Serie a termini di segno non costante
|
|
- Gianpaolo Valli
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Serie a termini di segno non costante Definizione (Convergenza semplice e assoluta) Se una serie converge, cioè la sua somma esiste ed è finita, si dice anche che la serie converge semplicemente: an = s. Una serie a n converge assolutamente se converge la serie dei valori assoluti: an. Teorema (Criterio di convergenza assoluta) Se una serie converge assolutamente, allora converge anche semplicemente: an a n. Definizione (Serie a segni alterni) Una serie si dice a segni alterni se può essere scritta nella forma: ( ) n a n = ( ) n a n, con {a n 0}, successione a termini positivi. Teorema (Criterio di Leibniz, per serie a segno alterno) Sia ( ) n a n una serie a segni alterni, con a n 0, termini di una successione tale che: a n a n+ n (decrescente); lim n + a n = 0 (infinitesima). Allora la serie converge. Esempio. La serie armonica diverge: n = + ; mentre la serie armonica con segni alterni è una serie di Leibniz, infatti rispetta le tre ipotesi: è positiva: n > 0; è decrescente: n > n+ n; è infinitesima: lim n + n = 0. Dunque la serie armonica a segni alterni è convergente: ( ) n n < +.
2 Esercizio. Stabilire il carattere delle seguenti serie a segno alterno: a. + 0 ( ) n sin n ; b. ( ) n arctan n ; c. ( ) n n + n. a. Verifichiamo dapprima la convergenza assoluta, che implicherebbe automaticamente anche quella semplice. La serie dei valori assoluti ha come termine generale la successione a n = sin n n, che diverge: pertanto la serie data non converge assolutamente. Per quanto riguarda la convergenza semplice, osserviamo che la successione a n = sin n soddisfa le tre ipotesi del criterio di Lebniz: è positiva: la funzione seno è positiva nell intervallo (0, ] in cui viene valutata; è decrescente: la funzione seno, in (0, ], è anche monotona crescente, quindi segue l andamento dell argomento /n, decrescente; è infinitesima: a n = sin n n 0. Dunque la serie converge semplicemente. b. Valgono esattamente le stesse considerazioni viste al punto precedente, perché anche per l arcotangente vale la relazione: a n = arctan n n ; la serie data converge semplicemente ma non assolutamente. c. In questo caso, invece, non è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza: a n = n + n 0;
3 la serie non converge né assolutamente, né semplicemente: assolutamente diverge, mentre semplicemente è irregolare (in quanto non esiste il limite della successione s n = n a j delle somme parziali n esime, infatti: lim k s k = (+)a k = + lim k s k+ = ( )a k+ = ). Esercizio. Stabilire il carattere della serie: sin(πn + n + arctan n ). Osserviamo che l argomento della funzione seno è la somma di un termine infinito e uno infinitesimo; ricordando la formula di addizione del seno: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, (termine infinite- ponendo α = πn (termine infinito) e β = arctan n simo), possiamo separarli: + n a n = cos(πn) sin( n + arctan n ) = ( )n sin( n + arctan n ), ottenendo così il termine generale di una serie a segni alterni. Controlliamo la convergenza assoluta: a n = sin( n + arctan n ) n + arctan n n + n = n + o ( n ), dunque la serie dei valori assoluti diverge (confronto asintotico con serie armonica). Per la convergenza semplice, verifichiamo le tre ipotesi di Leibniz per la successione b n = sin( n + arctan n ): è positiva; è infinitesima (asintotica a /n); è decrescente: la funzione seno, strettamente crescente, conserva la monotonia dell argomento. I due termini che lo compongono sono /n, decrescente, e arctan n, decrescente perché lo è /n, e l arcotangente, come il seno, ne mantiene l andamento. Dunque la serie data converge semlicemente, per il criterio di Leibniz. 3
