Analisi Matematica II.

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1 nalisi Matematica II. Integrazione secondo iemann Claudio Saccon 1 1 Dipartimento di Matematica, Via F. Buonarroti 1/C,56127 PIS claudio.sacconchiocciolunipi.it sito web: orario di ricevimento: Venerdì mattina alle 9.30 Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 1 / 44

2 Integrazione su un rettangolo ettangoli Chiamo N-rettangolo un sottoinsieme di N del tipo: = I 1 I 2 I N = {x = (x 1,..., x N ) : x 1 I 1,..., x N I N } con I 1,... I N intervalli di. è limitato se tutti gli I 1,... I N sono limitati. misura dei rettangoli Se I è un intervallo di estremi (finiti) a b indico con I := b a (la lunghezza di I ). Se = I 1 I N è un N-rettangolo limitato, definisco la misura di (area/volume se N = 2/3) come := I 1 I N. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 2 / 44

3 Integrazione su un rettangolo Suddivisioni icordiamo che una suddivisione σ di un intervallo [a, b] è un insieme finito di punti a = x 0 < x 1 < < x k = b. Se σ è una suddivisione con k + 1 punti, σ individua k sottointervalli di [a, b], [x j 1, x j ] per j = 1,..., k. Se = I 1 I N è un N-rettangolo limitato, chiamo suddivisione di una N-upla σ = (σ 1,..., σ N ), dove ogni σ j è una suddivisione di I j, per j = 1,..., N. Se σ j contiene k j + 1 punti (per j che varia tra 1 e N), allora σ individua k 1 k N sottorettangoli di. Useremo lo stesso simbolo σ per indicare l insieme di questi sottorettangoli (abuso di notazione... ). In questo modo posso scrivere σ per indicare che è un sottorettangolo individuato da σ oppure π σ per estrarre da σ un sottoinsieme π di sottorettangoli. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 3 / 44

4 Integrazione su un rettangolo somme integrali Sia un N-rettangolo limitato e sia f : una funzione limitata. Data una suddivisione σ di definisco: S(f, σ) := sup f (x), σ x s(f, σ) := inf f x (x) σ dette somma superiore e somma inferiore di f relativamente a σ. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 4 / 44

5 Integrazione su un rettangolo Integrale inferiore e superiore Date due suddivisioni qualunque σ 1 e σ 2 di si dimostra che: s(f, σ 1 ) S(f, σ 2 ) Da questo si deduce: f (x) dx := sup s(f, σ) inf S(f, σ) =: f (x) dx σ σ ( f (x) dx/ f (x) dx si dicono integrale inferiore/superiore di f su ). Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 5 / 44

6 Integrazione su un rettangolo Integrale Si dice che f è integrabile (secondo iemann) su se f (x) dx = f (x) dx. Se ciò avviene chiamiamo integrale di f su il valore comune f (x) dx = f (x) dx, indicato con f (x) dx Quando N = 2 o N = 3 si usa scrivere: f (x, y) dxdy, f (x, y, z) dxdydz Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 6 / 44

7 Integrazione su un rettangolo Caratterizzazione dell integrabilità Siano un rettangolo limitato e f : una funzione limitata. llora f è integrabile su se e solo se per ogni ε > 0 esiste una suddivisione σ tale che S(f, σ) s(f, σ) < ε Si può vedere che quanto sopra è ance equivalente a dire che esiste una successione (σ n ) n di suddivisioni tali che S(f, σ n ) s(f, σ n ) 0 per n e in questo caso si ha S(f, σ n ) f (x) dx, s(f, σ n ) f (x) dx Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 7 / 44

8 Misura degli insiemi Misura di un insieme Dato un insieme limitato introduciamo l indicatrice di come la funzione 1 : N tale che: { 1 se x 1 (x) = 0 se x / Dico che è misurabile se 1 è integrabile su, dove è un qualunque rettangolo limitato che contiene e chiamo misura di (area/volume nei casi N = 2/3) il numero: := 1 (x) dx Dico che è trascurabile se è misurabile e = 0. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 8 / 44

9 Misura degli insiemi Chiamiamo N-plurirettangolo un insieme P ottenuto come unione di N-rettangoli. Si può dimostrare che ogni plurirettangolo limitato P è ottenibile partendo da un rettangolo e una sua suddivisione σ, e un sottoinsieme π σ di modo che: P =, π cioè P è l unione di una selezione dei sottorettangoli di individuati da σ. Notiamo che i sottorettangoli di una suddivisione si intersecano solo al bordo (sui lati o facce, che intuitivamente hanno misura nulla ). Se P è descritto come sopra definisco la sua misura come P := π Si può dimostrare che P non dipende dalla scelta di, σ e π. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 9 / 44

