Serie numeriche. Riccarda Rossi. Analisi I. Università di Brescia

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1 Serie numeriche Riccarda Rossi Università di Brescia Analisi I

2 Sommatoria Siano Con il simbolo I : insieme finito di indici (a i ) i I famiglia finita di numeri, al variare di i in I indichiamo la somma di tutti i numeri a i, al variare di i in I. i I a i

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4 Definizione Sia data {a n } R. Costruiamo una nuova successione {s n } in questo modo s 0 := a 0, s 1 := a 0 + a 1, s 2 := a 0 + a 1 + a 2,... s n = a a n = n k=0 a k,... Supponiamo che {s n } non oscilli. Chiamiamo il lim n s n somma della serie e lo denotiamo con i simboli a n, n=0 n a n

5 Definizione Sia data {a n } R. La successione {s n } è detta successione delle somme parziali o ridotte della serie. Si dice che - la serie converge se {s n } converge; - la serie diverge (a + o a ) se {s n } diverge (a + o a ): scriveremo anche a n = + n=0 o a n = n=0 - la serie oscilla se lim n s n La proprietà di essere convergente, divergente o oscillante si dice anche carattere della serie.

6 Attenzione alla notazione

7 N.B.: non confondere {a n } con {s n } : s n = n k=0 a k

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9 Osservazione: Una serie n a n risulta convergente se e solo se la successione delle somme parziali {s n } è una successione di Cauchy.

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11 Esempio 1 Consideriamo a n = 1, n N.

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13 Esempio 2 Consideriamo a n = ( 1) n, n N.

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15 Esempio 3: la serie geometrica Sia q R. Consideriamo a n = q n, n N Chiamiamo serie geometrica di ragione q la serie + n=0 q n = q 0 + q 1 + q 2 + q (con la convenzione 0 0 = 1 se q = 0). Calcoliamo le ridotte della serie:

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18 Calcolo della somma di una serie: ( ) 1 n = n=0 = 2. Calcoliamo n=1 ( ) 1 n 2 Calcoliamo n=2 ( ) 1 n 2

19 In generale: se modifichiamo l indice a partire dal quale sommo la serie n=0 a n n= k il carattere della serie non cambia. CAMBIA il valore della SOMMA. a n In generale: se modifichiamo i primi m termini di {a n }, il carattere della serie n a n non cambia. CAMBIA il valore della SOMMA.

20 Serie telescopiche Una serie + n=0 a n si dice telescopica, se esiste {b n } tale che a n = b n b n+1. Allora n s n = (b k b k+1 ) k=0 Quindi lim s n = b 0 lim b n+1 = b 0 n + n + lim n + b n determino immediat. carattere serie (dipende da lim n + b n ) calcolo la somma della serie = b 0 lim n + b n

21 Esempio: la serie di Mengoli Notare che Quindi Ora + n=0 + n=0 1 (n + 1)(n + 2) 1 (n + 1)(n + 2) = 1 n n (n + 1)(n + 2) = ( 1 n ) n + 2 s n = n k=0 Quindi, + 1 (n + 1)(n + 2) n=0 n=0 ( 1 k ) = 1 1 k + 2 n + 2

22 Dalla teoria dei limiti di successioni, otteniamo risultati su legami fra serie e operazioni. Teorema di linearità Siano {a n } e {b n } R e sia c R. Se le due serie n a n e n b n sono convergenti, allora anche n (a n + b n ) e n ca n lo sono e si ha: + n=0 (a n + b n ) = + n=0 + n=0 ca n = c a n + + n=0 a n. + n=0 b n, Vale anche per serie divergenti, pur di non avere forme indeterminate.

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24 Condizione necessaria per la convergenza di una serie Sia n a n una serie convergente. Allora lim a n = 0 n + Dimostrazione:

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26 Se lim a n 0, allora la serie + n + n=0 a n non converge. Che la successione sia infinitesima è solo una condizione necessaria, e non sufficiente!!! Per esempio: la serie armonica + n=1 diverge, ma lim n + a n = lim n + 1 n = 0. 1 n

27 La serie armonica generalizzata: + n=1 1, con α R. nα Si ha che - per α > 1 la serie CONVERGE - per α 1 la serie DIVERGE

28 Serie a termini non negativi Per serie a termini non negativi intendiamo + n=0 a n, tale che a n 0 n N. Osservazione fondamentale: in questo caso, la successione {s n } delle somme parziali è crescente: infatti Allora la serie NON È OSCILLANTE!!