4 Esercizio. Stabilire il carattere della serie: ( ) n a n = ( ) n ( n + 3 n). Si tratta di una serie a segni alterni; studiamo prima la serie dei valori assoluti: a n = ( ) n + 3 n = n[ + 3/n 3 ] n n = 3 n ( + x) α (per il limite notevole lim = α); dunque la serie, per il confronto asintotico, diverge x 0 x assolutamente. La convergenza semplice è invece data dal criterio di Leibniz, infatti si verifica facilmente che la successione degli a n è positiva e infinitesima; quanto alla monotonia, studiando il segno della derivata prima della funzione f(x) = x + 3 x, troviamo che tale funzione è strettamente decrescente, per valori positivi di x: sarà allora decrescente anche la successione a n = f(n), con n 0. La serie data è allora convergente semplicemente. Esercizio. Studiare il carattere della serie: n + sin(πn + n ). Scrivendo il termine generale come: a n = n + cos(πn) sin n = n + ( )n sin n, spezziamo la serie in due termini: uno a segno positivo, l altro a segni alterni. Il primo è una serie armonica, perciò divergente. Questo non basta però per concludere che la somma delle due serie diverga: se fossero entrambe divergenti, ma con segno opposto, la loro somma potrebbe ancora convergere. Come esempio banale, basta osservare che la somma delle due serie (entrambe divergenti) /n e ( /n), è una serie convergente: n + ( ) = ( n n ) = 0 = 0. n 4
5 Studiamo allora il carattere del termine a segni alterni: i valori assoluti danno una serie il cui termine generale è asintotico a quello della serie armonica: sin(/n) /n, pertanto la serie assoluta diverge. Ma abbiamo già visto che la successione a n = sin(/n) soddisfa le tre ipotesi del criterio di Leibniz (positiva, monotona, infinitesima): dunque la serie converge semplicemente. La serie data, somma di due serie, una divergente e una convergente, è divergente semplicemente (e dunque anche assolutamente). Esercizio. Stabilire il carattere della serie: ( ) n 3n + ( ) n n. Si tratta di una serie a segni alterni; partiamo dalla convergenza assoluta: 4n < a n = la serie diverge assolutamente. 3n + ( ) n n < n, La convergenza semplice non può essere provata con il criterio di Leibniz, perché in questo caso la successione a n non è monotona; si ha però: ( ) n a n { 4n n n pari n dispari Cerchiamo di riscrivere il termine generale della serie come: ( ) n a n = ( )n 4n + ( )n b n, espressione che, per n pari, già coincide con la successione di partenza, mentre per n dispari deve soddisfare: 4n + b n = n, da cui si ricava b n = 8n. La serie data si può allora riscrivere come somma delle tre serie: ( ) n a n = ( ) n 4n + ( )n 8n = ( ) n 4n 8n + ( ) n 8n. La prima e la terza serie sono convergenti per il criterio di Leibniz, mentre la seconda è una serie armonica, divergente. La somma delle tre serie diverge semplicemente. 5