10 Misura degli insiemi Si può allora dimostrare la seguente caratterizzazione della misura di un insieme. Un sottoinsieme limitato di N è misurabile se e solo se: ε > 0 P, P plurirettangoli tali che: P P, P \ P < ε In particolare è trascurabile se e solo se ε > 0 P plurirettangolo tali che: P, P < ε Nell affermazione sopra si usa il fatto che la differenza P \ P è ancora un plurirettangolo. L affermazione implica tra l altro che, se è un plurirettangolo, le due possibili nozioni di misura coincidono. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 10 / 44

11 Proprietà 1 Se f e g sono integrabili su, f + g è integrabile su e (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx; 2 Se f e g sono integrabili su, fg è integrabile su ; 3 Se f e g sono integrabili su, max(f, g) e min(f, g) sono integrabili su ; 4 Se f è integrabile su, allora f è integrabile su e f (x) dx f (x) dx ; 5 Se f e g sonointegrabili su e se f g, allora f (x) dx g(x) dx. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 11 / 44

12 Proprietà 6 Se e B sono misurabili, allora B e B sono misurabili e si ha: B + B) = + B. In particolare, se l intersezione è trascurabile: B = + B (per esempio se B = ). 7 Se f e g sono integrabili su e se coincidono quasi ovunque, nel senso che l insieme {x : f (x) g(x)} è trascurabile, allora f (x) dx = g(x) dx. 8 Se f è integrabile su, f 0 e f (x) dx = 0, allora f coincide quasi ovunque con zero, cioè {x : f (x) 0} è trascurabile. 9 Sia limitato. è misurabile se e solo se è trascurabile. Ne segue che, se è misurabile, anche int() e Ā lo sono e = int() = Ā. 10 Sia f : limitata. Supponiamo f 0, allora f è integrabile su se e solo se l epigrafico di f è misurabile (in N+1 ), dove: epi(f ) := {(x, y) : x, 0 y f (x)}. Inoltre, in questo caso f (x) dx = epi(f ). Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 12 / 44

13 Proprietà 10 Se invece f : è limitata, ma può cambiare segno, allora f è integrabile su se e solo se epi(f + ) e epi(f ) sono misurabili e si ha: f (x) dx = epi(f + ) epi(f ) (misure in N+1 ). In ogni caso f è integrabile se e solo se il grafico di f è trascurabile. 11 Se D è un dominio regolare limitato, allora D è misurabile. In particolare D è trascurabile. icordamo che D = {G(x) 0} e D = {G(x) = 0}, con G di classe C 1 tale che G(x) 0 per tutte le x con G(x) = Se f : è una funzione limitata, è un insieme trascurabile e f è continua su \, allora f è integrabile su. quasi ovunque Nel seguito diremo che una proprietà P(x) è verificata per quasi ogni x (o quasi ovunque) se l insieme delle x per cui p(x) non vale è trascurabile. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 13 / 44

14 Integrazione su un insieme Siano un insieme limitato e f : una funzione limitata. Dico che f è integrabile su se la funzione f : definita su un rettangolo contenente da: { f (x) se x, f (x) := 0 se x / è integrabile su. Se ciò avviene pongo: f (x) dx := f (x) dx che chiamo integrale di f su. È chiaro che questa definizione non dipende dalla scelta di. è misurabile se e solo se la funzione 1 è integrabile su. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 14 / 44

15 Proprietà 13 Siano e B misurabili e sia f : B. llora f è integrabile su B se e solo se f è contemporaneamente integrabile su e su B. In tal caso: B f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. B B Se poi B = ( o più in generale se B è trascurabile) vale: f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. B 14 Sia D un dominio regolare limitato e sia f : D una funzione continua su D. llora f è integrabile su D. Lo stesso vale se f è limitata su D ed è continua quasi ovunque su D (cioè eccetto che su un sottoinsieme trascurabile di D). B Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 15 / 44

16 Integrali iterati Sia un rettangolo limitato in N+M ; possiamo scrivere = 1 2, con 1 rettangolo in N e 2 rettangolo in M e indicare i punti di come (x, y), dove x 1 e y 2. Considero anche f : limitata; anche qui scriviamo f (x, y). Si ha: f (x, y) dxdy 1 1 ( ) f (x, y) dy dx 2 ( ) f (x, y) dy dx 2 ( ) f (x, y) dy dx 2 ( ) f (x, y) dy dx f (x, y) dxdy Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 16 / 44

