Esercizi 8 12 gennaio 2009

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Gustavo Simoni
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1 Sia α > e Esercizi 8 2 gennaio 29 f(x, y = ( + x 2 + y 2 α. Dimostrare che f appartiene a L p ( 2, con α p >. Osserviamo innanzitutto che, essendo f continua, l integrale di f p su 2 è uguale all integrale improprio secondo iemann di f p in 2. Pertanto f(x, y p dx dy = lim f(x, y p dx dy. 2 n + Passando in coordinate polari, e ricordando la definizione di f, 2π n f(x, y p ρ dρ dθ n dx dy = ( + ρ 2 α p = 2π ρ dρ ( + ρ 2 α p. Eseguendo il calcolo, se α p si ha f(x, y p dx dy = ( + n2 α p, 2 2α p che rimane limitato quando n diverge se e solo se α p >. Se α p =, l integrale vale log( + n 2 e quindi diverge. 2 Siano N 2, α > e f(x,..., x N = ( + x x2 N α. Per quali p la funzione f appartiene a L p ( N? Dimostrare che f non appartiene a L p ( M se M > N e p < + (si usi il teorema di Fubini-Tonelli. Per la prima parte dell esercizio, il calcolo è analogo all esercizio precedente. meno di costanti (dipendenti da N si ha n f(x, y p ρ N dρ dx... dx N ( + ρ 2 α p. Vicino a zero l integrale è finito, pertanto rimane da stimare n ρ N dρ ( + ρ 2 α p n ρ N 2α,p dρ, e l ultimo integrale è limitato se e solo se α p > N 2. Per la seconda parte dell esercizio, è sufficiente osservare che f(x,..., x N p dx... dx N dx N+... dx M M ( ( = f(x,..., x N p dx... dx N dx N+... dx M, N M N e che l ultimo integrale è finito qualsiasi sia M > N (e qualsiasi sia p. 3 Calcolare, giustificando i passaggi, ( min lim n + B ( x 2 + y 2, n dx dy. A

2 2 La successione di funzioni ( f n (x, y = min x 2 + y 2, n è misurabile (perché continua, non negativa e monotona crescente in n. Dal momento che lim f n(x, y = n + x 2 + y 2, per ogni (x, y in B ( tranne l origine (dunque quasi ovunque, il Teorema di Beppo Levi implica che lim n + B ( ( min x 2 + y 2, n dx dy. = B ( Eseguendo il calcolo, si vede che quest ultimo integrale è infinito. dx dy x 2 + y 2. 4 Studiare la convergenza in L p ( 2 ( p + della successione di funzioni f n (x, y = e n(x2 +y 2 + x 2 + y 2 Si ha lim f n(x, y =, n + per quasi ogni (x, y in 2 (si deve infatti escludere l origine, dove il limite vale. Inoltre, +y 2 f n (x, y f (x, y = e (x2 + x 2 + y 2. Si vede facilmente (usando nuovamente le coordinate polari e buttando via il denominatore che f appartiene ad L p ( 2 per ogni p in [, +. Per il Teorema di Lebesgue, f n converge a zero in L p ( 2 per p < +. Per quanto riguarda L ( 2, non si ha convergenza essendo l estremo superiore (essenziale di f n uguale ad per ogni n. 5 Siano a, b due numeri reali positivi, e sia F : 2 2 definita da F (x, y = (ax, by. Dimostrare che m 2 (F (E = abm 2 (E per ogni insieme misurabile E in 2. Suggerimento: dimostrarlo prima per E in, poi per E in, per E in, ed infine per E qualsiasi. Se I = (α, β è un intervallo di, allora ai = (aα, aβ e l(ai = al(i. Pertanto, se E è un sottoinsieme qualsiasi di, si ha m (ae = am (E. Si dimostra poi che se E è misurabile in, allora ae lo è (e pertanto m(ae = am(e. È allora chiaro che se E è un rettangolo di 2, allora E = A B e F (E = (aa (bb; pertanto, m 2 (F (E = abm 2 (E. Sia ora in (che supponiamo di misura finita, altrimenti la formula da dimostrare è evidentemente vera. Allora è unione disgiunta di rettangoli di 2. Essendo l immagine dell unione l unione delle immagini, la formula appena dimostrata sui rettangoli si trasporta a grazie alla σ-additività di m 2 e all iniettività di F : ( ( m 2 (F (E = m 2 F E n = m 2 (E n = abm 2 (E. n N n N m 2 (F (E n = ab n N Con ragionamento analogo (usando il fatto che ogni insieme di di misura finita si può scrivere come intersezione di una successione decrescente di insiemi in di

