Soluzione della Prova Scritta di Analisi Matematica 4-27/06/11. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni. Proff. K. R. Payne e E.

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1 Soluzione della Prova Scritta di Analisi Matematica 4-27/6/ C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Proff. K. R. Payne e E. Terraneo Esercizio. a. La successione di funzioni {f n } + n definite da { nx n log ( + x n x [, f n (x e x2 /n x [, + converge puntualmente in [, + alla funzione ite { x [, f(x x [, + b. Nel calcolo dei iti f n (x dx, f n (x dx, notiamo che il ite passa sotto segno di integrale su [, + ma non su [,. Su [,, faccendo il cambiamento di variabile u x n otteniamo nx n log ( + x n dx du nx n dx u /n log ( + u du, dove g n (u : u /n log ( + u definisce una successione di funzioni sommabili su [, (sono continue su [, ]. Si ha g n (u log ( + u L([, e g n(u log ( + u. Per il teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata abbiamo f n (x dx g n (u du u log ( + u log ( + u du u du 2 log 2. + u

2 Invece, su [, + si ha x 2 n + x2 n x2 x2 n n + f n(x f n+ (x. Applicando il teorema sulla convergenza monotona otteniamo f n (x dx dx +. In alternativa, si può anche applicare il Lemma di Fatou: ma inf sup f n (x dx f n (x dx inf e quindi f n (x dx + inf f n(x dx f n(x dx f n (x dx + dx +, Esercizio 2. La funzione f α (x, y, z : xyα z per α < risulta sommabile su E p {(x, y, z R 3 : z x 2 + y 2, x 2 y 2p, y } per p se e solo se α > 2p 2. Infatti, f α è misurabile su E p essendo continua su E p \ {(,, } ed è pari in x su E p simmetrico rispetto ad x. Quindi f α (x, y dxdydz 2 f α (x, y dxdydz E p Ẽ p dove Ẽp {(x, y, z E p : x }. Posto D p : {(x, y R 2 : y, x y p } e usando il Teorema di Tonelli si ottiene ( x 2 +y 2 2 f α (x, y, z dxdydz 2 xy α z /2 dz dxdy Ẽ p D p ( y p 4 y α x(x 2 + y 2 /2 dx dy y α ( (y 2p + y 2 3/2 y 3 dy.

3 Analizzando la singolarità di g(y : y ( α (y 2p + y 2 3/2 y 3 in y, si trova g(y (2 3/2 y α+3 se p g(y 3 2 yα+2p+ per y + se p >. Serve allora α + 2p + > per la sommabilità. Esercizio 3. 3a. L insieme M ϕ(u dove U (, ( π, π R 2 e ϕ(u, v (R(u cos v, R(u sin v, h(u, con R, h C ([, ] tali che R(u, h (u > per ogni u (, è H 2 -misurabile perchè M è 2-parametrizzabile di classe C k con k. Infatti è evidente che U è aperto e ϕ C (U, R 3. Inoltre ϕ iniettiva. Infatti ϕ(u, v ϕ(ũ, ṽ R(u cos v R(ũ cos ṽ R(u sin v R(ũ sin ṽ h(u h(ũ, ma h è strettamente crescente (h > e quindi u ũ. Usando R > otteniamo cos v cos ṽ e sin v sin ṽ, e quindi v ṽ. Per calcolare H 2 (M sappiamo allora che H 2 (M det ( JϕJ t ϕ dudv, dove Facendo i conti otteniamo U R (u cos v R(u sin v J ϕ R (u sin v R(u cos v. h (u det ( J t ϕj ϕ R 2 (u [ R (u 2 + h (u 2]. Sfruttando il Teorema di Fubini otteniamo H 2 (M R(u R (u 2 + h (u 2 dudv 2π U 3 R(u R (u 2 + h (u 2 du.

4 3b. Nel caso specifico R(u h(u + u 3/2 abbiamo R (u h (u 3 2 u/2. Quindi abbiamo 9u H 2 (M 2π ( + u 3/2 2 du 2π ( + u 3/2 6π 3π e con f(x, y, z x 2 + y 2 + z 2 M f dh 2 2π 6π 2( + u 3/2 ( + u 3/2 9u 2 du ( + u 3/2 2 u du 28π 3. Esercizio 4. 4a. Il dominio R 3 definito da {(x, y, z : x 2 + y 2 + z 2 < 4, z } {(x, y, z : x 2 + y 2 < 4, < z < 3} è un aperto ammissibile in quanto è aperto, itato e soddisfa int( ed il bordo è decomponibile come dove Σ Σ 2 Σ 3 S Σ {x 2 +y 2 < 4, z 3}, Σ 2 {x 2 +y 2 4, < z < 3}, Σ 3 {x 2 +y 2 +z 2 4, z < }, e S { x 2 + y 2 4, z, 3}. È evidente che per ogni i, 2, 3, Σ i è aperto, Σ i M i con M i una 2- varietà di classe C k con k, Σ k Σ j S se k j e S è contenuto in un numero finito di -varietà. Quindi è un aperto ammissibile. 4

5 4b. Per calcolare il flusso del campo vettoriale F uscente dal bordo di con F definito da F (x, y, z (ze x y, ze x y, z 2 e x2 +y 2 notiamo che F C (, R 3 e aperto ammissibile. Quindi, applicando il teorema della divergenza, otteniamo Flusso : F, ν dh 2 div F dh 3, reg dove div F 2ze x2 +y 2, ν è il versore normale uscente ben definito su reg Σ Σ 2 Σ 3. Facendo i conti, otteniamo Flusso div F dh 3 2ze x2 +y 2 dh 3 ( 3 2ze x2 +y 2 dz 4 x2 y 2 dxdy 2π 2π B 2( B 2( 2 ( π 2 ( 5 + x 2 + y 2 e x2 +y 2 dxdy (5 + ρ 2 e ρ2 ρ dθ π (5ρ + ρ 3 e ρ2 dρ [ 2e ρ2 + 2 ρ2 e ρ2 ] 2 π(8e 4 4 dρ 5