a j n + convergente divergente irregolare.

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1 Serie numeriche Definizione Data una successione reale {a j } + successione delle somme parziali n esime come: n s n a j, jj il cui limite, per n + : jj R, si definisce la s lim s n n + jj a j è detto serie di termine generale a j. Il carattere di una serie può essere: < s < + s ± s lim s n convergente divergente irregolare. Teorema (Condizione necessaria per la convergenza) Se una serie converge, allora il termine generale è infinitesimo: jj a j s lim n + a j. Definizione Una serie a termini non negativi è jj a j con a j j j. Una serie + jj a j è definitivamente a termini positivi se a j j j > j. Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi Teorema (Criterio del confronto) Se a n b n per ogni n n, allora: a n diverge b n diverge; b n converge a n converge. Teorema (Criterio del confronto asintotico) Se a n b n, al tendere di n a +, allora: an converge b n converge (cioè le serie con termini generali asintotici hanno lo stesso carattere).

2 a Teorema 4 (Criterio del rapporto) Sia L lim n+ n + a n ; allora: se L < se L > se L la serie converge; la serie diverge; caso dubbio, da studiare con altri metodi. Teorema 5 (Criterio della radice) Sia L lim n + n a n ; allora: se L < se L > se L la serie converge; la serie diverge; caso dubbio, da studiare con altri metodi. Serie notevoli I criteri appena descritti consentono di stabilire il carattere di una serie, confrontandola con un altra serie, di cui il carattere sia noto. Alcune serie notevoli sono: : serie armonica. Diverge. n : serie armonica generalizzata. Converge se α >, diverge se nα α (non è mai irregolare). : serie di Méngoli. Converge a (esempio di serie di cui n(n + ) si conosce, oltre al carattere, anche la somma esatta). Si tratta di un esempio di serie telescopica, in cui il termine generale si può riscrivere come differenza di due termini successivi di una stessa successione: n(n + ) [ n ] n + [b n b n+ ] lim n [(b b ) + (b b ) (b n b n+ )] lim n [b b n+ ] b. q n : serie geometrica, di ragione q. Converge, se q <, al valore q. Diverge, se q ; se q è irregolare.

3 n α ln β. Un ulteriore generalizzazione della serie armonica (che si n ha per β ). Il carattere di questa serie è riassunto nella tabella: se α > la serie converge β R; se α la serie converge β > ; se α < la serie diverge β R. (Questo risultato si può dimostrare tramite il teorema (6); la dimostrazione è svolta nell ultimo esercizio.) Esercizio. Stabilire il carattere delle serie seguenti:. n ;. e n sinh n ;. e n n ; 4. n n ; 5. (cosh n cosh n ). Il termine generale della serie non è infinitesimo: lim a n lim n + n + n, pertanto la serie non può convergere. Essendo a termini positivi, non sarà nemmeno irregolare, dunque diverge.. Ricordiamo la definizione della funzione seno iperbolico: sinh x ex e x, definita su tutto l asse reale. Possiamo allora dire che la condizione necessaria per la convergenza non è soddisfatta, essendo: lim a n n + lim n + e n e n, e n dunque la serie non converge. Diverge a +, essendo a termini positivi.

4 . Il termine generale di questa serie è infinitesimo: la condizione necessaria è soddisfatta. Proviamo a dimostrare la convergenza tramite il criterio della radice: L lim n e an lim n + n + n /n e <, dunque la serie converge. In alternativa, si può usare anche il criterio del rapporto: L a n+ lim lim n + a n n + dunque la serie converge. e n n (n + ) e n ( lim + n + e n) e <, 4. Il termine generale è infinitesimo. Per il criterio del rapporto: a n+ n + lim lim n + a n n + n+ n n <, la serie converge. 5. La funzione coseno iperbolico è così definita, su tutto l asse reale: cosh x ex + e x, dunque il termine generale tende a. Inoltre, lo sviluppo di McLaurin del coseno iperbolico è: cosh x + x + x4 xk ! (k)! + o(xk+ ), per x. Pertanto, possiamo dire che: ( a n + n 4 + o( ) ( n 6 ) + n + o( ) n 4 ) n + o( n ). La serie data ha termine generale asintotico al termine generale della serie armonica generalizzata, che converge (essendo α > ): dunque è n convergente. Esercizio. Stabilire il carattere delle serie seguenti:. ne n n + ;. n + sin n ; n + 4

5 . n + cos n n n + ; 4. n + ln n ; n ln n n ; 6. (n!) (n)! ;. Il termine generale della serie è maggiorato da: ( ) n a n, e (lo si può vedere, ad esempio, graficamente, osservando che la parabola y x + è sempre al di sopra della retta y x, dunque x x + ). Perciò, per il criterio del confronto, essendo il maggiorante termine generale di una serie geometrica convergente, la serie data converge.. In questo caso minoriamo il termine generale della serie: poiché sin n, si ha n a n n +. n L ultima minorazione è fatta con il termine generale di una serie divergente, dunque anche la serie data diverge.. Poiché cos n, maggioriamo con: n + a n n n + n /, termine generale di una serie (armonica generalizzata) convergente. Anche la serie data converge. 4. In questo caso usiamo direttamente il confronto asintotico: a n n( + (ln n)/n) n 5/ n /, termine generale di una serie armonica generalizzata, divergente (α / < ): diverge anche la serie data. 5

