Soluzione scritto 4 marzo 2011

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1 .. Esercizio. Scrivere ANALISI VETTORIALE Soluzione scritto 4 marzo l integrale generale dell equaz. y + y tan(t) =, π < t < π ; un integrale particolare dell equaz. y + y tan(t) = t cos(t); un integrale particolare dell equaz. y + y tan(t) = sin t. Con l ordinario algoritmo delle equazioni a variabili separabili si ottiene y + y tan(t) = dy = y sin(t) cos(t) e quindi tutte le soluzioni dell equazione omogenea dy y = sin(t) cos(t) log(y) = log(cos(t)) + c y (t) = k. cos(t) k R Si osservi come le soluzioni y (t) trovate siano definite in tutto R, intervallo assai piú ampio di quello ( π/, π/) in cui l equazione é assegnata. Le soluzioni y(t) delle equazioni non omogenee assegnate si esprimono come y(t) = y (t) + y(t) essendo y(t) una soluzione particolare dell equazione completa assegnata, a sua volta espressa da u(t). cos(t), con u(t) da determinare in relazione al termine noto assegnato. Primo caso y + y tan(t) = t cos(t) Sostituendo la u(t). cos(t) nell equazione sui perviene alla condizione u (t). cos(t) = t cos(t) u (t) = t u(t) = t da cui segue y(t) = y (t) + y(t) = (k + ) t cos(t) Secondo caso y + y tan(t) = sin(t)

2 Figura. y(t) = ( log( cos(t) )) cos(t), π t π Analogamente sostituendo la u(t). cos(t) nell equazione sui perviene alla condizione u (t). cos(t) = sin(t) u (t) = sin(t) cos(t) da cui segue y(t) = y (t) + y(t) = (k log( cos(t) )) cos(t) u(t) = log( cos(t) ) La Figura mostra come ancora le soluzioni y(t) risultino definite in tutto R, invece del semplice intervallo ( π/, π/) in cui l equazione é assegnata... Esercizio. Determinare tutti i valori di x per i quali la funzione t t e xt è integrabile da x a x +, eventualmente in senso improprio; scrivere la derivata della funzione x + x x t e xt e calcolarla in x =.

3 La funzione t e xt é continua in R {} pertanto é integrabile nel senso di Riemann in ogni intervallo chiuso e limitato che non contenga lo. Tenuto conto che gli intervalli [x, x +] sono intervalli chiusi e limitati che contengono (come estremo sinistro) lo solo se x = si riconosce che la funzione assegnata é integrabile secondo Riemann in [x, x + ] per ogni x. Nel caso x = l integrale si riduce a t integrale che non esiste, neanche come integrale improprio. ( ) d x + dx x t e xt = x + x + x t e xt +x x + = t e xt + x +) x x e x(x + x e x5 Il valore della derivata nel punto x = é pertanto 3 +) e x(x x ) x e x(x = =.3. Esercizio. t e t + e 4 e = 3 e 4 e Dimostrare che in un intorno di (, ) le soluzioni dell equazione e xy + xy x y = coincidono col grafico di una funzione f di una variabile; scrivere l equaz. della retta tangente in (, ) al grafico di f; scrivere l equaz. della retta normale in (, ) al grafico di f. Il punto assegnato soddisfa l equazione. Detto riesce F (x, y) = e xy + xy x y F x (x, y) = ye xy + y F x (, ) = F y (x, y) = xe xy + xy F y (, ) =

4 4 Ne segue, per il teorema di Dini, l esistenza di una funzione implicita x = f(y), = f() il cui grafico rappresenta le soluzioni dell equazione in un intorno di (, ). Tenuto conto che Figura. e xy + xy x y =, esercizio.3 f (y) = F y(f(y), y) F x (f(y), y) la retta tangente é pertanto f () = F y(, ) F x (, ) = x = f() + f ()y x = La retta normale é quindi la y =..4. Esercizio. Verificare se converge o meno l integrale improprio / t log(t)

5 5 Verificare per quali α converge l integrale improprio / t( log(t)) α Tenuto conto del noto integrale indefinito = log ( log(t) ) t log(t) si riconosce che / / t log(t) = lim ε + ε t log(t) = ovvero che l integrale improprio assegnato non é convergente. Per quanto concerne il secondo si ha, per α, / / t( log(t)) = lim α ε + ε t( log(t)) = α = α + lim ( log(/) α+ log(ε) α+) ε + Il limite esiste finito se e solo se α + < Quindi il secondo integrale esiste come integrale improprio se e solo se α >..5. Esercizio. Sia Σ la superficie X(u, v) = {u v, u + v, u + v}, u, v Scrivere l equazione del piano tangente a Σ nel punto immagine di u = v = /; calcolare I = (x + y) dσ. Σ calcolare J = Σ 6 + (x + y) dσ. Il punto immagine di u = v = / é P = {,, 3/4}: il piano tangente é pertanto, vedi Figura 3, essendo ν il vettore ν x (x ) + ν y (y ) + ν z (z 3/4) =

6 6 Figura 3. X(u, v) = {u v, u + v, u + v}, piano tangente Il piano é quindi ν = X u X v = i j k = {,, } (y ) + (z 3/4) = y z = 4 Il calcolo dei due integrali superficiali richiede il calcolo dell elemento d area dσ = L + M + N du dv = 6 + 8u dudv Riesce quindi (x + y) dσ = Σ Σ dv 6 + (x + y) dσ = dv u 6 + 8u du = 6 ( ) 6 (6 + 8u ) du = 6 3

7 7 Osservazione.. Ricavati u e v rispettivamente da x e y u = (x + y), v = (y x) si ricava l espressione cartesiana di Σ z = 4 (x + y) + (y x)