6 Esercizio. Stabilire il carattere delle serie: a. ( ) n sinh n e n ; b. ( ) n n 3 n +. a. Per la convergenza assoluta studiamo la successione: a n = en e n e n = e n 0, non essendo soddisfatta la condizione necessaria, la serie diverge assolutamente. Semplicemente ha invece carattere irregolare. b. In questo caso si ha convergenza assoluta, infatti: a n = n 3 n + n 3, termine generale di una serie armonica generalizzata, con α = 3, convergente. La serie converge assolutamente e semplicemente. Esercizio. Data la successione: { sinh n n pari a n = cosh n n dispari stabilire il carattere della serie ( ) n b n = ( ) n a n. Si tratta di una serie a segni alterni, con b n = sinh k = e k e k e k cosh(k + ) = e k+ + e k e k+ La serie data è allora la somma delle due serie: ( ) n b n = n k e k e k k 6 e k+ + e k,
7 dove entrambe le serie sommate hanno termine generale asintotico al termine di una serie convergente, perciò convergono, e converge la loro somma. La convergenza della serie di termine generale c k = si può dimostrare, e k ad esempio, con i criteri del rapporto o della radice: c k = c k e k ek = e <, (oppure: k ck = k e k = k e e <.) Esercizio. seguenti? Per quali valori del parametro c R convergono le serie a. c n n ; b. c n n ; c. ( c c ) n ; d. ( n + n) c. a. Occupiamoci dapprima della serie dei valori assoluti: la condizione necessaria per la convergenza è: a n = c n n 0 c. Per il criterio della radice, poi otteniamo che: Perciò: lim n a n = lim c n n = c. se c < si ha convergenza assoluta (e semplice); se c =, abbiamo due casi: - per c =, la serie diventa quella armonica: diverge; - per c =, la serie è quella armonica a segni alterni: converge. 7
8 se c > la serie coincide con quella dei valori assoluti, che diverge; se c < la serie assolutamente diverge, semplicemente è irregolare. In conclusione, la serie converge per i valori c <. b. Si procede in maniera analoga al punto predente: a condizione necessaria alla convergenza assoluta è c, il criterio della radice fornisce il limite: Dunque distinguiamo i casi: lim n a n = lim c n n = c. se c < si ha convergenza assoluta (e semplice); se c =, abbiamo due casi: - per c =, la serie diventa quella armonica generalizzata, con α = > : converge; - per c =, la serie è quella armonica generalizzata a segni alterni: converge. se c > la serie coincide con quella dei valori assoluti, che diverge; se c < la serie assolutamente diverge, semplicemente è irregolare. In conclusione, la serie converge per i valori c. c. Si tratta di una serie geometrica di ragione q = c c, pertanto la convergenza si ha se e soltanto se la ragione è minore di in modulo: la serie converge c c <. La condizione si traduce nel sistema: { c c < c c > la cui soluzione è l intervallo c (, /3). d. Per il termine generale vale la relazione di asintotico: a n = ( n + n) c = ( n + + n ) c ( ) c = n c n c/. L ultimo è il termine generale di una serie armonica generalizzata, convergente per tutti e soli gli esponenti maggiori di : la serie converge per c >. 8
Serie numeriche. Riccarda Rossi. Analisi I. Università di Brescia
Serie numeriche Riccarda Rossi Università di Brescia Analisi I Sommatoria Siano Con il simbolo I : insieme finito di indici (a i ) i I famiglia finita di numeri, al variare di i in I indichiamo la somma
Dettaglia j n + convergente divergente irregolare.
Serie numeriche Definizione Data una successione reale {a j } + successione delle somme parziali n esime come: n s n a j, jj il cui limite, per n + : jj R, si definisce la s lim s n n + jj a j è detto
Dettagli1 n 1. n + 1. n=1 N+1. n=1. n=1 N N + 1.