29 In particolare, - n a n converge se {s n } è limitata (cioè se sup n N s n < + ) - n a n diverge se {s n } non è limitata (cioè se sup n N s n = + )

30 Teorema Sia + n=0 a n una serie a termini non negativi. Allora: 1. la successione delle somme parziali {s n } è crescente; 2. la serie + n=0 a n non oscilla e si ha + n=0 a n = sup s n = sup n N n N n a k. k=0 Osservazione La tesi continua a valere se + n=0 a n è una serie termini definitivamente non negativi, cioè n 0 N : n n 0 a n 0.

31 Cosa succede se + n=0 a n è una serie a termini (definitivamente) non positivi???

32 Criteri di convergenza per serie a termini non negativi Sappiamo che + n=0 a n con a n n N (oppure n n 0 ) converge oppure diverge. criteri per stabilire il carattere di + n=0 a n. 1. Criterio del confronto Siano n a n e n b n a termini non negativi, tali che m N : n m 0 a n b n. Allora, 1. se n b n converge, anche n a n converge. 2. se n a n diverge, anche n b n diverge.

33 Esempi: 1. La serie + 2 n n n=1 CONVERGE.

34 2. La serie + n=1 2 + sin(n) n 1/2 DIVERGE.

35 3. La serie + n=2 1 log n DIVERGE.

36 Più in generale, la serie + n=2 1 n ln(n) λ, con λ R - per λ > 1 CONVERGE - per λ 1 DIVERGE

37 2. Criterio del confronto asintotico Siano n a n e n b n due serie a termini non negativi, con e tali che b n > 0 n m, a n lim = L [0, + ]. n + b n Allora 1. se L ]0, + [, n a n converge se e solo se n b n converge; 2. se L = 0 e n b n converge, allora n a n converge; 3. se L = + e n b n diverge, allora n a n diverge.

38 Esempi: 1. La serie n=1 arctan(n) n 1/3 DIVERGE.

39 2. La serie n=0 3n 5 + 3n 3 + 5n n 6 + n 7 + n Verifico la condizione necessaria: CONVERGE.

40 Applico il criterio del confronto asintotico

41 3. La serie + n=0 1 n! CONVERGE.

42 4. La serie n=2 1 log(n) 6 DIVERGE

43 E se l avessimo confrontata con???? + n=1 1 n 6 (CONVERGENTE)

44 3. Criterio asintotico del rapporto Sia {a n } una successione (definitivamente) strettamente positiva, cioè a n > 0 n N (o per n n 0 ). Inoltre, a n+1 lim n + a n = L [0, + ]. Allora 1. se L < 1, la serie n a n converge ; 2. se L > 1, allora la serie n a n diverge ; 3. se L = 1, allora il criterio è inefficace.

45 Esempi: 1. Sia c > 0. La serie + n=0 c n n! CONVERGE.

46 2. Sia q > 0. Consideriamo n Osserviamo che, per ogni β > 0 q n, con β > 0. nβ lim n + a n+1 a n

47 Quindi - per q < 1, la serie converge per ogni β > 0. - per q > 1, la serie diverge per ogni β > 0. Per q = 1, ci riduciamo alla serie armonica generalizzata n 1, con β > 0. nβ

48 SE a n+1 lim = 1, n + a n il criterio NON DICE NULLA. La serie n a n può convergere o divergere. Infatti, - la serie e + n=1 1 n ln(n) DIVERGE lim n + a n+1 a n

49 - la serie e + n=1 lim n + a n+1 a n 1 n 2 DIVERGE

50 4. Criterio asintotico della radice Sia {a n } R una successione (definitivamente) non negativa, cioè a n > 0 n N (o per n n 0 ). Inoltre, lim n + n an = L [0, + ]. Allora 1. se L < 1, allora la serie n a n converge ; 2. se L > 1, allora la serie n a n diverge ; 3. se L = 1, allora il criterio è inefficace.

51 Esempi: 1. La serie x n n n CONVERGE x > 0. n=1

52 2. Consideriamo la serie n=1 n 3 x n. Quindi converge se 1 x < 1 x > 1 diverge se 1 x > 1 x < 1 Se x = 1, ritrovo la serie n=1 n3, divergente.

53 Proposizione Sia a n > 0 per ogni n > 0 (o definitivamente). Se a n+1 lim = L, n + a n allora anche lim n + n an = L. In particolare se il criterio del rapporto risulta inefficace (L = 1), allora lo è anche quello della radice.