17 Integrali iterati Theorem (Fubini) Sia f : una funzione integrabile su. llora: Le due funzioni: x f (x, y) dy, x f (x, y) dy sono 2 2 integrabili su 1 e coincidono quasi ovunque. Di conseguenza per quasi ogni x in 1 la funzione y f (x, y) è integrabile su 2 ; vale la formula: ( ) f (x, y) dy dx = f (x, y) dxdy 1 2 dove il termine di sinistra ha senso dato che f (x, y) dy esiste per 2 quasi ogni x e coincide quasi ovunque con una funzione integrabile. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 17 / 44

18 Integrali iterati Un caso particolare del Teorema di Fubini riguarda il calcolo della misura di un insieme (prendendo f = 1 ). Theorem (Principio di Cavalieri) Sia un insieme misurabile. Per ogni x 1 consideriamo la sezione: x := {y 2 : (x, y) } Per quasi ogni x in 1 l insieme x è misurabile; la funzione x x è ( si estende a una funzione) integrabile su 1 ; vale la formula: = x dx 1 Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 18 / 44

19 Integrali iterati integrazione su insiemi normali di 2 Sia 2 limitato. Diremo che è normale rispetto all asse x se esiste un intervallo [a, b] e due funzioni continue ϕ 1, ϕ 2 : [a, b] tali che: = {(x, y) : a x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)} Per quanto visto finora è chiaro che è misurabile. Inoltre se f : è una funzione continua, usando il teorema di Fubini: ( b ) ϕ2 (x) f (x, y) dxdy = f (x, y) dy dx a ϕ 1 (x) In particolare: = b a (ϕ 2 (x) ϕ 1 (x)) dx Naturalmente lo stesso risultato vale scambiando x e y. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 19 / 44

20 Integrali iterati integrazione su insiemi normali di 3 -caso 1 Sia 3 limitato. Diremo che è normale rispetto al piano xy se esiste 1 2 misurabile ed esistono ϕ 1, ϕ 2 : 1 continue tali che: = {(x, y, z) : (x, y) 1, ϕ 1 (x, y) z ϕ 2 (x, y)} In questo caso, se f : è continua, si ha: ( ) ϕ2 (x,y) f (x, y) dxdy = f (x, y, z) dx dxdy 1 ϕ 1 (x,y) In particolare: = (ϕ 2 (x, y) ϕ 1 (x, y)) dxdy 1 Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 20 / 44

21 Integrali iterati integrazione su insiemi normali di 3 -caso 2 Sia 3 limitato. Diremo che è normale rispetto all asse z se esistono un intervallo [a, b] e una funzione G : di classe C 1 G con (x, y) 0 nei punti in cui G = 0, tali che, posto z := {(x, y) : G(x, y, z) 0}, si ha: = {(x, y, z) : a z b, (x, y) z }.. In questo caso, se f : è continua, si ha: In particolare: = f (x, y, z) dxdydz = b a z dz b Ovviamente si può rimpiazzare z con x o con y. a ( ) f (x, y, z) dydy dz z Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 21 / 44

22 Cambio di variabile Siano e B due domini regolari chiusi e limitati di N e sia Φ : B bigettiva, di classe C 1. llora per ogni f : B integrabile, anche f Φ : è integrabile e si ha: f (Φ(y)) det(j Φ (y)) dy = f (x) x In particolare (prendendo f = 1), si ha: B = det(j Φ (y)) dy volte serve il risultato al contrario. Se det 0 in e g : è integrabile, allora: g(y) dy = B B g(φ 1 (x)) det(j Φ (Φ 1 (x))) dx Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 22 / 44

23 Cambio di variabile Caso lineare Se M è una matrice N N invertibile, allora: 1 f (y) dy = det(m) dove M = {My : y }; in particolare M M = det(m) f (x) dx che chiarisce come det(m) rappresenti il volume (con segno) del trasformato di Q tramite M, dove Q è in cubo unitario in N Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 23 / 44