3 3 misura finita si dimostra che se E è in allora m 2 (F (E = abm 2 (E. Sia ora E è un insieme misurabile di misura nulla. Allora esiste G in, contenente E, e tale che m 2 (E = m 2 (G. Ma allora m 2 (F (E m 2 (F (G = abm 2 (G =, e pertanto anche F (E ha misura nulla (ovvero, la formula è valida per insiemi misurabili di misura nulla. Infine, se E è un misurabile qualsiasi, esiste G in contenente E e con la stessa misura; pertanto, G = E H, con m 2 (H =. Allora F (G = F (E F (H (unione disgiunta e quindi abm 2 (E = abm 2 (G = m 2 (F (G = m 2 (F (E + m 2 (F (H = m 2 (F (E, ovvero la tesi. 6 Sia F (x, y = ( x 2, y 2 e siano F (x, y = F (x, y, F 2 (x, y = F (x, y + (, e F 3 (x, y = F (x, y + ( 2, 3 2. Sia S il triangolo equilatero di vertici (,, (2, e (, 3 e sia, per k in N, 3 S k = F j (S k. j= Detta S l intersezione degli S k, calcolare m 2 (S; disegnare S 3. L effetto di F è quello di dimezzare S (sia in altezza che in larghezza; in altre parole, F (S è il triangolo di vertici (,, (, e ( 2, 3 2 ; analogamente, F 2(S è il triangolo di vertici (,, (2, e ( 3 2, 3 2, mentre F 3(S è il triangolo di vertici ( 2, 3 2, ( 3 2, 3 2 e (, 3. Pertanto, S è ottenuto da S eliminando il triangolo centrale di vertici ( 2, 3 2, ( 3 2, 3 2 e (,, e quindi S S. Continuando, S 2 è ottenuto da S eliminando i tre triangoli centrali dei tre triangoli la cui unione è S, e così via. Pertanto, {S k } è una successione decrescente di insiemi, il primo dei quali ha misura finita, cosicché la misura di S è il limite delle misure di S k. Per l esercizio precedente, m 2 (F (S = m 2 (F 2 (S = m 2 (F 3 (S = m2(s 4 e quindi m 2 (S = 3 4 m 2(S. Iterando il ragionamento, m 2 (S k = ( 3 k 4 m2 (S, che implica m 2 (S =. S è detto triangolo di Sierpinski, ed è un frattale di dimensione ln(3 ln(2, maggiore di ma minore di 2 (ed infatti ha misura bidimensionale nulla. 7 Sia F (x, y = ( x 3, y 3 e sia F ij (x, y = F (x, y + (i, j, i, j =,..., 3. Sia M = ([, 3] [, 3]\([, 2] [, 2] e sia, per k in N, M k = F ij (M k. i,j=,...,3 (i,j (2,2 Detta M l intersezione degli M k, calcolare m 2 (M; disegnare M 3. Con ragionamento analogo all esercizio precedente si vede che F ij riduce di un terzo le dimensioni di M, e lo sposta in 8 posizioni diverse. In definitiva, M è costituito da 8 copie disgiunte (e opportunamente traslate di F (M che è il quadrato [, ] [, ] privato del terzo centrale [ 3, 2 3 ] [ 3, 2 3 ]. Pertanto, M è contenuto in M, e la sua misura è 8 9 della misura di M. Continuando, si ottiene che M k 8 è contenuto in M k, e la sua misura è gli 9 della misura di M k. Pertanto,

