6. Integrali curvilinei

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1 6. Integrali curvilinei Davide Catania Esercitazioni di Analisi Matematica 2 A.A. 2016/17

2 Integrali curvilinei di campi scalari Integrali curvilinei di campi vettoriali Campi vettoriali conservativi e irrotazionali

3 Se A R n, f : A R è continua e γ data da r : [a,b] A è una curva regolare a tratti, allora si ha γ f ds = b a f ( r(t) ) r (t) dt. Non dipende dall orientazione di γ (è invariante per cambi di parametrizzazione regolari). Se f 0 (e n = 3), questo integrale rappresenta l area della superficie sottesa alla curva γ.

4 Esercizio 1 Calcola I = (x 2 + y 2 z)ds γ dove γ è l arco di elica circolare dato da r(t) = Rcost i 1 + Rsint i 2 + ht i 3, t [0,π].

5 Esercizio 2 Calcola dove γ è data da I = xy e x2 ds, γ r(t) = 3cost i 1 + 3sint i 2, t [0,3/2π].

6 Esercizio 3 Calcola l integrale curvilineo I = γ 3 xds, dove γ è la curva di rappresentazione parametrica r(t) = sin 2 t i 1 + cos 2 t i 2, t [0,π]. Esercizio: attenzione ai valori assoluti!

7 I = π 0 (3 sin 2 t)2 2 sint cost dt

8 Esercizio 4 Calcola γ (x + y)ds, dove γ è la frontiera del triangolo di vertici O = (0,0), A = (1,0), B = (0,1).

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10 Esercizio 5 Calcola γ y ds, dove γ è la frontiera dell insieme piano delimitato dalla parabola y = x 2, dall asse y e dalla retta y = 4.

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12 Integrali curvilinei di campi scalari Integrali curvilinei di campi vettoriali Campi vettoriali conservativi e irrotazionali

13 Se A R n, F : A R n è continua e γ data da r : [a,b] A è una curva regolare a tratti, allora si ha γ F dr = b a F(r(t)) r (t)dt. Se F = (F 1,F 2,F 3 ) e r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k = x(t)i 1 + y(t)i 2 + z(t)i 3, si pone dr = (dx,dy,dz) e si scrive anche γ F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz = b a [ F1 ( x(t),y(t),z(t) ) x (t) + F 2 ( x(t),y(t),z(t) ) y (t) + F 3 ( x(t),y(t),z(t) ) z (t) ] dt. Se cambia l orientazione di γ, questi integrali cambiano segno. Fisicamente, rappresentano il lavoro compiuto dalla forza F per spostare un punto materiale da r(a) a r(b) lungo γ.

14 Esercizio 6 Calcola l integrale curvilineo γ (yi + xj) dr lungo r(t) = t2 i + tj, con 1 t 2.

15 Esercizio 7 Calcola l integrale curvilineo γ G dr, dove G(x,y) = xy(i 1 + i 2 ) e γ è il contorno del rettangolo di vertici A = (0,0), B = (1,0), C = (1,7) e D = (0,7) percorso in senso antiorario da A.

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17 Esercizio 8 Calcola l integrale curvilineo γ ex2 +y 2 (xdx + y dy), dove γ è l arco di ellisse di equazione x2 = 1 contenuto nel primo 3 quadrante e percorso in senso antiorario. 2 + y2

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19 Esercizio 9 Determina α in modo che, se G(x,y,z) = xi 1 + (y z)i 3 e r(t) = 2αt i 1 + arctan(2t)i 2 + i 3, 0 t 1, si abbia γ G dr = 1.