24 Cambio di variabile Coordinate polari in 2 Supponiamo che [0, + [ [0, 2π], misurabile, e sia B := {(ρ cos(θ), ρ sin(θ)) : (ρ, θ) }. llora per ogni f : B che sia integrabile su B si ha: f (ρ cos(θ), ρ sin(θ)) ρ dρdθ = f (x, y) dxdy Segue dal cambio di variabile Φ(ρ, θ) := ρ(cos(θ), sin(θ)). È facile verificare che det(j Φ )(ρ, θ) = ρ. La Φ non è bigettiva, ma se si prende: 0 := {(ρ, θ) : ρ > 0, θ 0, 2π}, B 0 := {(ρ cos(θ), ρ sin(θ)) : (ρ, θ) 0 } allora : 0 è aperto, Φ : 0 B 0 è bigettiva e dato che \ 0 = 0, B \ B 0 = 0 gli integrali non cambiano sostituendo con 0 e B con B 0. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 24 / 44 B

25 Cambio di variabile Invece di [0, + [ [0, 2π] si può chiedere [0, + [ [T, T + 2π], con T (per es. [0, + [ [ π, π]). Inoltre la formula inversa è: g(ρ, θ) dxdy = B g( x 2 + y 2, rg(x, y)) x 2 + y 2 dxdy (quando il termine di destra ha senso); nella formula sopra rg(x, y) denota l argomento di (x, y), scelto in accordo con. La formula è falsa se è troppo grosso : se = [0, 1] [0, 4π], allora B è il cerchio unitario, ma (prendo f = 1): mentre B = π. ρ dρθ = 4 0 ( 1 ) π ρ dρ dθ = 2π. 0 Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 25 / 44

26 Cambio di variabile Coordinate polari in 3 (coordinate sferiche) Supponiamo che [0, + [ [0, 2π] [0, π], misurabile, e sia B := {(ρ cos(θ) sin(φ), ρ sin(θ) sin(φ), ρ cos(φ)) : (ρ, θ, φ) }. llora per ogni f : B che sia integrabile su B si ha: f (ρ cos θ sin φ, ρ sin θ cos φ, ρ sin φ) ρ 2 sin φ dρdθdφ = f (x, y, z) dxdydz In effetti se Φ(ρ, θ, φ) = (ρ cos(θ) sin(φ), ρ sin(θ) sin(φ), ρ cos(φ), si ha: cos(θ) sin(φ) ρ sin(θ) sin(φ) ρ cos(θ) cos(φ) J Φ (ρ, θ, φ = sin(θ) sin(φ) ρ cos(θ) sin(φ) ρ sin(θ) cos(φ) cos(φ) 0 ρ sin(φ) da cui detj Φ (ρ, θ, φ) = ρ 2 sin(φ). Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 26 / 44 B

27 Cambio di variabile ccordinate cilindriche Supponiamo che [0, + [ [0, 2π], misurabile, e sia B := {(ρ cos(θ), ρ sin(θ), z) : (ρ, θ, ζ) }. llora per ogni f : B che sia integrabile su B si ha: f (ρ cos(θ), ρ sin(θ), ζ) ρ dρdθζ = f (x, y, z) dxdydz Basta applicate il cambio di variabile Φ(ρ, θ, ζ) := (ρ cos(θ), ρ sin(θ), ζ). Formule analoghe si ottengono dai cambi di variabile: Φ(ρ, θ, ξ) := (ξ, ρ cos(θ), ρ sin(θ)) B e Φ(ρ, θ, η) := (ρ cos(θ), η, ρ sin(θ)). Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 27 / 44

28 Cambio di variabile Solidi di rotazione Sia [0, + [ e sia: { := (x, y, z) : ( } x 2 + y 2, z), llora ( è misurabile e) per ogni f : integrabile su si ha: f (x, y, z) xdydz = ( 2π ) ρ f (ρ cos(θ), ρ sin(θ), z) dθ dρdz 0 Se f è radiale, cioè se f (x, y, z) = g( x 2 + y 2, z) allora: f (x, y, z) dxdydz = 2π ρ g(ρ, z) dρdz. In particolare: = 2π ρ dρdz. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 28 / 44

29 Cambio di variabile Per vederlo basta passare in coordinate cilindriche, e usare Fubini per scrivere l integrale in (ρ, θ, z) come un integrale iterato. Se è in forma normale rispetto a z: = {ρ, z) : a z b, ϕ 1 (z) ρ ϕ 2 (x)}, per 0 ϕ 1 ϕ 2 : [a, b], allora, nel caso radiale: ( b ) ϕ2 (z) f (x, y, z) dxdydz = 2π ρ g(ρ, z) dρ dz. a da cui, in particolare: = π b a ϕ 1 (z) (ϕ 2 (z) 2 ϕ 1 (z) 2 )dz Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 29 / 44