6 5. Il termine generale della serie risulta asintotico a: a n ln n n n α ln β n, con α e β. Per gli α > queste serie convergono per ogni valore di β, dunque la serie data converge. 6. In questo caso può essere utile il criterio del rapporto (i fattoriali si semplificano): La serie converge. a n+ a n (n + )!(n + )! (n)! (n + )! (n!)(n!) (n + )n! (n + )n! (n)! (n + )(n + )(n)! (n!)(n!) n ( + (/n) + (/n )) n (4 + (6/n) + (/n )) 4 <. Esercizio. Stabilire la convergenza delle serie seguenti e calcolarne, se possibile, la somma o darne una stima. a. b. c. n ; + sin n n + n ; n + n n + n. a. Ricordando che la somma di una serie geometrica di ragione q < è: q n q, 6

7 possiamo calcolare il valore esatto della somma della serie data: n ( n ) [ ( ) n ( ) ( ] ) [ / ]. b. Poiché sin n, per il termine generale della serie data valgono le disuguaglianze: A n n + n a n 4 n + n B n. Per i due termini, maggiorante e minorante, valgono le relazioni di asintotico: e A n B n ( ) n n ( + ( n/ n )), ( ) 4 n n ( + ( n/ n )) 4, che sono termini generali di serie geometriche di ragione q / <, perciò convergenti. Possiamo allora stimare la somma della serie data: ( ) n ( ) n a n 4 4 a n 8, essendo le somme delle due serie geometriche pari a: ( ) n + / 4, 4 ( ) n 4 / 8. c. Se indichiamo con A n n, il termine generale della serie diventa: a n A n+ A n A n+ A n A n A n+ b n b n+. 7

8 In questa maniera otteniamo una serie telescopica: a n (b n b n+ ) (b b 4 ) + (b 4 b 5 ) + (b 5 b 6 ) +... b lim b n n + lim. n + n Esercizio. Studiare il carattere della serie: ( n α + n α ), al variare di α R. Riscriviamo il termine generale, sfruttando il prodotto notevole (A+B)(A B) A B : a n ( n α + n α )( n α + + n α ) ( n α + + n α ) ( n α + + n α ) n α/, (osserviamo che il passaggio è valido per qualsiasi n naturale, poiché il numero per cui si moltiplica e divide non è mai nullo). Per il criterio del confronto asintotico, la serie data converge se e soltanto se l esponente α/ è maggiore di, dunque se e solo se α >. Esercizio. Determinare, al variare del parametro reale α, il carattere della serie: arctan n α π/ n α. Ricordiamo che, per ogni x > : π arctan x + arctan x, e che l arcotangente, in un intorno di, è asintotico al proprio argomento. Perciò possiamo scrivere il termine generale della serie: arctan(/n α ) a n n α n α n α n, se α > arctan(/n α ) π/ n α se α <. 8

9 Dunque si ha: α > serie divergente (asintotica alla serie armonica); α < serie convergente (armonica generalizzata, con α + > ); α a n π/4 π/ n : serie armonica, diverge. Esercizio. Data la successione definita per ricorsione: { a 6 n 4 a n+ 4n + a n, n a. dimostrare per induzione che a n 8, per ogni n; b. dedurre dal primo punto che la successione è infinitesima: a n per n + ; c. provare che la serie a n è convergente. a. Ricordiamo come si svolge una dimostrazione per induzione: - si verifica che l enunciato è vero per un certo valore iniziale di n (base induttiva); - si dimostra che, supponendo vera la tesi per il generico valore n, si può dedurre la verità della tesi per il valore successivo n +. Nel nostro caso, per n abbiamo la base induttiva: a 7 [, 8]. Supponiamo ora che sia vero a n 8, per n ; allora il termine successivo a n+ (4/n ) + (a n /n 4 ) verifica: a n+ 4 n + 8 n 4 4 [ n + ] n 4 8, perché n (/n ). b. Per quanto appena visto possiamo dire che, per n + : lim a n+ lim 4 n + a n n 4 lim 4 n + 8 n 4, dunque la successione data, per il teorema del confronto per le successioni, tende a. 9

10 c. Sempre per i calcoli svolti nel punto a, possiamo dire che: a n+ 4 [ n + ] n b n, dove il termine generale della serie maggiorante b n 4 n, convergente (serie armonica generalizzata). Dunque anche la serie data converge. Teorema 6 (Criterio del confronto integrale) Sia f : [k, + ) [, +, (con k ) una funzione decrescente. Allora: nk f(n) < + + (la serie converge se e solo se converge l integrale). k f(t) dt < +, Esempio. Studiare la convergenza della famiglia di serie: con α > e β R. n n α (ln n) β, Studiamo la convergenza dell integrale + f(t) dt + dt, osservando che la funzione integranda soddisfa le ipotesi del teorema: infatti t α (ln t) β è definita su un intervallo del tipo [k, + ) (con k ), ed è decrescente. Se α >, la funzione /t α è già un infinitesimo sufficiente per la convergenza dell integrale: a maggior ragione lo sarà f(t), almeno per valori positivi di β. Per valori negativi, basta osservare che: ln β t < t ɛ, ɛ >, da cui ln β t t α < t α ɛ, e α ɛ >, purché si scelga un ɛ sufficientemente piccolo, dunque l integrale converge per ogni valore di β. Se < α <, definitivamente, per t + si ha t α (ln t) β > t α+ɛ,

11 il cui integrale diverge, perché per ɛ abbastanza piccolo l esponente risulta minore di. Infine, se α, si può calcolare direttamente l integrale di f(t): t(ln t) β dt { (ln t) β D(ln t) β + C, β (ln t) β ln ln t + C, β, che converge se e soltanto se β >. Riassumendo, abbiamo dimostrato il risultato (già noto): se α > la serie converge β R; se α la serie converge β > ; se α < la serie diverge β R.