Calcolo I, a.a Primo esonero 11 novembre k + 2 k

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1 Calcolo I, a.a Primo esonero 11 novembre 015 1) 6 punti Dimostrare per induzione che 5 n +, n 1. Se n = 1 la disuguaglianza si riduce a 5 + che è vera. Supponiamo ora che la disuguaglianza sia verificata per un certo n 1 e deduciamo la corrispondente disuguaglianza per n + 1 ossia Usando l ipotesi di induzione si ha = 5 (n + 1) +. + n + n n + + n + n + 1 e quindi per terminare la dimostrazione del passo di induzione basta dimostrare che 5 n + + n + n (n + 1) +. L ultima disuguaglianza, semplificando, si riduce a n + n (n + ) 5(n + 1) 4 n quindi il passo di induzione è dimostrato per tutti gli n. Attenzione: prima abbiamo verificato la disuguaglianza per n = 1 ma non per n = ; però vediamo subito che per n = essa diventa che è vera, e quindi la dimostrazione è conclusa. ) 7 punti Si ha ln(n + 1) n + ln(n + ) ln(n + 1) ln(n + ) = ln(n (1 + 1 )) n ln(n(1 + )) = ln(n ) + ln(1 + 1 ) n + ln(1 + ) = + ln(1 + 1 ) n + ln(1 + ) n n n e mettendo in evidenza a numeratore e denominatore = + ln(1+ 1 n ) 1 + ln(1+ n ).

2 La prima frazione si semplifica, la seconda tende a 1 ln(1+ n = dato che ) 0, ln(1+ n ) 0 1 per n +. Quindi la successione data converge a. ) 7 punti Studiare la convergenza delle seguenti serie: ( ) 1, ( ) sen + 1. La prima serie è a termini positivi e possiamo usare il criterio della radice: a = 1 ( ) = 1 ( 1 + ) 1 e > 1 quindi la serie diverge a +. Anche la seconda serie è a termini positivi. Se poniamo b = + 1, notiamo che b 0 per +, infatti b = + 1 = ( ) = Allora possiamo applicare il confronto asintotico fra la serie data sen(b ) e la serie b : queste due serie hanno lo stesso carattere perché sen(b ) b 1 per +. Per studiare la serie b possiamo applicare di nuovo il criterio asintotico rispetto alla serie 1, infatti si ha 1 b = Dato che la serie 1 = 1 1/ data divergono a per +. diverge a +, ne segue che anche la serie b e la serie 4) 6 punti ln(1 + sen( )) 0 Basta scrivere ln(1 + sen( )) = ln(1 + sen( )) sen( ) sen( ) e notare che per i ben noti iti notevoli le prime due frazioni tendono a 1, mentre la terza è uguale a. Quindi il ite cercato è uguale a 0.

3 5) 7 punti Determinare i valori di a, b e c affinché sia continua la funzione sen() se > 0, f() = c se = 0, a + b sen ( 1 se < 0. In tutti i punti > 0 e < 0 la funzione è continua perché ottenuta come somma, rapporto e composizione di funzioni continue. Resta da verificare la continuità nel punto = 0. La funzione è continua in 0 se e solo se i iti destro e sinistro in 0 esistono e soddisfano Abbiamo subito ) f() = f(0) = f() sen() f() = = 1, f(0) = c. Invece il ite sinistro è più complicato. La funzione sen ( ) 1 non ha ite per 0 come visto a lezione, quindi neanche 0 f() può esistere, a meno che sia b = 0, nel qual caso abbiamo b = 0, In conclusione f è continua se e solo se f() = a. 0 b = 0, a = c = 1.

4 Calcolo I, a.a Primo esonero 11 novembre 015 1) 6 punti Dimostrare per induzione che + 1 n 1, n 1. Se n = 1 la disuguaglianza si riduce a 1 1 che è vera. Supponiamo ora che la disuguaglianza sia verificata per un certo n 1 e deduciamo la corrispondente disuguaglianza per n + 1 ossia + 1 (n + 1) 1. Usando l ipotesi di induzione si ha + 1 = n + 1 n + n 1 + n + 1 n + e quindi per terminare la dimostrazione del passo di induzione basta dimostrare che n 1 + n + 1 n + (n + 1) 1. L ultima disuguaglianza, semplificando, si riduce a n + 1 n + (n + 1) (n + ) n 1 quindi il passo di induzione è dimostrato per tutti gli n 1 e la dimostrazione è conclusa. ) 7 punti Si ha n + ln(n + 4) ln(n + 1) ln(n + 4) ln(n + 1) = ln(n(1 + 4 )) n ln(n (1 + 1 )) = + ln(1 + 4 ) n ln(n n ) + ln(1 + 1 ) = + ln(1 + 4 ) n + ln(1 + 1 ) n n e mettendo in evidenza a numeratore e denominatore ln(1+ 4 n ) = ln(1+ 1 n ) La prima frazione si semplifica, la seconda tende a 1 dato che ln(1+ 4 n ) 0, ln(1+ 1 n +. Quindi la successione data converge a 1.. n ) 0 per

5 ) 7 punti Studiare la convergenza delle seguenti serie: ( ), = ( ) sen + 1. La prima serie è a termini positivi e possiamo usare il criterio della radice: ( ) ( a = = 1 ) e < 1 quindi la serie converge. Anche la seconda serie è a termini positivi. Se poniamo b = + 1, notiamo che b 0 per +, infatti b = + 1 = ( ) = Allora possiamo applicare il confronto asintotico fra la serie data sen(b ) e la serie b : queste due serie hanno lo stesso carattere perché sen(b ) b 1 per +. Per studiare la serie b possiamo applicare di nuovo il criterio asintotico rispetto alla serie 1, infatti si ha 1 b = Dato che la serie 1 = 1 1/ data divergono a +. 4) 6 punti per +. diverge a +, ne segue che anche la serie b e la serie e sen() 1 0 Basta scrivere e sen() 1 = esen() 1 sen( ) sen( ) e notare che per i ben noti iti notevoli le prime due frazioni tendono a 1, mentre la terza è uguale a. Quindi il ite cercato è uguale a 0. 5) 7 punti Determinare i valori di a, b e c affinché sia continua la funzione + e 1/ se > 0, f() = c se = 0, a + b cos ( 1 se < 0. )

6 In tutti i punti > 0 e < 0 la funzione è continua perché ottenuta come somma, rapporto e composizione di funzioni continue. Resta da verificare la continuità nel punto = 0. La funzione è continua in 0 se e solo se i iti destro e sinistro in 0 esistono e soddisfano Abbiamo subito f() = f(0) = f() f() = ) ( + e 1/ = f(0) = c (il ite di e 1/, che è stato anche trattato a lezione, si calcola subito con il cambiamento di variabile y = 1/ che lo trasforma nel ite di y/e y per y + ). Invece il ite sinistro è più complicato. La funzione cos ( ) 1 non ha ite per 0 come visto a lezione, quindi neanche 0 f() può esistere, a meno che sia b = 0, nel qual caso abbiamo b = 0, In conclusione f è continua se e solo se f() = a. 0 b = 0, a = c =.