ESERCITAZIONE 10 : EQUAZIONI E DISEQUAZIONI

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1 ESERCITAZIONE 10 : EQUAZIONI E DISEQUAZIONI tommei@dm.unipi.it web: tommei Ricevimento: Martedi Dipartimento di Matematica, piano terra, studio Dicembre 2012

2 Esercizio 1 Sia data la funzione reale di variabile reale f(x) = 2 27 x 3. a) Trova l insieme di definizione di f(x). b) Trova per quali valori di x R si ha f(x) = 1. a) La funzione f(x) = 2 27 x 3 è una funzione irrazionale in quanto è presente una radice: l indice della radice è pari (in questo caso 2) quindi il radicando, affinché la funzione sia definita, deve essere maggiore o uguale a 0: 27 x 3 0 (3 x) (9 + 3 x + x 2 ) 0 x 3 Abbiamo utilizzato il prodotto notevole differenza di cubi e sfruttato il fatto che il polinomio di secondo grado x + x 2 assume valori positivi per ogni x reale. Avremmo potuto risolvere la disequazione razionale di terzo grado 27 x 3 0 anche ricordando che la funzione y = x 3 è monotona decrescente su R: L insieme di definizione di f(x) è quindi 27 x 3 0 x x 3 D = {x R : x 3} b) Per trovare per quali valori di x R si ha f(x) = 1, dobbiamo risolvere l equazione irrazionale 2 27 x 3 = 1 27 x 3 = 3 27 x 3 = 9 x 3 = 18 x = 3 18 Una possibile risoluzione geometrica consiste nel disegnare il grafico della funzione f(x) e vedere dove interseca la retta orizzontale y = 1: le ascisse dei punti di intersezione rappresentano le soluzioni dell equazione.

3 Esercizio 1 Sia data la funzione reale di variabile reale f(x) = 2 27 x 3. a) Trova l insieme di definizione di f(x). b) Trova per quali valori di x R si ha f(x) = 1. a) La funzione f(x) = 2 27 x 3 è una funzione irrazionale in quanto è presente una radice: l indice della radice è pari (in questo caso 2) quindi il radicando, affinché la funzione sia definita, deve essere maggiore o uguale a 0: 27 x 3 0 (3 x) (9 + 3 x + x 2 ) 0 x 3 Abbiamo utilizzato il prodotto notevole differenza di cubi e sfruttato il fatto che il polinomio di secondo grado x + x 2 assume valori positivi per ogni x reale. Avremmo potuto risolvere la disequazione razionale di terzo grado 27 x 3 0 anche ricordando che la funzione y = x 3 è monotona decrescente su R: L insieme di definizione di f(x) è quindi 27 x 3 0 x x 3 D = {x R : x 3} b) Per trovare per quali valori di x R si ha f(x) = 1, dobbiamo risolvere l equazione irrazionale 2 27 x 3 = 1 27 x 3 = 3 27 x 3 = 9 x 3 = 18 x = 3 18 Una possibile risoluzione geometrica consiste nel disegnare il grafico della funzione f(x) e vedere dove interseca la retta orizzontale y = 1: le ascisse dei punti di intersezione rappresentano le soluzioni dell equazione.

4 Esercizio 2 Risolvi le seguenti equazioni razionali di grado superiore al secondo: a) 3 x 4 7 x = 0 b) 3 x = 0 c) x 10 5 x = 0 d) x 4 7 x x x 12 = 0

5 Esercizio 2 a) L equazione 3 x 4 7 x = 0 è un equazione polinomiale di quarto grado, mancante però dei monomi di grado dispari, è cioè un equazione della forma a x 4 + b x 2 + c = 0: una tale equazione è chiamata biquadratica e si risolve per sostituzione ponendo x 2 = t. b) L equazione 3 x = 0 è un equazione polinomiale del tipo a x n + b = 0 con a, b 0 e n = 6. Le equazioni del tipo a x n + b = 0 si dicono binomie e si risolvono molto facilmente, attenzione però che non sempre ammettono soluzioni in R. Vediamo la soluzione generale. Nel caso in cui n sia pari (n = 2 k, k N 0 ), se b/a > 0, si hanno due radici reali opposte x = ± n b a mentre se b/a < 0 non si ha nessuna radice reale. Se n è dispari (n = 2 k + 1, k N) si ha sempre una sola radice reale: x = n b a

6 Esercizio 2 c) L equazione x 10 5 x = 0, come quella nel caso a), si risolve per sostituzione ponendo x 5 = t; così facendo si ottiene un equazione di secondo grado le cui soluzioni possono essere calcolate facilmente. Un equazione come la precedente del tipo a x 2 n + b x n + c = 0 a, b, c 0 con n > 2 (per n = 2 abbiamo una biquadratica) è detta trinomia e si risolve con la sostituzione x n = t. d) Proviamo ad utilizzare il teorema di Ruffini: cerchiamo, tra i divisori interi del termine noto, numeri x i tali che p(x i ) = 0. Se x = 1 si ha p(1) = = 0, ma anche se x = 1 si ha p( 1) = = 0, quindi abbiamo già trovato due radici del polinomio, ovvero due soluzioni della nostra equazione; inoltre sappiamo che il polinomio p(x) può essere fattorizzato come (x + 1) (x 1) q(x) (con q(x) polinomio di secondo grado). Per calcolare q(x) è sufficiente dividere p(x) per (x + 1) (x 1) = x 2 1: p(x) x 2 1 = x2 7 x + 12 = (x 3) (x 4) Quindi abbiamo trovato una fattorizzazione del polinomio p(x) in fattori lineari e la nostra equazione diventa x 4 7 x x x 12 = (x + 1) (x 1) (x 3) (x 4) = 0 con soluzioni x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 3, x 4 = 4.

7 Esercizio 3 Risolvi le seguenti disequazioni razionali: a) x 3 2 x 0 b) x c) 6 x 7 7 x 5 + x 3 0 d) (2 3 x) (x 2 5 x + 6) (x 2 x 12) 0 e) 3 x x 2 3 x 4 > 0

8 Esercizio 4 Risolvi le seguenti disequazioni razionali fratte: a) x (x 1) 4 x b) c) d) x 4 56 x + 95 x 2 7 x + 10 > 8 x 3 6 x 2 x 2 5 x x 4 5 x x 2 9 0

9 Esercizi ) Risolvi le seguenti disequazioni con valore assoluto in R: a) x2 x x 2 > 2 b) x 2 x2 < 1 x 1 c) x2 1 x x2 x < 1 d) x 2 > 2 6) Trova per quali valori di x R ha significato la seguente equazione: 3 x2 7 2 x 3 = x (x 2) 1 3 x + 3 7) Risolvi (analiticamente e graficamente) le seguenti disequazioni: a) x 2 1 x 1 b) x 3 4 x 1 x 2 c) x 3 + x 1 2 x d) x x 3 x