Π 1 (P) Π 2 (H) Π 3 (H) Π 1

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1 Prova scritta di Matematica II 4 settembre 8 COEZIONE Fila B c.d.l. Scienze dell Architettura Prof.. izzi 1.a. Determinare le equazioni dei seguenti piani: 1.a.a. piano Π 1 passante per i punti (5,1 π,5), (4,8 π,4) e (1, π,1); 1.a.b. piano Π contenente le rette 1 (t) = (1 t, t,π) e (s) = ( s,4s,1 s); 1.a.c. piano Π ortogonale alla retta (t) = (1 t,1 t,π) e passante per (π,,); 1.a.d. i piani Π 1, Π e Π sono paralleli (P), ortogonali (H) o in posizione generica (G)? Per tutti e tre i punti abbiamo che y = x π, ed è quindi questa l equazione del piano Π 1. È pertinente notare che i tre punti non sono allineati: ove il terzo punto fosse stato (1, π,1) allora infiniti piani li avrebbero contenuti tutti e tre. Tutti i punti di 1 e tutti i punti di soddisfano alla condizione y = x, ed è quindi questa l equazione del piano Π. Il vettore (1,,) esprime la direzione della retta ed è quindi ortogonale al piano Π. L equazione del piano Π è pertanto (1,,) (x,y,z) = (1,,) (π,,) ossia xy = π. I piani Π 1 e Π sono paralleli ed entrambi risultano ortogonali al piano Π come evidenziato dall annullamento del prodotto scalare (, 1, ) (1,, ) =. Π 1 : y = x π Π : y = x Π : x y = π Π 1 (P) Π (H) Π (H) Π 1 111/ 1.b. Dati i piani: Π 1 : αx y 4β z = β Π : y = 1 Π : β x α z = αβ, si determini per quali valori di α e β: 1.) l intersezione Π 1 Π Π consiste di uno ed un solo punto;.) l intersezione Π 1 Π è vuota;.) i piani Π e Π sono ortogonali. I tre piani si incontrano in uno ed un sol punto qualora il sistema composto dalle loro tre equazioni ammetta un unica soluzione, ossia ove si annulli il determinante della matrice dei coefficienti: α 4β 1 β α = α 4β = (α β)(α β). 1

2 Quindi l intersezione non consta di un singolo punto solo quando α = ±β. Quando α = β = i piani Π 1 e Π sono paralleli, e quindi l intersezione Π 1 Π è vuota (eccetto ove Π 1 = Π, il che non accade per α = β = ). I piani Π 1 e Π sono ortogonali quando sono ortogonali i rispettivi vettori ortogonali, il che risulta vero per ogni valore di α e β. 1.) Π 1 Π Π = 1: ogniqualvolta α ±β.) Π 1 Π = : quando α = β =.) Π e Π ortogonali: per ogni valore di α e β 11/ 1.c. Trovare un equazione parametrica per la retta la cui proiezione sul piano xy dia x = y 1 e la cui proiezione sul piano xz dia x = z 1. Le equazioni x = y 1 e x = z 1 descrivono la retta come intersezione di due piani. Per ottenere un equazione parametrica poniamo y = t, da cui segue x = t1 dalla prima equazione, da cui segue z = t 1 dalla seconda equazione. Un equazione parametrica è quindi (t) = (t 1,t,t 1), ed è facile verificare che il punto generico (t 1,t,t 1) soddisfa sia alla condizione x = y 1 che alla condizione x = z 1. (t) = (t 1,t,t 1). / 1.d. Calcolare la distanza tra la retta 1 (t) = (1t,1 t,1) e la retta di equazioni xyz = e xy =. Determinare se queste due rette siano sghembe o coplanari. Nel secondo caso, specificare se esse siano incidenti oppure parallele. Se parallele, specificare se esse siano distinte oppure coincidenti. Si noti come ogni punto (1 t,1 t,1) di 1 soddisfi sia all equazione x y z = che all equazione x y =. Quindi le rette 1 ed sono la stessa retta, ossia coincidono punto a punto. d( 1, ) =. Le rette 1 ed coincidono. Sono la stessa retta. 1/. È data la funzione F(x,y) = (y x)(x 4)..a. Disegnare l insieme Σ = {(x,y) F(x,y) = } e studiare il segno di F; Questa volta ho preferito fornire la F in forma già fattorizzata. (Per esercizio provare a fattorizzare yx x 4y 4x). Ultimando la fattorizzazione, scriveremo F(x,y) = (y x)(x)(x 4), da cui si evince lo studio del segno. Infatti, per la legge di annullameno del prodotto, la funzione F(x,y) = (y x)(x )(x 4) si annulla in corrispondenza di tutti e soli quei punti per i quali si annulli (y x) o (x ) o (x ). Pertanto, Σ = {(x,y) y = x x = ± }. Poichè la F è continua su tutto allora lo studio del segno ne consegue: il piano resta suddiviso nelle 6 regioni in figura, ciascuna labellata col segno che la F detiene con continuità in seno ad essa.

