Soluzioni di alcuni esercizi degli esoneri e di due esercizi dei fogli di esercizi. 1 2 n + 5 n 10 n n + 1.

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1 Soluzioni di alcuni esercizi degli esoneri e di due esercizi dei fogli di esercizi NOTA: PER FARE PIÚ ALLA SVELTA NON HO SCRITTO TUTTI I DETTAGLI DELLE SOLUZIONI. HO CERCATO DI SPIEGARE LE IDEE PRINCIPALI. IN UN COMPITO LO STUDENTE DEVE SCRIVERE PIÚ DETTAGLI. IN CERTI CASI HO DATO SPIEGAZIONI CHE NON SONO RICHIESTE ALLO STUDENTE PER FARE CAPIRE MEGLIO I CONCETTI. 00/04 Sia la successione definita da n + n 0 n + n a Calcolare, se esiste, lim. b Dire se esiste n intero positivo tale che > Dire inoltre se esiste n intero positivo con n > 0 6 tale che valga. 4 00/04 a Calcolare +. b Provare che esistono due numeri irrazionali positivi a e b tali che a b è razionale. Ricordiamo che è irrazionale fatto che potete usare, mon siete tenuti a dimostrare. 00/06 Risolvere la disequazione x x+0 4 precisando se il valore x 6 0 risolve la disequazione data. 00/06 a Sia T la retta di equazione x + y 8. Dire quali punti di T appartengono anche alla retta r di equazione y 9. b Sia D il grafico della funzione f definita da fx x 4 + x Dire quali punti di D appartengono anche alla retta r. 00/6 Siano date le successioni

2 n4 n + n 8 6 n { + se n pari n 4 n, b n n 80 n + n 4 8 n, c n 9 se n dispari a Calcolare, se esistono, lim, lim b n, lim c n. b Dire se converge la serie + n. 4 00/6 a Determinare un numero reale a espresso in forma di frazione con numeratore e denominatore interi tale che + 80 a. b Sia una successione tale che a 4, + n quindi a 4, a a etc.. Provare che esiste un intero positivo n tale che > 8. 00/06 foglio di matematica 0, N. Scrivere nella forma a i numeri , 00/06, o foglio, N.. Disegnare i grafici delle due funzioni α e β ove αx x 0, βx x 0. I due grafici suggeriscono che l equazione x 0 x 0 ha una soluzione perché? D altra parte si potrebbe pensare che se x 0 x 0 si ha x x, che è impossibile. Come si spiega ciò? Le soluzioni grafiche non costituiscono mai una dimostrazione sicura. È questo il motivo o c è qualcosa che non vel procedimento per dedurre che l equazione x 0 x 0 non ha soluzione? 00/04. a SOLUZIONI 0 n + n 0n + n + n 0 n n n + n + 0 n n +. Poiché n + 0 +, mentre n n, si ha +. L idea è al solito che + in ogni somma si mette in evidenza il termine piú grande, poi si usano limiti noti. b Tale n esiste; questo segue dalla definizione di limite. In base ad a +, quindi comunque prendo un numero reale M, per esempio M 0860, esiste un indice N tale che > M se n N, e quindi per ogni n N la vale. Per trovare n > 0 6 tale che valga basta prendere n > max{n, 0 6 }. Infatti, in tal caso, vale in quanto n N, e n > 0 6.

3 4 00/04 a Abbiamo qui usato le proprietà delle potenze, in particolare nella prima uguaglianza, nella seconda e nella terza abbiamo usato il fatto ovvio che. b Usiamo l uguaglianza che abbiamo implicitamente provato nella parte a. Se noi sapessimo che è irrazionale, allora basterebbe prendere a e b. In effetti si può dimostrare che è irrazionale, ma questo è molto difficile e fuori della portata dei metodi usati nel corso. Sembrerebbe in effetti intuitivo, ma questo non vuol dire automaticamente che è vero. Ricordo che non è affatto detto che la presenza di in un espressione renda irrazionale tutta l espressione. Quindi non possiamo usare tale fatto. Ma in realtà non ne abbiamo bisogno. Infatti, se invece fosse razionale, basterebbe prendere a e b, e a b sarebbe razionale proprio per lostra assunzione. Quindi in ogni caso esistono a e b come richiesto. 00/06 Si ha x x+0 x x+ x+0 x x + 0 x x + 0 e precisiamo che la semplificazione nell ultima uguaglianza è valida quando 0, ossia x, ossia l espressione iniziale è uguale a x x+0 per x mentre per x l espressione iniziale non è definita. Quindi la disequazione data equivale a x x a sistema con x. Risolviamo al. Essa si trasforma man mano in x x x 4x + 0 x + 0 x 8 x

