ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del TEMA log x. f(x) = e

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1 Esercizio 1 [6 punti] Sia ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione Appello del TEMA 1 f) = e +log. a) Determinare il dominio D di f; determinare i limiti di f agli estremi di D e studiare la prolungabilità per continuità di f in = 0; b) studiare la derivabilità, calcolare la derivata e studiare la monotonia di f; determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto; c) disegnare un grafico qualitativo di f. Svolgimento a) Essendo il dominio di e tutto R, ed il dominio di log tutti gli > 0, il dominio di f è determinato dalle due condizioni: > 0, + log 0. La seconda relazione equivale a e, quindi Con tre cambi di variabile si ottiene D = { > 0 : e }. lim f) = lim e +y = lim e s 0 + y s + = lim t 0 + et = 1. Dunque f può essere estesa per continuità in 0 ponendo f0) = 1. Inoltre lim f) = lim e y = lim e y 0 + s + es = +. Dunque f non può essere estesa per continuità in e. Infine lim f) = lim e +y = lim e s + y + s + = lim t 0 + et = 1. b) La funzione è derivabile in tutto il suo dominio, essendo composizione di funzioni derivabili la funzione non è derivabile solo in 0, ma + log si annulla solo in e, che non appartiene al dominio.) La derivata, calcolata con la regola della catena è: f ) = e +log ) + log 1 + log + log = e +log + log ). + log Si noti che la frazione del membro destro è sempre positiva nel dominio D, da cui: f ) > 0 + log < 0 0 < < e, f ) < 0 + log > 0 > e, ed f ) 0 per ogni D. In particolar modo f non ha punti critici. Il grafico di f è in figura 1.

2 f) Figure 1: Il grafico di f Tema 1). Esercizio [4 punti] Studiare la convergenza della serie n=1 sin 1 n 1 n. Svolgimento Per n abbiamo sin 1 n 1 n e 1 n n. Pertanto il termine generale della serie è asintotico a 1. Poiché n > 1, la serie 1 n=1 n converge, e per il principio di convergenza asintotico, anche la prima serie converge. Esercizio [4 punti] Risolvere l equazione e disegnare le soluzioni sul piano complesso. z z = Im z) iz Svolgimento Osserviamo che l equazione è ben definita solo per z 0. Pertanto, assumendo z 0 possiamo semplificare moltiplicando a sinistra per z z, ottenendo z z = z z) = Im z z, dove abbiamo anche usato che iz = z = z. Moltiplicando per z otteniamo z = Im z). Scrivendo z = + iy si ottiene z = y + iy, Im z) = y, ed otteniamo dunque y + iy = y. 1)

3 Quest equazione può essere soddisfatta solo se iy = 0. Questo implica y = 0, ovvero = 0 o y = 0 non entrambi perché z 0). Nel caso = 0, y 0, abbiamo una soluzione di 1). Nel caso y = 0 e 0 invece 1) non è soddisfatta. Quindi le soluzioni sono {z = + iy C : = 0, y 0}, ovvero l asse immaginario privato dell origine, come si può vedere in figura Imz) Rez) Figure : L insieme delle soluzioni dell esercizio Tema 1). Esercizio 4 [5++4 punti] a) Si calcoli una primitiva della funzione Per α R, si definisca poi f α ) = e α log1 + e ): b) si studi la convergenza dell integrale generalizzato e log1 + e ). + 0 f α ) d al variare di α R; c) si calcoli lo sviluppo di Taylor di ordine di centro 0 = 1 della funzione F ) = 1 f 0 t) dt. Svolgimento a) Con la sostituzione y = e, dy = e d ed un integrazione per parti si ottiene e log1 + e y )d = log1 + y)dy = y log1 + y) 1 + y dy. Ora, per ridurre il numeratore dell integrando a destra scriviamo y 1 + y = y,

4 Dunque y 1 + y dy = 1 1 ) log1 + y) dy = y + c. 1 + y Aggiungendo ai termini precedenti e sostituendo y = e si ottiene e log1 + e )d = e log1 + e ) e + log1 + e ) + c. b) Per ogni α R la funzione f α è continua in [0, + ), quindi per studiare la convergenza del suo integrale, studiamo il comportamento di f α per. Per α 0 abbiamo che lim f α) = +, per cui l integrale + 0 f α )d diverge. Per α < 0, abbiamo f α ) = o ) per, e per il criterio del confronto asintotico, l integrale converge. c) Abbiamo Abbiamo quindi F ) = F 1) + F 1) 1) + F 1) 1) + o 1 ) per 1. F 1) = 0, F 1) = f 0 1) = log1 + e), f 0) = e 1 + e, f 01) = e 1 + e, F ) = log1 + e) 1) + e 1 + e 1) + o 1 ) per 1. Esercizio 5 [6 punti] Calcolare il limite lim + α 8 4 ) + 1 al variare del parametro α > 0. Svolgimento. Usiamo l espansione 1 + y) r = 1 + ry + oy) per y 0 e scriviamo 8 = ) = 4 1 ) = )) o,, per, = 1) 4 = ) = )) o, per. Sottraendo otteniamo α 8 4 ) + 1 = α )) o = α o1)) per. 4 Pertanto lim ) + α 8 4 ) + 1 = lim α o1)) = per α < per α = 4 per α > 4.

