+ (6 ( 6)) 2 = 6 6 = 1 2/30

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1 Prova scritta di Matematica II - marzo 6 - COEZIONE Fila A c.d.l. Scienze dell Architettura - Prof.. izzi.a. Calcolare la distanza tra i punti P = (, 6, e Q = (, 6,. d(p, Q = ( 9 + (6 ( 6 + ( = 69 =. 6.b. Calcolare la distanza tra il punto P = (, 6, ed il piano Σ : x y + z =. d(p, Σ = ( (6+ ( +( + = 6 6 = 6 6 = /.c. Calcolare la distanza tra il punto P = (, 6, e la retta di equazioni x y + z = e z =. Si noti che il punto Q = (, 6, appartiene ad. Pertanto d(p, d(p, Q =. Inoltre, d(p, poichè tutti i punti (x, y, z di soddisfano z mentre la terza coordinata di P è. Pertanto, d(p, =. Un approccio generale per rispondere a questa tipologia di domanda sarebbe passato per l esprimere in forma parametrica: { x = t y = t z = Ora che il generico punto (t di è espresso in dipendenza di un singolo parametro t, possiamo minimizzare d(p, (t = (t + (( t (6 + ( ( che equivale a minimizzare il funzionale g(t = (t + ( t 8 = 5 t t + 8 poichè la funzione f(x = x è monotona crescente e poichè il termine ( ( non dipende dalla t. Il minimo si ha per t = come si può evidenziare imponendo = g (t = t. Il punto di che minimizza g(t è pertanto Q = (, (, ( =, 6,. A questo punto le argomentazioni di cui sopra potrebbero risultare più naturali e, se entrano, ci servono come utile verifica. d(p, = d ( (, 6,, (, 6, ( ( = d (,,,,, = /

2 .d. Calcolare per quale valore di α il piano Σ α di equazione 6x y +αz = α risulta parallelo al piano Σ di equazione x y + z =. Determinare quindi la distanza tra questi due piani paralleli. Chiaramente, α = = 6 e Σ α : 6x y + 6z = 6. Σ α : 6x y + 6z = 6 ( α = = 6 La strategia per determinare la distanza tra il piano Σ : x y + z = ed il piano Σ 6 : 6x y + 6z = 6 consiste nello scegliere un punto a caso di Σ 6 e nell utilizzare quindi la formula per il computo della distanza punto/piano. Un punto conveniente è forse T = (,,. A questo punto possiamo riempire il riquadro. d(σ, Σ α = ( (+ ( +( + = 6 6 = 6 6 = / Dovrebbe ora venire il sospetto che anche il punto P = (, 6, appartenga al piano Σ α. In effetti 6 ( (6 + 6 ( = 6, ed anche questo fatto ci vale come verifica incrociata..e. Calcolare la distanza tra le rette sghembe ed di equazioni parametriche x = +t, y = + 6t, z = t e x = + s, y = 5 + 5s, z = + 6s. Il più corto segmento che congiunge ed sarà ortogonale ad entrambe ossia parallelo al vettore (, 6, (, 5, 6 = (6,,. Si prenda un qualsiasi punto della retta, come ad esempio il punto (,, e si osservi che la retta sarà contenuta nel piano Π di equazione 6(x (y + (z =, ossia 6x y + z =. Si prenda un qualsiasi punto della retta, come ad esempio il punto (, 5, e ci si avvalga ancora una volta della formula per il computo della distanza punto/piano per riempire il seguente riquadro. d(, = 6 ( (5+ ( 6 +( + = 9 = 7 = /. Determinare tutti i punti di massimo e di minimo della funzione F (x, y = x x + y +, nella regione x + y 6, specificando la natura di tali estremi (assoluti o relativi. La funzione F (x, y = x x+y + é un paraboloide e pertanto, quando considerata su tutto, avrá un unico punto estremale. Esso costituirá un minimo assoluto (i coefficienti dei termini x ed y sono entrambi positivi e sará anche l unico punto stazionario della F. Per individuare tale punto stazionario della F ricerchiamo quel punto di in cui entrambe le componenti del gradiente della F si annullano. Ora, F x := F x = x e F y := F y = y ed il punto ricercato sará pertanto (,. Tale punto cade internamente