20 Integrali curvilinei di campi scalari Integrali curvilinei di campi vettoriali Campi vettoriali conservativi e irrotazionali

21 Un campo vettoriale F : A R n, con A R n, si dice conservativo se e solo se ammette un campo scalare U : A R derivabile, detto potenziale di F, tale che F = U. In altre parole, F è conservativo se è un gradiente. F continuo è conservativo se e solo se il suo integrale lungo una qualsiasi curva regolare a tratti non dipende dalla curva, ma solo dagli estremi. In particolare, l integrale lungo ogni curva γ chiusa è nullo: F dr = 0. γ

22 Il campo vettoriale F : A R n di classe C 1 si dice irrotazionale se e solo se ha rotore nullo (rotf = 0), cioè le derivate in croce sono uguali, in ogni punto di A: n = 2 : x F 2 = y F 1. xj F i (x) = xi F j (x) x A. n = 3 : x F 2 = y F 1, x F 3 = z F 1, y F 3 = z F 2. Se un campo vettoriale è conservativo, allora è anche irrotazionale. Il viceversa, in generale, non è vero. Se un campo vettoriale è irrotazionale su un dominio A semplicemente connesso (cioè ogni curva semplice chiusa contenuta in A è contraibile con continuità a un punto senza uscire da A), allora è anche conservativo.

23 I domini convessi sono anche semplicemente connessi. In dimensione 2, i domini semplicemente connessi sono privi di buchi. In dimensione 3, R 3 meno un punto (o semiretta o semipiano) è semplicemente connesso, mentre R 3 meno una retta (o un piano) non lo è.

24 Esercizio 10 Dati F(x,y) = 2x y i 1 + (y x2 y 2 ) i 2 e A = {(x,y) R 2 : x > 0 e y > 0}, calcola il potenziale di F in A che vale 0 in (1,1).

25 ( ) F(x,y) = 2x y i 1 + y x2 i y 2 2, U(1,1) = 0

26 ( ) F(x,y) = 2x y i 1 + y x2 i y 2 2, U(1,1) = 0

27 Esercizio 11 Dato F(x,y) = 2y(1 4xy)i 1 + 2x(1 4xy)i 2, calcolane il potenziale in R 2 che vale 0 in (0,0).

28 Esercizio 12 Dato F(x,y,z) = 2x(y z)i + x 2 j + ( x 2 + 3z 2 )k, sia ϕ il potenziale che vale 2 nel punto (0,0,0). Calcola ϕ(7,1,1).

29 F(x,y,z) = 2x(y z)i + x 2 j + ( x 2 + 3z 2 )k, ϕ(0,0,0) = 2

30 F(x,y,z) = 2x(y z)i + x 2 j + ( x 2 + 3z 2 )k, ϕ(0,0,0) = 2

31 Esercizio 13 Calcola l integrale curvilineo I = γ (4 + y)dx + xdy, dove γ è data da r(t) = 2(t sint)e sint i 1 + 2(1 cost)cos ( t 2) i2, con t [0,π].

32 I = γ (4 + y)dx + xdy

33 Esercizio 14 Calcola γ 2xey dx + e y (x 2 + 7)dy, dove γ è data da r(t) = 2cost i 1 + sint i 2, [ t 0, π ]. 2

34 Esercizio 15 Determina α in modo che G : R + R R 2, con G(x,y) = ( 2yx3α (1 + x 2 ) ) ( ) 3 cosxcosy 1 i x 2 αsinxsiny sia conservativo. i 2,

35 Esercizio 16 Siano α R + e F(x,y) = ( y 1+xy i + 1+xy + y 5 )j. Detto I α l integrale di F lungo il segmento di estremi A = (0,α) e B = (3,0) percorso da B verso A, trova α in modo che I α sia minimo. x

36 ( F(x,y) = y 1+xy i + x 1+xy )j + y 5

37 Esercizio 17 Dato il campo vettoriale F(x,y) = y x 2 + y 2 i + x x 2 + y 2 j, (a) verifica che è irrotazionale, ma non conservativo (calcola l integrale lungo la circonferenza x 2 + y 2 = 1); (b) verifica che è conservativo nel primo quadrante e determinane un potenziale.