Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Serie numeriche

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1 Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Serie numeriche Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 1 / 31

2 Outline 1 2 Serie a termini non negativi 3 Serie a termini di segno variabile 4 Serie di potenze A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 2 / 31

3 Serie numeriche Motivazione: dare significato alla somma di infiniti numeri reali. Per gli antichi greci sommare infiniti numeri e ottenere un risultato finito era considerato paradossale (come mostra il celebre paradosso di Achille e la tartaruga). In realtà non è così paradossale che una somma di infiniti addendi possa dare un risultato finito. Esempi: area del quadrato, misura di un asta. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 3 / 31

4 Serie numeriche Definizione Data una successione di numeri reali {a n }, si chiama serie numerica la scrittura formale n=0 che si legge serie o somma per n da 0 a di a n. a n A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 4 / 31

5 Somma parziale di una serie Per dare significato a questo nuovo simbolo, si costruisce nuova successione {s n } i cui termini sono così definiti come segue. Si noti che s 0 = a 0 s 1 = a 0 + a 1. s n = a 0 + a a n.. n s n = a k. k=0 A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 5 / 31

6 Per ricorrenza: { s 0 = a 0 s n+1 = s n + a n+1 Definizione Per ogni n N, il numero s n sopra definito viene detto somma parziale n-esima della serie a n. n=0 La successione {s n } si chiama successione delle somme parziali della serie a n. n=0 A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 6 / 31

7 Serie numeriche Definizione Sia {a n } una successione di numeri reali. La serie a n è convergente, divergente o irregolare se la successione {s n } delle sue somme parziali è convergente, divergente o irregolare. In particolare, se {s n } è convergente e lim s n = s si dice che s è la n + somma della serie e si scrive a n = s. n=0 n=0 A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 7 / 31

8 Osservazioni Se una serie a n è convergente allora vale la seguente relazione: n=0 a n = n=0 lim n + k=0 n a k = lim s n. n + Si definisce la somma di infiniti addendi calcolando il limite per n + della somma finita dei primi n addendi. L espressione studiare il carattere di una serie significa stabilire se la serie converge, diverge o è irregolare. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 8 / 31

9 Osservazioni Talvolta invece che sommare a partire da 0 si parte da un certo intero N: a n. n=n Parlare di una serie coinvolge sempre due diverse successioni: la succ. {a n } dei termini della serie e la succ. {s n } delle sue somme parziali. Fare bene attenzione a quale delle due si riferiscono le affermazioni fatte! A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 9 / 31

10 Serie geometrica Sia q R. Si consideri la serie n=0 che prende il nome di serie geometrica. La sua somma parziale n esima, per ogni n 0, è 1 q n+1 se q 1; s n = 1 q n + 1 se q = 1. q n A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 10 / 31

11 Serie geometrica Quindi lim s n = n + Dunque, la serie geometrica converge se q < 1 e diverge (a + ) se q 1; è irregolare se q q se q < 1; + se q 1; non esiste se q 1. n=0 q n = 1 1 q ; A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 11 / 31

12 Serie di Mengoli È la serie n=1 1 n(n + 1) che è convergente ed ha per somma 1. Infatti 1 n(n + 1) = 1 n 1 n + 1 da cui s n = 1 1 n + 1. Si tratta di un caso particolare di serie telescopica. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 12 / 31

13 Serie telescopiche Una serie di termini a n, n N, si dice telescopica se il suo termine generale a n = b n b n+1 ove {b n } n N è una opportuna successione di numeri reali. La somma parziale n esima di una serie telescopica è dunque data da s n = b N b n+1. Il carattere di una serie telescopica dipende dal carattere della successione {b n } n N. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 13 / 31

14 Serie armonica Serie armonica: è la serie ed è divergente. n=1 1 n Serie armonica generalizzata: è la serie ed è divergente se α (, 1]; convergente se α (1, + ). n=1 1 n α A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 14 / 31

15 Condizione necessaria per la convergenza Teorema Sia {a n } n N una successione di numeri reali. Se la serie a n è convergente allora n=n lim a n = 0. n + Non vale il viceversa (controesempio: serie armonica). Se lim a n non esiste o esiste ma è diverso da 0 allora n + converge. a n non n=n A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 15 / 31

16 Resto di una serie Teorema Sia a k una serie convergente. Allora per ogni n N converge anche la serie k=0 k=n (detta serie resto della serie di partenza) e, detta R n la sua somma, cioè R n = a k k=n a k si ha lim R n = 0. n + A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 16 / 31

17 Operazioni e serie Date due serie a n e b n, si puo considerare la serie (an + b n ) la cui somma parziale è la somma delle somme parziali delle due serie assegnate. Allora: Se a n e b n sono convergenti anche la serie somma (an + b n ) è convergente. Se a n e b n sono entrambe divergenti a + (risp. a ) anche la serie somma (a n + b n ) diverge a + (risp. a ). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 17 / 31