5 Esercizio 1 [6 punti] Sia ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione Appello del TEMA f) = e 1 +log. a) Determinare il dominio D di f; determinare i limiti di f agli estremi di D e studiare la prolungabilità per continuità di f in = 0; b) studiare la derivabilità, calcolare la derivata e studiare la monotonia di f; determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto; c) disegnare un grafico qualitativo di f. a) Essendo il dominio di e tutto R, ed il dominio di log tutti gli > 0, il dominio di f è determinato dalle due condizioni: > 0, + log 0. La seconda relazione equivale a e, quindi Con tre cambi di variabile si ottiene D = { > 0 : e }. lim f) = lim e +y = lim e 1 s 0 + y s + = lim t 0 + et = 1. Dunque f può essere estesa per continuità in 0 ponendo f0) = 1. Inoltre lim f) = lim e 1 y = lim e y 0 + s + es = +. Dunque f non può essere estesa per continuità in e. Infine lim f) = lim e +y = lim e 1 s + y + s + = lim t 0 + et = 1. b) La funzione è derivabile in tutto il suo dominio, essendo composizione di funzioni derivabili la funzione non è derivabile solo in 0, ma + log si annulla solo in e, che non appartiene al dominio.) La derivata, calcolata con la regola della catena, è: f ) = e 1 +log ) 1 + log 1 + log + log = e 1 +log + log ). + log Si noti che la frazione del membro destro è sempre positiva nel dominio D, da cui: f ) > 0 + log < 0 0 < < e, f ) < 0 + log > 0 > e, ed f ) 0 per ogni D. In particolar modo f non ha punti critici. Il grafico di f è in figura.

6 f) Figure : Il grafico di f Tema ). Esercizio [4 punti] Studiare la convergenza della serie 1 n) sinh 1 n. n=1 Svolgimento Per n abbiamo sinh 1 1 e 1 n n. Pertanto il termine generale della serie n n è asintotico a 1. Poiché n > 1, la serie 1 n=1 n converge, e per il principio di convergenza asintotico, anche la prima serie converge. Esercizio [4 punti] Risolvere l equazione e disegnare le soluzioni sul piano complesso. z z = Re z) iz Svolgimento Osserviamo che l equazione è ben definita solo per z 0. Pertanto, assumendo z 0 possiamo semplificare moltiplicando a sinistra per z z, ottenendo z z = z Re z) = z z, dove abbiamo anche usato che iz = z = z. Moltiplicando per z otteniamo z = Re z). Scrivendo z = + iy si ottiene z = y + iy e quindi Rez) = ; otteniamo dunque y + iy =. )

7 Quest equazione può essere soddisfatta se e solo se y = 0 e iy = 0. Quest ultima implica y = 0, cioè = 0 o y = 0 non entrambi perché z 0). Nel caso 0, y = 0, abbiamo una soluzione di ). Nel caso y 0 e = 0 invece ) non è soddisfatta. Quindi le soluzioni sono {z = + iy C : y = 0, 0}, ovvero l asse reale privato dell origine, come si può vedere in figura 4 Imz) Rez) Figure 4: L insieme delle soluzioni dell esercizio Tema ). Esercizio 4 [5++4 punti] a) Si calcoli una primitiva della funzione Per α R, si definisca poi f α ) = e α log1 + e ): b) si studi la convergenza dell integrale generalizzato e log1 + e ). + 0 f α ) d al variare di α R; c) si calcoli lo sviluppo di Taylor di ordine di centro 0 = della funzione F ) = f 0 t) dt. Svolgimento a) Con la sostituzione y = e, dy = e d ed un integrazione per parti si ottiene e log1 + e )d = 1 y log1 + y) log1 + y)dy = 1 y 1 + y dy. Ora, per ridurre il numeratore dell integrando a destra scriviamo y 1 + y = y,

8 Dunque y 1 + y dy = 1 1 ) dy = y log1 + y). 1 + y Aggiungendo ai termini precedenti e sostituendo y = e si ottiene e log1 + e )d = e log1 + e ) e + log1 + e ) + c. b) Per ogni α R la funzione f α è continua in [0, + ), quindi per studiare la convergenza del suo integrale, studiamo il comportamento di f α per. Per α 0 abbiamo che lim f α) = +, per cui l integrale + 0 f α )d diverge. Per α < 0, abbiamo f α ) = o ) per, e per il criterio del confronto asintotico, l integrale converge. c) Abbiamo Abbiamo F ) = F ) + F ) ) + F ) ) + o ) per. quindi F ) = 0, F ) = f 0 ) = log1 + e ), f 0) = e 1 + e, f 0) = e 1 + e, F ) = log1 + e ) ) + e 1 + e ) ) + o ) per. Esercizio 5 [6 punti] Calcolare il limite lim + α + 6 ) 1 al variare del parametro α > 0. Svolgimento. Osserviamo che per + si ha α ) + 6 ) 1 = α+1/ Usiamo ora l espansione 1 + y) r = 1 + ry + oy) per y 0: per + vale [ = o Pertanto )] [ )] o = + o lim + α + 6 ) ) 1 = lim + α / + o1) = ) 1. 0 per α < per α = per α >. NB: con log si indica il logaritmo in base e.