Analisi Matematica I

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1 Università degli Studi di Udine Anno Accademico 997/98 Cognome e Nome: Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica I Compitino del 3 aprile 998 Matricola: Documento di identità se chiesto: Si prega di consegnare anche il presente testo Si intende 30 come punteggio pieno Data la funzione f := /, a determinare il dominio naturale, Df, di f non considerare gli 0; b determinare l insieme dei punti di accumulazione, la chiusura, la parte interna e la frontiera di Df; c studiare la continuità, la prolungabilità, e l eventuale comportamento asintotico all infinito Data la successione definita per induzione da a 0 := 3, a n+ := a n 3 per n 0, a dimostrare che è itata inferiormente; b dimostrare che è monotona; c studiarne il comportamento al ite per n + ; d dimostrare che tutti i termini della successione escluso a 0 sono numeri interi dispari Se a n è dispari allora si scrive come a n =m+ per un qualche m Z; ma allora a n+ = 3 Calcolare il seguente ite al variare del parametro a>0: a sena 0 cos a 4 Provare che la seguente successione non ha ite: b n = n sen π +nπ Punti: +3+5, , 8, 6

2 Università degli Studi di Udine Anno Accademico 996/97 Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica I Compitino del 3 aprile 998 Svolgimento a Visto che quando la base è > 0 la potenza può avere qualsiasi esponente reale, l unica operazione problematica per calcolare f := / è la divisione per, che si può fare solo quando 0, cioè quando / {, } Per una potenza a esponente reale qualsiasi, come la nostra, non consideriamo buone basi i numeri 0 Quindi possiamo prendere come dominio naturale di f l insieme Df =]0, [ ], + [ C è un pizzico di arbitrarietà nell escludere gli 0, in quanto ci sono degli <0 per i quali l esponente / è intero quali?, e per i quali quindi la f sarebbe definita, ma non ce ne occupiamo b L insieme Df è l unione dei due intervalli aperti ]0, [ e ], + [, e quindi è aperto e la sua parte interna Df è Df stesso Essendo aperto non ha punti isolati e la sua chiusura Df coincide con l insieme Df dei punti di accumulazione In generale la chiusura di un intervallo è l intervallo chiuso con gli stessi estremi, e A B = A B Applicando tali regole a Df risulta Df =Df =[0, ] [, + [ = [0, + [ La frontiera di Df è la chiusura meno la parte interna, cioè [0, + [ \ Df =[0, + [ \ Df ={0, } c Cominciamo riscrivendo la potenza in base e: Df Df Df Df Df 0 / = e ln / ln ln La f risulta quindi la composizione della funzione esponenziale ep, che è continua ovunque, con la funzione ln che è continua dove è definita, perché tali sono i fattori / e ln Pertanto anche la f è continua su Df La prolungabilità si studia nei punti di frontiera, cioè in0einper 0 + il denominatore tende a, mentre il numeratore ln è una forma indeterminata 0 che se non è già nota si può decidere col cambio di variabile y = ln : ln = e y y = y e y e y = ln + per 0 + È noto che y/e y 0pery + l esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto alle potenze Tornando a noi, per 0 + l argomento dell esponenziale tende a 0/ = 0, per cui 0 + / La f è prolungabile con continuità in 0 con valore Veniamo al ite per Scrivendo ln = ep = / ln + può venire in mente la parentela col ite fondamentale ln+z z perz 0 In effetti, se poniamo =+z abbiamo che z 0perz eche / ln + z ln + z zz + ln + z z +z z +

3 Analisi Matematica I Svolgimento 3 aprile 998 Dunque ln + z = ep / z 0 z +z z = e La f risulta prolungabile per continuità anche in =, con valore e Infine studiamo il comportamento di f per + Possiamo scrivere, dividendo numeratore e denominatore per, f ln ln Si sa che ln 0per + il logaritmo è un infinito di ordine inferiore rispetto alle potenze Quindi e f = + ep + ln = = La f tende asintoticamente al valore per + Qui accanto c è un grafico di f prodotto per punti, con un algoritmo che a volte dà risultati fuorvianti Guardando la figura una delle congetture che possono venire in mente è che <f < e per tutti gli La cosa si può in effetti dimostrare senza troppa fatica Chi vuole cimentarsi può dare per scontato il fatto che ln+z z per ogni z> a Per ogni n 0 il termine a n è in quanto è un quadrato, per cui n a n 0 a n+ = a n = 3 per ogni n 0 Anche a 0 = 3 3,6055 è ovviamente 3/ Possiamo concludere che la successione a n è itata inferiormente da 3/, anche se non ci aspettiamo che questo sia l estremo inferiore b Uno sguardo alla tabella dei primi 7 valori di a n la fa ritenere robustamente crescente Cerchiamo di dimostrarlo Sotto che condizioni a n+ è maggiore di a n? a n+ = a n 3 >a n a n 3 > a n a n a n 3 > 0 a n 4 > 0 a n > a n > oppure a n < a n > 3 oppure a n < Definiamo la seguente proposizione: P n := 3<a n <a n+ Questa P n è vera per n = 0, in quanto 3 = 9 < 3 < 5 = 5 Inoltre se è vera per un qualche n 0 allora risulta in particolare che a n+ > 3, e quindi, per la formula trovata sopra avremo che a n+ è maggiore di a n+, il quale a sua volta è > 3 per ipotesi induttiva Insomma, P n P n + Per il principio di induzione la P n è vera per ogni n 0, e la successione è davvero strettamente crescente