30 Cambio di variabile Si noti che la formula iniziale si può scrivere: ( ) f (x, y, z) xdydz = f ds dρdz γ ρ,z dove γ ρ,z : [0, 2π] 3 è la curva che parametrizza la circonferenza di centro (0, 0, z) e raggio ρ: γ ρ,z (t) := (ρ cos(t), ρ sin(t), z). Integrazione per circonferenze : laudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 30 / 44

31 Integrali impropri Vogliamo estendere la nozione di integrale a funzioni illimitate; domini illimitati. Come nel caso della retta useremo un procedimento di approssimazione mediante funzioni limitate su insiemi limitati. La definizione di integrale improprio che introdurremo sarà leggermente più restrittiva di quella del caso unidimensionale (in cui la struttura della retta permette di fare limiti da destra e da sinistra che non hanno senso in N ). Prima di tutto individuiamo le funzioni ammissibili. Misurabilità Dato N e f : diciamo che f è misurabile (in senso improprio) su se per ogni n intero la funzione troncata f n (x) = max(min(f (x), n), n) è integrabile sull insieme troncato n := B n, dove B n := B(0, n) = { x N : x n }. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 31 / 44

32 Integrali impropri Per esempio se è un dominio regolare aperto e f : è continua, allora f è misurabile (in senso improprio) su (le funzioni continue sugli aperti sono ammissibili). Integrale improprio per funzioni positive Se f 0, f misurabile(in senso improprio) su, definisco l integrale di f su : f (x) dx := lim n + f n (x) dx. n Il limite scritto sopra esiste, eventualmente eguale a +, perché f n (x) dx è crescente in n, a causa del fatto che f 0. n Dico che f è integrabile, se: (siamo sempre nel caso f 0) f (x) dx := lim n + n f n (x) dx < +. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 32 / 44

33 Integrali impropri Nel caso generale si usa la scomposizione: f (x) = f + (x) f (x) dove: f + (x) := max(f (x), 0)( 0), f (x) := max( f (x), 0)( 0). Integrale improprio nel caso generale Dico che f è integrabile in senso improprio se f è misurabile in senso improprio su e se f + e f sono integrabili su. In tal caso definiamo l integrale di f su : f (x) dx := f + (x) dx f (x) dx. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 33 / 44

34 Integrali impropri Per come è data la definizione, per ogni f misurabile (in s.i.) su si ha: f integrabile su f integrabile su Confronto con la dimensione 1 Siano I un intervallo in e f : I. Se f è assolutamente integrabile su I (secondo la definizione di nalisi 1 ), allora f è integrale in senso improprio su I, secondo l ultima definizione. Se f è integrabile, ma non assolutamente integrabile (con la definizione unidimensionale), allora f non è integrabile in senso improprio secondo l ultima definizione. Per esempio la funzione f (x) = sin(x), è integrabile in senso improprio x unidimensionale, dato che lim c + c 0 sin(x) x dx esiste finito, ma non nel senso N-dimensionale, dato nei lucidi precedenti. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 34 / 44

35 Integrali impropri Qualunque approssimazione va bene Sia N e f : con f misurabile (in senso improprio) su. Siano n misurabili secondo iemann ( limitati) tali che: n n+1 n N n = n N e siano f n : n integrabili secondo iemann su n e tali che: f n + f n+1 + f +, fn fn+1 f n N, lim f n(x) = f (x) x. n (considero f n = 0 fuori n ). llora se f 0: lim f n (x) dx = f (x) dx (anche + ) ( ) n n Se f cambia segno, la ( ) vale quando f è integrabile su (valori finiti). Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 35 / 44

36 Integrali impropri Proprietà (standard) 1 Se f e g sono integrabili in s.i. su e se λ, µ, allora λf + µg è integrabile in s.i. su e (λf (x) + µg(x)) dx = λ f (x) dx + µ g(x) dx; 2 Se f è integrabile in s.i. su 1 e su 2, allora f è integrabile in s.i. su 1 2 e su 1 2 e si ha: f (x) dx f (x) dx = 1 2 f (x) dx + 1 f (x) dx; 2 3 se f 0 ed f è misurabile in s.i. su, allora: 0 f (x) dx +. a Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 36 / 44

37 Integrali impropri Theorem (Teorema di confronto per gli integrali impropri) Supponiamo che sia un sottoinsieme di N e f : sia misurabile (in senso improprio). Supponiamo che f sia positiva e che esista una funzione g : integrabile in senso improprio su tale che: 0 f (x) g(x) x. llora f è integrabile in senso improprio su. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 37 / 44

