Integrali doppi impropri per funzioni positive

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1 Integrali doppi impropri per funzioni positive Integrali doppi impropri su domini limitati Siano R 2 un insieme quadrabile (o misurabile) secondo Jordan e f(x, y) una funzione positiva a valori reali definita in tranne, al più, in un numero finito di punti. Sia { } una successione di insiemi chiusi e quadrabili contenuti in tali che (a) { } è monotòna crescente per inclusione, cioè (b) f è continua su ogni insieme ; 2 ; (c) se K è un insieme chiuso e limitato contenuto in, esiste m N tale che K m (e quindi K è contenuto in un numero infinito di ). In particolare, grazie alla condizione (b) ha senso considerare per ogni n N f(x, y) dxdy secondo la definizione di integrale di Riemannn. Si passa a stabilire il seguente risultato. Teorema. Sia { } una successione di insiemi chiusi e quadrabili contenuti in, che verifica le proprietà (a), (b), (c). Se esiste C>0 tale che f(x, y) dxdy C, n N, (.) (i) esiste ed è finito il limite lim f(x, y) dxdy ; (.2) (ii) il limite in (.2) non dipende dalla successione di insiemi { } soddisfacente le proprietà (a), (b), (c).

2 im. { (i) Grazie alla proprietà (a) la successione } f(x, y) dxdy è monotòna crescente, e quindi, essendo limitata, per il teorema di regolarità sulle successioni monotone tale successione è convergente. (ii) Sia ora { } un altra successione di insiemi che verifica le condizioni (a), (b) e (c). Si deve riconoscere che Posto lim I = lim f(x, y) dxdy = lim f(x, y) dxdy. (.3) E n f(x, y) dxdy = sup f(x, y) dxdy, n N grazie alla condizione (c) per ogni j N esiste n j N tale che E j j, e di conseguenza f(x, y) dxdy f(x, y) dxdy I. (.4) j E j Inoltre, fissato ε>0, esiste ν N tale che si ha I f(x, y) dxdy ε. (.5) ν Ancora per la condizione (c) esiste p N tale che E p ν. Pertanto dalla (.5) segue I f(x, y) dxdy I f(x, y) dxdy ε, ν E p che, assieme alla (.4), consente di concludere I = sup f(x, y) dxdy, n N cioè la (.3). Il teorema precedente consente di dare la seguente definizione. efinizione.2 Si dice integrale doppio improprio di f(x, y) su, e si denota con il simbolo f(x, y) dxdy, il numero reale lim f(x, y) dxdy, dove { } è una qualunque successione di insiemi chiusi { e quadrabili contenuti } in, che verifica le proprietà (a), (b), (c) e tale che la successione f(x, y) dxdy è limitata, cioè vale la condizione (.). 2

3 Osservazione.3 Se esiste una successione { } di insiemi chiusi e quadrabili contenuti in, che verifica le proprietà (a), (b), (c) e tale che lim f(x, y) dxdy =+, (.6) lim f(x, y) dxdy =+, per ogni successione { } di insiemi chiusi e quadrabili contenuti in, che verifica le proprietà (a), (b), (c). In tal caso si dice che l integrale doppio improprio di f su è divergente, e si scrive f(x, y) dxdy =+. im. Sia { } una qualunque successione di insiemi chiusi e quadrabili contenuti in, che verifica le proprietà (a), (b), (c). In forza di (.6) per ogni M>0esiste ν N tale che f(x, y) dxdy > M. ν Per la (c) esiste h ν N tale che E hν ν ; di conseguenza f(x, y) dxdy > f(x, y) dxdy > M, E hν ν cioè sup f(x, y) dxdy =+. n N Esempio.4 Sia α>0 e si consideri la funzione f(x, y) = (x 2 + y 2 ) α, (x, y) = {x2 + y 2 }, (x, y) (0, 0). Posto = { /n 2 x 2 + y 2 }, n N, è facile verificare che la successione { } soddisfa le proprietà (a), (b), (c). Utilizzando il teorema di cambiamento di variabili e passando alle coordinate polari si ha Nel caso α = si ha Se invece α si ha 2π (x 2 + y 2 ) α dxdy = dθ ϱ 2α dϱ. 0 /n 2π x 2 + y 2 dxdy = dϱ dθ 0 /n ϱ (x 2 + y 2 ) α dxdy = π ( ) α n 2( α) =2πlog n +. π α In conclusione, esiste l integrale improprio di f su solo se α<. se α<, + se α>. 3