54 Per esempio, nel caso della serie armonica generalizzata n=1 1 n α - per α > 1 la serie CONVERGE - per α 1 la serie DIVERGE

55 5. Criterio di condensazione di Cauchy Sia {a n } una successione decrescente e non negativa (definitivamente). Allora le due serie a n converge SE E SOLO SE n 2 n a 2 n converge. n Applicazione per stabilire il carattere di n 1 n α

56 Esaminiamo le serie con termini di segno variabile criteri di convergenza???? Un primo risultato generale è Teorema Data {a n } R, supponiamo che la serie n a n sia convergente. Allora: 1. anche n a n è convergente 2. n a n n a n.

57 Dimostrazione: 1. Osserviamo che a n = b n c n con b n = max(a n, 0), c n = max( a n, 0) b n è detta parte positiva di a n e denotata (a n ) + c n è detta parte negativa di a n e denotata (a n )

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61 Definizione: Convergenza assoluta Sia {a n } R. La serie n a n si dice - assolutamente convergente se è convergente la serie n a n. - semplicemente convergente è convergente la serie n a n ma NON la serie n a n.

62 Esempio n=0 3 n n! ASSOLUTAMENTE convergente

63 Esempio n=2 ( 1) n n ln(n) SEMPLICEMENTE convergente

64 Esempio n=0 cos(nπ) 2 n2 ASSOLUTAMENTE convergente

65 Esempio n=2 cos(nπ) ln(n) 1/2 SEMPLICEMENTE convergente

66 SERIE NOTEVOLI ognuna delle serie seguenti converge assolutamente per i valori di x specificati per ognuna delle serie seguenti è nota la SOMMA della serie le formule seguenti sono DA MEMORIZZARE + n=0 x n = 1, x R, x < 1; 1 x

67 + n=0 x n n! = ex x R; + n=0 ( 1) n x 2n (2n)! = cos x x R; + n=0 ( 1) n+1 x 2n+1 (2n + 1)! = sin x x R;

68 + n=1 ( 1) n+1 x n n = log(1 + x) x R : 1 < x 1; + n=0 ( 1) n x 2n+1 (2n + 1) = arctan x x R : 1 x 1; + n=0 x 2n (2n)! = cosh x, x R + n=0 x 2n+1 = sinh x x R (2n + 1)!

69 Serie di segno alterno ( 1) n a n, dove a n 0 n N (o definitivamente). n Criteri di convergenza?? convergenza assoluta convergenza della serie, quindi a n converge ( 1) n a n converge. n n

70 E se n a n diverge??? Si può dimostrare la convergenza di n ( 1)n a n applicando il Teorema (Criterio di Leibniz) Si consideri n ( 1)n a n, con a n 0 n N (o definitivamente). Supponiamo che 1. {a n } sia una successione decrescente; 2. {a n } sia una successione infinitesima, cioè lim n + a n = 0. Allora la serie n ( 1)n a n è convergente. Inoltre, detta {s n } la successione delle somme parziali, si ha che: (i) {s 2n } (la successione delle somme parziali con indice pari) è decrescente; (ii) {s 2n+1 } (la successione delle somme parziali con indice dispari) è crescente; + (iii) vale la seguente stima: s n ( 1) k a k a n+1 n N k=0

71 Dimostrazione (della prima parte). Passo 1: usiamo il fatto che a n è decrescente: si ha (1) {s 2n }, la successione delle somme parziali con indice pari, è decrescente, infatti

72 (2) {s 2n+1 }, la successione delle somme parziali con indice dispari, è crescente. Si dimostra ragionando esattamente come per {s 2n }. Passo 2: {s 2n } è limitata, infatti: (1) è superiormente limitata in quanto decrescente: s 2n s 0 ; (2) è inferiormente limitata in quanto Analogamente si dimostra che {s 2n+1 } è superiormente limitata, quindi limitata.

73 Passo 3: (1) {s 2n } decrescente e limitata {s 2n } converge a L = inf n s 2n ; (2) {s 2n+1 } crescente e limitata {s 2n+1 } converge a L = sup n s 2n+1 ; (3) Siccome s 2n+1 s 2n e lim n a n = 0, concludiamo che 0 = lim n (s 2n+1 s 2n ) = lim n s 2n+1 lim n s 2n = L L. (4) Allora {s 2n } e {s 2n+1 } convergono a stesso limite L (5) Quindi tutta {s n } converge a L, cioè + n=0 ( 1)n a n è convergente.

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