3 alla regione x + y 6, e pertanto costituirá un minimo assoluto per la F anche in riferimento a tale regione. Sostituendo i valori delle coordinate nella forma della F, F (, =. In effetti F (x, y = (x + y non potrà mai assumere valori negativi e quindi (, resta confermato come punto di minimo assoluto. La F, essendo continua, dovrá necessariamente avere anche un punto di massimo assoluto sulla regione assegnata. Esso sará necessariamente situato sulla frontiera, e pertanto lo ricerchiamo con la tecnica dei moltiplicatori di Lagrange, ossia impostando il seguente sistema. { x = F x = λ(x y = F y = λ(6y x + y = 6 Di queste equazioni, la seconda è quella che parla per prima portando a considerare due casi:. y =, e quindi x = ± (per la terza equazione;. y, quindi λ = (per la seconda equazione, quindi x = (per la prima equazione, il che risulta impossibile (per la terza equazione. In conclusione, a seguito di questa analisi restano individuati il punto (, in cui F (, = 8 8, ed il punto (, in cui F (, = Pertanto, il punto (, costituisce sicuramente il punto di massimo assoluto per la F sulla regione assegnata. Volendo comprendere la natura del punto (,, risulta di grande aiuto il considerare che le curve di livello della F sono le circonferenze con centro nel punto (,. Poichè lo studio dei moltiplicatori di Lagrange ha condotto a queste due sole soluzioni, ne consegue che due sole di queste circonferenze sono tangenti all elisse x + y = 6: quella con tangenza nel punto (,, che risulta tutta esternaall elisse, e quella con tangenza nel punto (,, che pertanto è tutta contenuta nell elisse, altrimenti altre circonferenze con centro in (, sarebbero tangenti all elisse. Pertanto, il punto (, non è nè di massimo nè di minimo locale: per ridurre il valore della F basta spostarsi verso il punto (,, mentre spostarsi lungo l elisse porta ad incrementare il valore della F. (, ; F (, = (, ; F (, = In un riferimento Cartesiano x, y, z, sia M l intersezione della palla di raggio centrata nell origine con il cono con vertice nell origine, asse di simmetria coincidente con l asse delle z, e la cui intersezione con il piano y = è data da {(x,, z z x }..a Disegnare M (o una sua sezione significativa; 7/

4 a Disegnare M (o una sua sezione significativa z= x z z=x.b esprimere M in coordinate Cartesiane; b M = {(x, y, z x + y + z, x + y z }..c calcolare il volume di M mediante integrazione; Il solido M gode di simmetria sferica e, quando espresso tramite le coordinate di Eulero, esso corrisponde al rettangolo M = { (φ, θ, ρ : φ π, θ π, ρ }. In questo modo, ricordando di introdurre il termine ρ sin φ corrispondente allo Jacobiano, otteniamo la seguente misura per il volume di M x V = π [ ρ = π π ] ρ sin φ dρ dφ dθ = π [ cos φ ] π = π ( dθ π ρ dρ sin φ dφ = π. c V = π dθ ρ dρ π sin φ dφ = π 6/ Come verifica, ricomputiamo lo stesso integrale in coordinate cilindriche, ricordando che ora il fattore dovuto allo Jacobiano è ρ. V = π = π dθ ( ( z z dz + z ρ dρ dz + z dz ρ dρ dz

5 [ = π z ] + ( [ z ] = π ( + + = π. Osserviamo che l integrazione sarebbe risultata assai più difficoltosa se si fosse deciso di integrare prima rispetto a z e poi rispetto a ρ, ossia in questo caso è risultato preferibile spezzare la regione di integrazione in due regioni di tipo piuttosto che non considerarla come un unica regione di tipo (con riferimento alla figura di cui sopra..d calcolare la superficie di M. In base alla Formula 7 a pag. 9 del testo, la superficie di M che è in contatto col cono, dove r(z = z, è data da π r(z + (r (z dz = π z dz = π [ z ] = π. In virtù della stessa formula, la superficie di M che è in contatto col la sfera, dove r(z = z, è data da π r(z + (r (z dz = π z z dz = π = π ( = π (, dz È poi la somma che fa il totale. d S = π + π ( = π 8/ 5