38 Integrali impropri Theorem (Teorema di Fubini per gli integrali impropri) Sia f : N M misurabile in senso improprio su N M (nota che se f è misurabile su N M possiamo sempre estenderla a 0 fuori di ). 1 Se f 0 si ha (valori infiniti ammessi): ( ) f (x, y) dxdy = f (x, y) dy dx N M N M 2 Se f cambia segno, ma è integrabile in senso improprio su N, vale ancora la ( ) (tra numeri finiti). ( ) Per dare senso alle formule sopra, bisognerebbe specificare che l integrando di sinistra ha senso per quasi ogni x. Non entriamo nei dettagli: se f è continua su regolare ed è nulla fuori di, tutto ha sempre senso. Per dimostrare che f = f (x, y) è integrabile in senso improprio si può usare il caso (1) e mostrare che f ha integrale finito. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 38 / 44

39 Integrali impropri Theorem (Cambio di variabile per gli integrali impropri) Siano e B aperti di N e sia Φ : B bigettiva, di classe C 1. Sia f : B una funzione misurabile in senso improprio su B. llora f Φ detj Φ ) è misurabile in senso improprio su e valgono le formule seguenti. Se f 0 (valori infiniti ammessi): f (Φ(y)) detj Φ (y)) dy = B f (x) dx ( ) Se f cambia segno, ma è integrabile in senso improprio su, vale ancora la ( ) (tra valori finiti). Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 39 / 44

40 Integrali dipendenti da un parametro Limite e derivata sotto il segno di integrale Sia un dominio regolare di N e B un dominio regolare limitato di M. Supponiamo che F : B sia continua (nelle due variabili). llora la funzione f :, definita da: f (x) := F (x, y) dy è continua (in tutte le x di ). Se inoltre esiste F ed è continua in x B, allora f è differenziabile (rispetto a x in tutte le x di ) e f x (x) = F (x, y) dy. x B B Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 40 / 44

41 Integrali dipendenti da un parametro Prendiamo per esempio F (x, y) = f (x) := x 2 + y 2, allora: [ dy 1 ( y x 2 + y 2 = x arctan x ) ] y=1 y=0 = 1 x arctan ( 1 x è continua per y > 0 (nota che F non è continua in tutto [0, 1] [0, + [ bisogna escludere (0, 0)). Notiamo anche che, se x > 0 : ( ) d 1 1 dx x arctan = 1 ( ) 1 x x 2 arctan 1 1 x x 1 + x 2 = ( ). Usando il teorema si ottiene: 0 ( ) = 1 0 d 1 dx (x 2 + y 2 ) dy = 1 0 2xdy (x 2 + y 2 ) 2 e quindi, dividendo per 2x: 1 dy (x 2 + y 2 ) 2 = 1 ( ) 1 2x 3 arctan x 2x x 2. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 41 / 44 ).

42 Integrali dipendenti da un parametro Se non è limitato (e considero l integrale in senso improprio), il risultato può essere falso. Per esempio, se considero: f (x) := + 0 x dy 1 + x 2 y 2 potrei essere tentato di ricavare: + x dy lim x x 2 y 2 = lim f (x) = f (0) = 0 (???) x 0 Però, con il semplice cambio di variabile t = xy si vede che: f (x) = + 0 dt 1 + t 2 = [arctan(t)]t=+ t=0 = π 2. Dunque f (x) è costante in x e quindi non tende a zero per x 0. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 42 / 44

43 Integrali dipendenti da un parametro Limite e derivata sotto il segno di integrale improprio Siano dominio regolare di N e B dominio regolare aperto di M e sia F : B tale che: F sia continua su B; esiste una funzione g : B integrabile in senso improprio su B tale che: F (x, y) g(y) x, y B (ne segue che y F (x, y) è integrabile in senso improprio su B per ogni x ). llora la funzione: f (x) := B F (x, y) dy (l integrale è nel senso improprio) è continua rispetto a x in. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 43 / 44

44 Integrali dipendenti da un parametro Sia inoltre i = 1,..., N e supponiamo che oltre a quanto sopra si abbia: esiste continua F in B, x i esiste g 1 : B integrabile in senso improprio su B tale che: F (x, y) x i g 1(y) x, y B (dunque anche y F (x, y) è integrabile in senso improprio su B per x i ogni x ), allora f è derivabile rispetto a x i e f y (x i) = B F x i (x, y) dy. Notiamo che per la prima parte del teorema si ha che f y (x i) è continua. Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) nalisi Matematica II. 44 / 44