4 2 Integrali doppi impropri su domini illimitati Siano R 2 un insieme illimitato e f(x, y) una funzione positiva a valori reali continua e limitata su. Sia { } una successione di insiemi chiusi e quadrabili contenuti in tali che (d) { } è monotòna crescente per inclusione, cioè 2 ; (e) se K è un insieme chiuso e limitato contenuto in, esiste m N tale che K m (e quindi K è contenuto in un numero infinito di ). In particolare, ha senso considerare per ogni n N f(x, y) dxdy secondo la definizione di integrale di Riemannn. In modo analogo al teorema. si prova il seguente risultato. Teorema 2. Sia { } una successione di insiemi chiusi e quadrabili contenuti in, che verifica le proprietà (d), (e). Se esiste C>0 tale che f(x, y) dxdy C, n N, (2.) (i) esiste ed è finito il limite lim f(x, y) dxdy ; (2.2) (ii) il limite in (2.2) non dipende dalla successione di insiemi { } soddisfacente le proprietà (d), (e). Il teorema precedente consente di dare la seguente definizione. efinizione 2.2 Si dice integrale doppio improprio di f(x, y) su, e si denota con il simbolo f(x, y) dxdy, il numero reale lim f(x, y) dxdy, dove { } è una qualunque successione di insiemi { chiusi e quadrabili contenuti } in, che verifica le proprietà (d), (e) e tale che la successione f(x, y) dxdy è limitata, cioè vale la condizione (2.). Anche per le funzioni definite su insiemi illimitati vale la seguente osservazione. 4

5 Osservazione 2.3 Se esiste una successione { } di insiemi chiusi e quadrabili contenuti in, che verifica le proprietà (d), (e) e tale che lim f(x, y) dxdy =+, (2.3) lim f(x, y) dxdy =+, per ogni successione { } di insiemi chiusi e quadrabili contenuti in, che verifica le proprietà (d), (e). In tal caso si dice che l integrale doppio improprio di f su è divergente, e si scrive f(x, y) dxdy =+. Esempio 2.4 Si consideri la funzione f(x, y) =e (x2 +y 2), (x, y) R 2. Posto = { x 2 + y 2 n 2}, n N, è facile verificare che la successione { } soddisfa le proprietà (d) - (e). Utilizzando il teorema di cambiamento di variabili e passando alle coordinate polari si ha 2π n e (x2 +y2) dxdy = dθ ϱe ϱ2 dϱ = π( e 2 ) π. 0 0 In conclusione, esiste l integrale improprio di f su R 2 e vale π. Si passa ora a calcolare l integrale e x2 dx utilizzando il risultato precedente. In primo luogo si osservi che per ogni n N si ha 2 n ) e dx) x2 = e x2 e y2 dy dx. Se è il quadrato di centro l origine e lati paralleli agli assi di lunghezza 2n, per il teorema di Fubini si ha 2 e dx) x2 = e (x2 +y2) dxdy. (2.4) La successione { } verifica le condizioni (d) - (e), e quindi passando al limite per n in (2.4) si ottiene 2 lim e dx) x2 = lim e (x2 +y2) dxdy = +y2) n n R 2 e (x2 dxdy = π, in forza del fatto che la definizione di integrale doppio improprio è indipendente dalla successione di insiemi soddisfacente le proprietà (d) - (e). In conclusione e x2 dx = π. 5