4 Analisi Matematica I Svolgimento 3 aprile 998 Una dimostrazione alternativa sarebbe di provare per induzione che Qn := a n+ >a n > 0 è vera n 0 Per n =0è ovvia Se vale Qn per un certo n, in particolare possiamo elevare al quadrato ambo i membri di a n+ >a n perché entrambi positivi, e quindi successivamente a n+ >a n > 0 = a n+ >a n a n+ 3 >a n 3 a n+ 3 a n+ >a n+ > a n 3 La parte > 0 di Qn+ viene per la transitività: a n+ >a n+ insieme all ipotesi induttiva a n+ >a n > 0 dà a n+ >a n+ > 0, cioè Qn + Il punto a diventa superfluo se si prova che n a n è crescente, perché in tal caso si ha automaticamente inf n N a n = a 0 La successione è nella forma iterativa a n+ = ga n con g := 3/, e disegnando il grafico di g con quello della bisettrice y = si può visualizzare l andamento della successione, almeno g per i primissimi termini, come qui accanto 5 3 y= 5 c Sappiamo che una successione crescente ha sempre ite, e il ite è l estremo superiore della successione Possono succedere due cose: o tale estremo superiore è+ oè un numero l finito Dai conti che abbiamo fatto sulla nostra particolare a n siamo portati a propendere per la prima alternativa Per dimostrarlo, supponiamo per assurdo che valga la seconda: a n l R Allora l a n+ = a n 3 l 3 Per l unicità del ite deve valere l =l 3/, cioè l = l 3, che equivale a l l 3=0,cheè possibile solo quando l {, 3} D altra parte, per la crescenza di a n abbiamo che a n a 0 = 3 > 3, per cui deve risultare l a 0 = 3 > 3, che è incompatibile con l {, 3} Siamo costretti a concludere che a n ha per ite +, come ci aspettavamo d Dimostriamo per induzione che la proposizione Rn := a n è un intero dispari è vera per n Per n =è ovviamente vera, perché a = 5 Supponiamo che per un certo n sia vera, cioè che esista un intero m tale che a n =m + Allora a n+ = a n 3 = m + 3 = 4m +4m + 3 =m +m =m + m Poiché m + m è ancora un intero, m + m è un intero pari, e a n+ =m + m è un intero dispari Risulta quindi che anche Rn + è vera Questo conclude la dimostrazione Un ragionamento alternativo per dimostrare che a n + è di notare che, essendo a valori interi eccetto a 0, ed essendo strettamente crescente, deve crescere di almeno ad ogni passo Quindi per induzione a n a + n =4+n per ogni n e il risultato segue per confronto 3 Cerchiamo di far saltare fuori espressioni simili a quelle di iti fondamentali, dividendo numeratore e denominatore per : g a := a sena cos a = e ln a sena cos a = 3 ln e ln a a ln a a sena a cos a

5 Analisi Matematica I Svolgimento 3 aprile 998 Calcoliamo separatamente i iti dei vari termini: 00 g a e ln a e y = =, 0 ln a y 0 y sena sen y = =, 0 a y 0 y 0 cos =0, = a 0 a 0 = a 0 = a Possiamo ora calcolare separatamente i iti di numeratore e denominatore nella formula sopra: ln a e ln a 0 ln a a sena cos = ln a a =lna a, a =0 =0 a 0 a a ln a Non può succedere che il ite del numeratore sia zero, perché vale la disuguaglianza ln a a <aper ogni a>0 Anzi, il ite del numeratore è sempre < 0 Il fattore cos a è 0 per ogni R in quanto cos sempre Pertanto il denominatore ha lo stesso segno del restante fattore, e abbiamo: g a = 0 + g a = 0 + ln a e ln a ln a 0 + ln a e ln a ln a 0 a sena a cos a = a sena a cos a = <0 {}}{ ln a a 0 + =, <0 {}}{ ln a a 0 =+ Possiamo concludere che per nessun a>0 il ite proposto esiste, sebbene esistano i iti da destra e da sinistra e siano rispettivamente e+ Possiamo anche dire che il ite esiste ma è senza segno 4 L arco π + nπ cade nel punto 0, quando n è pari, e nel punto 0, per n dispari Pertanto sen π + nπ = n ela successione si riscrive come { b n = n sen π +nπ n = n n = = n per n pari, n =/n per n dispari La sottosuccessione di n b n formata dagli indici dispari, cioè n b n =n, tende a +, mentre quella degli indici pari, π +nπ n pari 0 b n n π nπ n dispari n b n+ =/n+, tende a 0 Quando due sottosuccessioni di una data successione hanno iti diversi necessariamente la successione non ha ite