } ; x y dxdy, ove I R è definito da x 0, y 0, y(x ), xy. x + y dxdy, ove J è la regione interna alle due circonferenze (x ) + y =, x + (y ) =. (xi) xdxdy, ove K è il dominio del primo quadrante interno alla circonferenza di centro K (0, ) e raggio ed esterno alla circonferenza di centro (0, /) e raggio /.