4 4 Figura. Questo è S 6 (compatibilmente con la risoluzione della stampante m 2 (M k = ( 8 k 9 m2 (M, e quindi m 2 (M =. M è detto tappeto di Sierpinski (o spugna di Menger bidimensionale, ed è un frattale di dimensione ln(8 ln(3 (di poco inferiore a 2. 8 Siano f e g due funzioni di L (, con f(x g(x quasi ovunque. Sia E misurabile in e sia D = {(x, y 2 : x E, f(x y g(x}. Dimostrare che D è misurabile e (usando il Teorema di Fubini-Tonelli che m 2 (D = [g(x f(x]dx. Si ha, essendo { [f(x, g(x] per quasi ogni x E, D x = se x E e per alcuni x in E (di misura nulla, ( m 2 (D = χ D (x, ydy = χ Dx (ydy dx 2 = [g(x f(x]χ E (x = [g(x f(x], E E

5 5 Figura 2. Questo è M 4 (compatibilmente con la risoluzione della stampante e quindi la tesi, se però sapessimo che D è misurabile. Per dimostrare che D è misurabile, è sufficiente dimostrare che è misurabile l insieme F = {(x, y 2 : y h(x}, dove h è una funzione misurabile e non negativa. Dal momento che esiste una successione di funzioni semplici ϕ n che approssima h crescendo, ed essendo l insieme E n = {(x, y 2 : y ϕ n (x} un elemento di (come si verifica facilmente, ne segue che G = {(x, y 2 : y < h(x} è in e quindi è misurabile. Infine, essendo F = n N{(x, y 2 : y < h(x + n }, ne segue che F è in e quindi è misurabile. 9 Siano f in L ( e g in L p (. Dimostrare (usando il Teorema di Fubini- Tonelli che è in L p ( la funzione (f g(x = f(yg(x ydy.

6 6 Sia g in L (. Allora ( (f g(x = f(yg(x ydy dx f(y g(x y dy dx, e quindi, per il Teorema di Fubini-Tonelli, ( ( ( (f g(x = f(y g(x y dx = f(y dy g(z dz, e l ultima quantità è finita. Sia ora g in L p ( con p >. Scriviamo, detto q il numero reale tale che p + q =, f(y g(x y dy = f(y q f(y p g(x y dy ( ( q f(y dy f(y g(x y p p dy. Pertanto, ( p (f g(x p dx f(y g(x y dy dx ( p ( q f(y dy f(y g(x y p dy dx. Infine, ragionando come nel caso g in L (, ( p (f g(x p dx f(y dy ( p ( = f(y dy Sia f in L (, e sia g(x = q + ( g(z p dz g(z p dz e x ( t + f(t dt, x. < +. Dimostrare (nell ordine che g è ben definita, limitata, continua e che appartiene a L (. La funzione t e x ( t + è continua in per ogni x reale, e pertanto è misurabile. Essendo f(t misurabile (appartenendo ad L (, si ha che la funzione integranda è misurabile. Essendo evidentemente non negativa, la funzione t e x ( t + f(t è integrabile su e quindi g è ben definita. Si ha poi g(x = g(x = e x ( t + f(t dt f(t dt = M < +, e quindi g è limitata. Sia ora x n convergente ad x in. Allora per ogni t; inoltre lim n + e xn ( t + f(t = e x ( t + f(t, e xn ( t + f(t = e xn ( t + f(t f(t, che appartiene ad L (. Per il teorema di Lebesgue si ha allora lim g(x n = lim e xn ( t + f(t dt = e x ( t + f(t dt = g(x, n + n +

7 7 cosicché g è continua. Essendo g continua, è misurabile; essendo non negativa, è integrabile su. Inoltre, la funzione (x, t e x ( t + f(t è misurabile su 2 (si dimostri per esercizio che (x, t f(t è misurabile in 2 ed è non negativa. Si ha allora, per il Teorema di Fubini, ( g(xdx = e x ( t + f(t dt dx = e x ( t + f(t dtdx ( 2 ( = e x ( t + f(t dx dt = e x ( t + dx f(t dt ( = 2 e x( t + dx f(t dt = 2 (,+ f(t t + dt 2 f(t dt < +.

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