Analisi Matematica 3 (Fisica) Prova scritta del 17 febbraio 2012 Un breve svolgimento delle versioni A

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1 Analisi Matematica 3 (Fisica) Prova scritta del 7 febbraio Un breve svolgimento delle versioni A Vi sarò grato per la segnalazione di eventuali errori. Esercizio. (a) Dimostrare che l equazione () (3 + x )e z e z + (4x + )(y y + ) 3 = definisce implicitamente un unica funzione z = h(x, y), e che h C (R ). (b) Determinare i punti stazionari di h e stabilire se sono estremanti. Denotiamo con F (x, y, z) l espressione a sinistra dell equazione (), e osserviamo che F C (R 3 ). (a) Fissiamo (x, y) R. Siccome F z (x, y, z) = (3 + x )e z e z < per ogni z R, la funzione F (x, y, ) è strettamente decrescente. Visto che lim F (x, y, z) =, z ± la continuità e la stretta monotonia di F (x, y, ) implicano che essa si annulla in un unico punto z R, che denoteremo con h(x, y). Abbiamo così dimostrato che esiste un unica funzione implicita z = h(x, y) ed essa è definita su tutto R. Siccome F C (R 3 ), il teorema di Dini implica che h C (R ). (b) Per il teorema di Dini, ogni punto stazionario di h soddisfa il sistema () (3) (4) F (x, y, z) (3 + x )e z e z + (4x + )(y y + ) 3 =, F x (x, y, z) x ( e z + 4(y y + ) ) =, F y (x, y, z) (4x + )(y ) =. Dalla (4) si ottiene y =, dalla (3) poi x =, e infine dalla () si trova z =. Quindi (, ) è un unico punto stazionario per h, con h(, ) =. Per stabilire se esso è estremante, utilizzeremo la matrice hessiana. Ricordando che, in un punto stazionario (x, y), si ha h xx (x, y) = Fxx(x,y,h(x,y)) F z(x,y,h(x,y)) (e analogamente per le altre derivate seconde), si calcola facilmente che ( ) H h (, ) =, 5 da cui segue che (, ) è un punto di minimo (almeno relativo) per h. Commento: Potevamo anche procedere considerando il segno di F (x, y, ). Con un po di conti si ottiene che F (x, y, ) > per ogni (x, y) (, ). Ne segue che h(x, y) > = h(, ) e quindi (, ) è addirittura un punto di minimo assoluto.

2 Esercizio. Sia γ la curva in R 3, data dal sistema x + y z = (5) 6x + 8y z = e orientata in senso antiorario rispetto ad un osservatore situato nel punto (,, ). Calcolare il lavoro lungo γ del campo vettoriale ( F (x, y, z) = y + z 4 xz ex, x + e y, + 4ez). I termini esponenziali, scomodi da integrare, di F non compaiono nel rotore di F. Ciò suggerisce l utilizzo del teorema di Stokes. γ è una curva in R 3 (intersezione di un paraboloide con un piano). Eliminando z in (5), si ottiene che la proiezione di γ sul piano x, y soddisfa l equazione (x 3) + (y 4) = 5. Considerando quindi il disco D = (x, y) : (x 3, y 4) 5} e il fatto che γ è contenuta nel piano z = 6x + 8y, possiamo vedere γ come il bordo della superficie S (che è un ellisse), contenuta in tale piano, parametrizzata da ϕ(x, y) = (x, y, 6x + 8y), (x, y) D. Inoltre, l orientazione antioraria (guardando dalla parte positiva dell asse z) di γ corrisponde all orientazione antioraria, e quindi positiva, di D. Si calcola che ( rot F (x, y, z) =, 4 z ),. Per il teorema di Stokes, il lavoro richiesto è uguale a (F dx + F dy + F 3 dz) = rot F, ν dσ + D S = rotf (ϕ(x, y)), ϕx (x, y) ϕ y (x, y) dxdy D ( ) =... = (6x + 8y) dxdy. 5 Utilizzando le coordinate polari, si calcola il risultato finale: 5π (se non ho sbagliato i conti; verificate!). D Esercizio 3. Per a >, consideriamo le funzioni f n (x) = na log( + x) + n x (n =,,...).