18 Operazioni e serie Data una serie a n e c R, si puo considerare la serie c an la cui somma parziale è il prodotto di c per la somma parziale della serie assegnata. Allora, per ogni c R: Se a n è convergente anche c a n è convergente. Se c 0 e a n è divergente a + anche c a n è divergente (a + se c > 0, a se c < 0). Se c 0 e a n è divergente a anche c a n è divergente (a se c > 0, a + se c < 0). A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 18 / 31

19 Serie a termini non negativi Serie a termini non negativi Una serie Proprietà: a n è a termini non negativi se a n 0 per ogni n N. n=n La successione delle somme parziali di una serie a termini non negativi è crescente: s n+1 = s n + a n+1 s n. Da qui si ricava che Una serie a termini non negativi o è convergente o è divergente (a + ). Essa converge se e solo se la successione delle sue somme parziali n-esime è limitata. Esaminiamo ora alcune condizioni sufficienti per la convergenza. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 19 / 31

20 Serie a termini non negativi Criterio del confronto Proposizione Siano a n e b n due serie a termini non negativi tali che 0 a n b n definitivamente. Allora bn convergente a n convergente; an divergente b n divergente. La serie b n si chiama maggiorante, la serie a n si chiama minorante. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 20 / 31

21 Serie a termini non negativi Criterio del confronto asintotico Proposizione Se due successioni {a n } e {b n } di numeri reali positivi sono asintotiche a n b n allora le corrispondenti serie a n e b n hanno lo stesso carattere, cioè o sono entrambe convergenti o sono entrambe divergenti. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 21 / 31

22 Serie a termini non negativi Criterio della radice Proposizione Sia a n serie a termini non negativi. Se esiste il limite allora se l < 1 la serie converge; se l > 1 la serie diverge; lim n + se l = 1 nulla si può concludere. n an = l A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 22 / 31

23 Serie a termini non negativi Criterio del rapporto Proposizione Sia a n serie a termini non negativi. Se esiste il limite allora se l < 1 la serie converge; se l > 1 la serie diverge; a n+1 lim n + a n se l = 1 nulla si può concludere. = l A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 23 / 31

24 Serie a termini di segno variabile Serie assolutamente convergenti Definizione Una serie di a n si dice assolutamente convergente se la serie (a termini non negativi) a n converge. Teorema Se una serie è assolutamente convergente allora è convergente. Se una serie è a termini positivi la definizione di convergenza assoluta coincide con quella di convergenza. Se una serie è convergente non è detto che sia assolutamente convergente. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 24 / 31

25 Serie a termini di segno variabile Serie a termini di segno alternato Definizione Una serie si dice a termini di segno alternato se è del tipo ( 1) n a n n=0 ove {a n } è una successione di numeri reali tali che a n 0 per ogni n. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 25 / 31

26 Serie a termini di segno variabile Criterio di Leibniz Teorema Sia data la serie ( 1) n a n. n=0 Se {a n } è una successione di numeri reali tali che a n 0 per ogni n; {a n } è decrescente; lim a n = 0; n + allora la serie è convergente. Inoltre R n = ( 1) k a k a n. k=n A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 26 / 31

27 Serie di potenze Serie di potenze Definizione Si dice serie di potenze di centro x 0 una serie del tipo a n (x x 0 ) n n=0 ove {a n } è una successione di numeri reali e x R. Esempi: sono serie di potenze la serie geometrica n=0 xn le serie n=0 1 n 2 x n n=0 n 2 n x n. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 27 / 31

28 Serie di potenze Serie di potenze Problema: per quali x R una serie di potenze è convergente? L insieme dei numeri reali x per cui una serie di potenze è convergente prende il nome di insieme di convergenza. L insieme di convergenza di una una serie di potenze è sempre un intervallo del tipo (x 0 R, x 0 + R) con R > 0. Tale numero R prende il nome di raggio di convergenza. Precisamente vale il prossimo teorema. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 28 / 31

29 Serie di potenze Raggio di convergenza Teorema Data una serie di potenze n=0 a n(x x 0 ) n, si supponga che esista il limite Si ponga Allora la serie l = lim n + n an. 1/l se l 0, + R = + se l = 0 0 se l = + converge (assolutamente) se x x 0 < R; non converge se x x 0 > R. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 29 / 31

30 Serie di potenze Raggio di convergenza Definizione Data una serie di potenze n=0 a n(x x 0 ) n, R R avente le proprietà espresse dal teorema precedente prende il nome di raggio di convergenza della serie. Si può dimostrare che ogni serie di potenze ammette uno (ed un solo) raggio di convergenza. Per il calcolo del raggio di convergenza si può anche utilizzare il seguente criterio. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 30 / 31

31 Serie di potenze Criterio del rapporto Teorema Data una serie di potenze n=0 a n(x x 0 ) n, si supponga che esista, finito o infinito, il limite l = lim n + a n+1. a n Allora il raggio di convergenza della serie di potenze è 1/l se l 0, + R = + se l = 0 0 se l = + A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 31 / 31