4 x + 8 x Ora, x + 8 > 0 se e solo se x > 8 e analogamente x + 8 < 0 se e solo se x < 8. In questo modo il numeratore è positivo in 8, + e negativo in, 8. Analogamente il denominatore è positivo in 0, + e negativo in, 0. Ora, facendo il prodotto dei segni, in, 0 abbiamo numeratore e denominatore della frazione in negativi e quindi la frazione in è positiva. In 0, 8 il numeratore è negativo e il denominatore positivo e quindi la frazione è negativa; analogamente in 8, + la frazione è positiva. Quindi la soluzione di sarà data da, 0 [ 8, + Notare che è soddisfatta in 8 e non in 0, come si vede da una verifica diretta. Quindi la soluzione della disequazione iniziale, che equivale a a sistema con la condizione x sarà data da, 0 [ 8,, +. Infine il numero x 6 0 risolve la disequazione data, in quanto 6 0 < 0 e quindi 6 0 stell insieme soluzione della disequazione data. Ovviamente il metodo proposto qui per risolvere la disequazione iniziale non è l unico possibile. Per esempio si poteva scrivere la disequazione iniziale come ossia x x x x e a questo punto si studia il segno del numeratore della frazione in 4, ossia x 4, x + 0 e il segno del denominatore ossia. Per studiare il segno del numeratore bisogna ovviamente risolvere la disequazione fratta x 4 > 0 x + 0 che si studia coi metodi abituali. Una volta trovato il segno di tale numeratore, si studia il segno della frazione in 4, combinandolo coi metodi noti col segno del denominatore. Non entro nei dettagli; comunque il metodo che ho proposto io qui è senz altro piú veloce. 4

5 00/06 a Basta fare il sistema che, con semplici calcoli ha come soluzione alle due rette date è il punto, 9. b Questa volta bisogna fare il sistema { x + y 8 y 9 { x, quindi l unico punto che appartiene y 9 { y x 4 + x y 9 Infatti, dire che il punto x, y sta sul grafico di f equivale a dire che y fx. Ora il sistema dato chiaramente equivale a { 9 x 4 + x 6 y 9 Risolviamo la prima equazione del sistema in. Questa si trasforma in x 4 + x 6 0 che equivale a x oppure x 6 0 poiché come ben noto, il prodotto di due numeri è 0 se e solo se uno dei due numeri è 0. Poiché l equazione x chiaramente non ha soluzione in quanto x 4 è sempre 0 e quindi x 4 + > 0 per ogni x oppure si può dire x equivale a x 4, che non ha soluzione, ma in sostanza è la stessa cosa, basta studiare l altra equazione x 6 0 che si trasforma man mano in x 6 x x 6 x ± 6 x ± 6 x ± 6.

6 Notare che si potrebbe pensare che passando dalla seconda alla terza uguaglianza, nella terza dovrei aggiungere la condizione x 6 0 altrimenti la seconda uguaglianza non avrebbe senso. Non ho aggiunto tale condizione poiché segue subito dalla terza uguaglianza. In conclusione si hanno due punti, 9 e, 9. 00/06 a e si ricava facilmente che Studiamo b n : ove v n + n 8 6 n n 6 n 4 n + n 4 n +. b n n 4 n n + n 4 n n 8 6 n + n4 n 4 8 n n n v n n n 8 6 n 9 n +, quindi si vede facilmente, usando i limiti notevoli, che v n n 4 0, segue allora che b n n 0. Studiamo c n. Si ha chiaramente c n 9. Siccome 9 +, e per confronto c n +. b Si ha 0 < Poiché,, la serie geometrica + serie + n n4 n n 4 n + n4 n n 4 n n n n. Poiché +, si ha anche n converge. Per confronto converge anche la. Si può anche fare il confronto asintotico tra e n. Risulta con semplici calcoli; dato che 0 < < +, le serie + carattere, e, poiché come visto prima la serie + + n n n e +. Si può anche fare l esercizio usando il criterio del rapporto. 4 00/6 a quindi a. n an n n hanno lo stesso n converge, converge anche la serie b Per capire la successione la calcoliamo sui primi termini. a 4, a e analogamente a

7 In genere, si avrà ove s n n k k + 4 s n 6 è la somma parziale ennesima della serie armonica. Questo fatto sembra evidente dai primi esempi, ma volendo fare le cose in modo preciso sarebbe da dimostrare per induzione. Poiché la serie armonica è divergente, s n + e quindi anche s n +. Oroi sappiamo che n + quindi esiste un indice N tale che, se x N allora 4 x x > 8 ; questo in sé cioè in base alla definizione di limite di successione varrebbe solo se x è un intero positivo, ma in realtà vale anche se x è un numero reale N in quanto in tal caso x N > 8. D altra parte per esiste un numero intero positivo n tale che s n N e quindi da 6, per tale n, si ha + > 8, come richiesto. 00/06 foglio di matematica 0, N. Per il primo numero bastotare che quindi a Studiamo il secondo. Si ha 4 4 e quindi a /06, o foglio, N.. Il problema è che da x 0 x 0 non si può dedurre x x essendo 0 un esponente pari, ma solo x x. Sviluppando tale uguaglianza questa si riduce a x x per x che non è mai verificata, a x x per x < 0, che pure non è mai verificata, e a x x se 0 x <, che è verificata per x. Difatti i due grafici si incontrano in un punto di ascissa, ossiel punto, queste considerazioni, senza disegnare i grafici. 0. Mi limito a