3 Il segno con cui labellare ciascuna regione risulta determinato dalle 4 regole della serie piú per piú = piú. In questo caso, poichè non vi sono radici multiple, le etichette riportanti i segni si alternano..a) Disegnare l insieme Σ e studio del segno: (, ) (,) (,).b. Determinare e studiare TUTTI i punti stazionari della funzione F; Poichè la F appartiene a C, individuare i punti stazionari della F significa individuare quei punti di in cui il gradiente della F si annulla. Ora, F x := F x = x xy 4 e F y := F y = x 4 e dobbiamo ricercare i punti (x,y) che soddisfano al sistema { x xy 4 = x 4 =, ossia di annullamento del gradiente. La seconda equazione ci dice che x = ±, ed i corrispondenti valori della y restano poi determinati dalla prima prima equazione. Otteniamo così i punti stazionari: (,), (, ). Dallo studio del segno della F di cui al punto (a) é facile dedurre che essi sono entrambi punti di sella..b) Elencare i punti stazionari di F specificandone la natura: punti stazionari: (, ), (, ). I punti (,) e (, ) sono entrambi selle della F. 1/ /.c. Determinare l equazione del piano tangente il grafico di F nel punto (,,). Poichè F(, ) = il punto dato appartiene effettivamente al grafico della F. L approssimazione lineare in quel punto sarà data da z = F x (,) (x ) F y (,) (y ) = 4x 4y..c) Equazione del piano tangente F in (,,): z = F x (,) (x ) F y (,) (y ) = 4x 4y.d. Determinare tutti i punti estremali di F nel quadrato Q di spigoli (,) e (, ). 1/

4 La F, essendo continua, dovrá necessariamente avere almeno un punto di massimo assoluto ed almeno un punto di minimo assoluto nella regione assegnata, dacchè questa è chiusa e limitata. Poichè tutti i punti stazionari della F sono risultati essere punti di sella, gli estremi di F saranno necessariamente situati sulla frontiera, ossia lungo il perimetro di Q. Lo studi del segno di cui al punto (a) restringe la nostra ricerca ai lati orizzontali, e vista la simmetria F( x, y) = F(x, y) ci si limita all esame del bordo superiore, caratterizzato dall equazione y =. Qui F(x,y) = (y x)(x 4) = x x 4x 8 e F x = 4x x 4. Ponendo F x = otteniamo x = ± 41. La radice x = era scontata (e vale quindi a conferma/verifica) ma non è interessante. La soluzione interessante individua il punto di minimo assoluto (,)..d) punti estremali di F in Q 1 Max Assoluto: (, ) 1 Min Assoluto: (,) /. In un riferimento Cartesiano x,y,z sia E la parte del piano y = descritta dalle disequazioni z x, e sia Q il solido che si ottiene facendo ruotare E di 6 o attorno all asse delle z..a. Disegnare sia E (sulla sinistra) che Q (sulla destra);.b. Esprimere Q in coordinate Cartesiane e in coordinate cilindriche;.c. Calcolare il volume di Q mediante integrazione;.d. Calcolare l integrale triplo I = Q z dxdy dz ;.e. Fornire le coordinate del baricentro B = (x b,y b,z b ) di Q; La figura piana E è il triangolo di vertici (,), (,), e (,). a.1) Disegnare E z z=x x a.) Disegnare Q b) esprimere Q{ in coordinate Cartesiane e in coordinate cilindriche Car: Q = (x,y,z) : z } x y } 11/ cil: Q = { (ρ,θ,z) : z ρ } 11/ 4

5 Per il computo del volume V di Q conviene riferirsi alle coordinate cilindriche. V = = = π Q ( π ρ dz dρdθ = ) ( dθ ρ π [ ρ ρ dρ = π ρ dz dρdθ ) 1 dz dρ = π ] = π. ρ[z] ρ dρ c) V = π ρ dz dρdθ = π 4/ Il computo di I è convenientemente affrontato allo stesso modo. I = = = π Q ( π z ρ dz dρdθ = ) ( dθ ρ [ ρ ρ 4 dρ = π 4 π ] ) z dz dρ = π = 1 4 π 4. z ρ dz dρdθ [ z ρ ] ρ dρ d) I = π zρ dz dρdθ = 1 4 π 4 / Data la simmetria rispetto all asse delle zeta, e visto l integrale appena sopra computato, le coordinate del baricentro saranno: x b =, y b =, e e) z b = I V = 1 4 π 4 π =. x b = y b = z b = I V = 8 / 5