3 Dopo aver osservato che f n L(, n ) per ogni n, calcolare, al variare di a >, il limite lim n + /n f n (x) dx. Per ogni n, la funzione f n ha una discontinuità eliminabile in ed è quindi sommabile (addirittura Riemann-integrabile) su (, /n). Siccome l intervallo di integrazione dipende da n, proviamo ad applicare la sostituzione nx = t, ottenendo il limite richiesto nella forma lim n n a log( + t n ) + t dt. Poniamo g n (t) = na log(+ t n ). La funzione limite è: +t + se a >, t g(t) = lim g n (t) = se a =, n +t se < a <, Per a, abbiamo per ogni t (, ). g n (t) = g n (t) na (t/n) + t = na t + t t L(, ). + t Per il teorema della convergenza dominata, il limite richiesto vale: se < a < ; t dt = log +t se a =. Nel caso a >, possiamo utilizzare il lemma di Fatou: siccome lim inf n + il limite richiesto vale +. g n (t) dt g(t) dt = +, 3 Esercizio 4. Stabilire per quali β >, la funzione f β (x, y, z) = x / y β z 3 è sommabile sull insieme } E = (x, y, z) (, π ) (, ) (, + ) : sin x < y, yz >. L insieme E è misurabile (è aperto!) e la funzione f è misurabile (perché continua) e positiva su E. Quindi f è integrabile su E. Scrivendo l insieme E nella forma E = (x, y, z) (, π ) (, ) (, + ) : y > } sin x, z > y,

4 4 possiamo calcolare: f β = E = = π/ π/ (3 β) x / ( sin x y β ( ) ) + z 3 dz dy dx /y ( ) x / y β dy dx sin x π/ ] [x / x / (sin x) 3 β dx. Ovviamente, la sommabilità della parentesi quadra equivale alla sommabilità del suo secondo addendo. Per x +, abbiamo x / (sin x) 3 β x 4 β. La sommabilità ci sarà se e solo se 4 β >, cioè β < 6. Ma, attenzione!, c è ancora un dettaglio: i conti fatti sopra valgono solo per β 3. E facile verificare che, anche nel caso β = 3, si ottiene la sommabilità (verificatelo!). Conclusione: f β L(E) se e solo se β < 6. Esercizio 4 (F48). (a) Determinare l insieme di definizione della funzione (reale di variabile reale) f(x) = + k= k k + xk. (b) Stabilire su quali intervalli la serie converge uniformemente. (c) Calcolare esplicitamente i valori di f. (a) Si tratta di una serie di potenze di raggio di convergenza. Nel punto x = la serie diverge a +, mentre in x = converge per il teorema di Leibniz. L insieme di definizione di f è quindi l intervallo [, ). (b) Per il teorema di Abel, la convergenza è uniforme su ogni intervallo compatto [a, b] [, ). Ma la convergenza non è uniforme su tutto [, ) (teorema del doppio limite). Quindi, dato un intervallo I [, ), la serie converge uniformemente su I se e solo se sup I < (cioè, I è discosto da ). (c) Per sommare la nostra serie, sarà comodo porre x = t. Otteniamo la funzione f(t) = + k= t k k +, definita su [, ). Per t [, ) \ }, possiamo scrivere f(t) = t + k= t k+ k + =: t g(t).

5 Si ha g (t) = +!). Di conseguenza, k= tk+ = t t per t (, ), e g() = (g è definita anche nel punto t s g(t) = ds = t log( t). s Quindi f(t) = log( t) t t per t (, ) \ }. Ritornando alla variabile x, otteniamo f(x) = log( x) x 4x per x (, ) \ }. Per continuità di f in, l ultima formula vale anche per x =. In x = abbiamo f() = sostituendo nella nostra serie (ma questo valore si poteva ottenere anche passando al limite per x ). Conclusione: f(x) = x log( x) per x [ 4x, ) \ }, per x =. 5