44 Roberto Tauraso - Analisi 2 e quindi la somma parziale s N è uguale a N N s N n(n + ( n n + n N n n N+ n n N +. n2 N n N n n + dove nell ultimo passaggio si sono annullati tutti i termini opposti tranne
Dettaglin! n n. n=1 an = L [0, + ] Se L = 1 il criterio non dà una risposta e la serie potrebbe sia convergere che divergere. 2 n2. n 1
46 Roberto Tauraso - Analisi 2 Esempio 3.6 Determinare il carattere della serie Applichiamo il criterio del rapporto: n n. a n+ a n (n +! nn (n + nn (n + n+ (n + n n n+ (n + ( n + n e. n Dato che e
DettagliSERIE NUMERICHE. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Serie numeriche cap5c.pdf 1
SERIE NUMERICHE c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf Serie numerica Definizione. Sia a k : N R una successione definita per k k 0. La sommatoria (di infiniti addendi)
DettagliSOLUZIONI COMPITO del 1/02/2013 ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU INGEGNERIA MECCANICA - INGEGNERIA ENERGETICA INGEGNERIA AMBIENTE e TERRITORIO TEMA A
SOLUZIONI COMPITO del /0/0 ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU INGEGNERIA MECCANICA - INGEGNERIA ENERGETICA INGEGNERIA AMBIENTE e TERRITORIO TEMA A Esercizio Osserviamo che la serie proposta è a termini di segno
Dettagli1. Scrivere il termine generale a n delle seguenti successioni e calcolare lim n a n:
Serie numeriche.6 Esercizi. Scrivere il termine generale a n delle seguenti successioni e calcolare a n: a),, 4, 4 5,... b), 9, 4 7, 5 8,... c) 0,,,, 4,.... Studiare il comportamento delle seguenti successioni
DettagliSerie Numeriche. Docente:Alessandra Cutrì
Serie Numeriche Docente:Alessandra Cutrì Definizione di Serie Somma formale di un numero infinito di addendi. È un operazione che è in stretta relazione con quella di integrale improprio. data un successione
DettagliLaurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Serie numeriche
Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Serie numeriche Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi
DettagliANALISI MATEMATICA 1 Commissione F. Albertini, V. Casarino e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
TEMA f = 2 arctan 2) log e 2 αx α sin x + 2x + x 6 + x + n n 2 log n xe x dx al variare di a R x a e x dx Tempo: due ore e mezza Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato È vietato tenere
DettagliAnalisi Matematica 1. Serie numeriche. (Parte 2) Dott. Ezio Di Costanzo.
Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale Analisi Matematica 1 Serie numeriche (Parte 2) Dott. Ezio Di Costanzo ezio.dicostanzo@sbai.uniroma1.it Definizione Data la serie + n=0 a n si definisce resto
DettagliANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del
ANALISI MATEMATICA Area dell Ingegneria dell Informazione Appello del 3..7 TEMA Esercizio Calcolare l integrale log(3) 4 dx Svolgimento. Si ha log(3) 4 dx = (ponendo ex = t, per cui dx = dt/t) e = 4 3
DettagliPag. 151 Dimostrazioni dei criteri per lo studio della convergenza di serie numeriche
C.7 Serie Pag. 151 Dimostrazioni dei criteri per lo studio della convergenza di serie numeriche Teorema 5.29 (Criterio del confronto) Siano e due serie numeriche a termini positivi e si abbia 0, per ogni
DettagliEsercizi svolti. Esercizio 1.1 Verificare se è soddisfatta la condizione necessaria, e nel caso non lo sia osservare che la serie non può convergere:
Serie numeriche Esercizi svolti Serie numeriche. Condizione necessaria Esercizio. Verificare se è soddisfatta la condizione necessaria, e nel caso non lo sia osservare che la serie non può convergere:.
DettagliTutorato di analisi 1
Tutorato di analisi 1 Alen Kushova Collegio Volta 1 / 9 Introduzione Serie Serie Geometrica Criterio del confronto (anche asintotico) Criterio del rapporto e della radice Criterio della convergenza assoluta
DettagliAnalisi Matematica. Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor
a.a. 2014/2015 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili
DettagliSerie Borlini Alex
Serie numerica >> Prefazione Progressione lista ordinata e finita di elementi. Successione lista ordinata e infinita di elementi (numeri reali chiamati termini), {a n }=a 1, a 2, a 3 Successione di Fibonacci:
DettagliAnalisi Matematica 1 Soluzioni prova scritta n. 1
Analisi Matematica Soluzioni prova scritta n Corso di laurea in Matematica, aa 008-009 5 giugno 009 Sia a n la successione definita per ricorrenza: a n+ 3 a n a 3 n, a 3 a n+ 3 a n a 3 n, a 3 a n+ 3 a
DettagliSeconda prova in itinere di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti.
Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Tema n 3 5 6 Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n
DettagliAnalisi Matematica A e B Soluzioni Prova scritta n. 3
Analisi Matematica A e B Soluzioni Prova scritta n. Corso di laurea in Fisica, 207-208 9 luglio 208. Si consideri per α =, 2, 5, 8 la seguente funzione funzione F α : R\{0} R F α () = sin t dt. t α 6 Dire
DettagliAnalisi Matematica 1
Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica 1 Ingegneria Industriale a.a. 2011 2012 y f 1 g 0 x La funzione seno e la funzione esponenziale Raccolta delle tracce di Analisi Matematica 1 per Ingegneria
DettagliANALISI MATEMATICA 1 - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
ANALISI MATEMATICA - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 4 settembre 7 TEMA Esercizio [ punti] Si consideri la funzione
DettagliCorrezione del compito di Analisi 1 e 2 del giorno 09/06/2017
Correzione del compito di Analisi e 2 del giorno 9/6/27 Stra Federico 5 giugno 27 Esercizio Studiare, al variare di α R e R, la convergenza assoluta e la convergenza semplice della serie n n sin/n cos/n
DettagliPROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA I(N.O.), ANNO 2002/03
PROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA I(N.O.), ANNO / Prova scritta del 6// Denotato con a il numero delle lettere del nome, si consideri la serie nx + cos nx a nx, per x IR, e si determini per quali valori
DettagliEsercitazione di Analisi Matematica I Esercizi e soluzioni 19/04/2013 TOPOLOGIA
Esercitazione di Analisi Matematica I Esercizi e soluzioni 9/04/203 TOPOLOGIA Mostrare che uno spazio infinito con la metrica discreta non può essere compatto Soluzione: Per la metrica discreta d : X X
DettagliAnalisi Matematica I modulo Soluzioni prova scritta preliminare n. 2
Analisi Matematica I modulo Soluzioni prova scritta preinare n 2 Corso di laurea in Matematica, aa 2004-2005 22 dicembre 2004 1 (a) Calcolare il seguente ite A******* ( ) n 2 n 2 + n n 1 n + 2n 2 Soluzione
DettagliSecondo appello di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti.
Secondo appello di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 01/01. Prof. M. Bramanti 1 Tema n 1 4 7 Tot. Cognome e nome in stampatello) codice persona o n di matricola)
DettagliSERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI
SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioni di Analisi Matematica per i corsi di Laurea in Ingegneria Energetica e Meccanica N-Z dell Università di Bologna. Anno Accademico 2003/2004.
DettagliVicenza, 12 settembre 2016 Si consideri la funzione. sinh 2x sinh 2x 1 3x. f(x) =
ANALISI MATEMATICA - Traccia di soluzioni Commissione F. Albertini, L. Caravenna e V. Casarino Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Esercizio, Tema [9 punti] Vicenza, settembre 06 Si
DettagliAnalisi Matematica 1 Trentaquattresma lezione. Serie
Analisi Matematica 1 Trentaquattresma lezione Serie prof. Claudio Saccon Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C email: saccon@mail.dm.unipi.it web: http://saccon.blog.dma.unipi.it
DettagliANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione
ANALISI MATEMATICA Area dell Ingegneria dell Informazione Appello del.. TEMA Esercizio. Sia f) = + 3) log + 3), D =] 3, + [. i) Determinare i iti di f agli estremi di D e gli eventuali asintoti; studiarne
DettagliUniversità degli Studi di Verona
Università degli Studi di Verona Dipartimento di Informatica Ca' Vignal 2 Strada le Grazie 5 3734 Verona - Italia Tel. +39 045 802 7069 Fax +39 045 802 7068 Corso di Laurea in Matematica Applicata PROVETTA
DettagliESERCIZI A TEST SULLE SERIE. (con soluzioni) N.B. delle 4 risposte elencate una sola è corretta
ESERCIZI A TEST SULLE SERIE (con soluzioni) N.B. delle 4 risposte elencate una sola è corretta . E data la serie: dove a R. Allora: ( ) 3a n +a (a) se a = la serie converge a (b) se a = 3 la somma della
DettagliMatematica II prof. C.Mascia
Corso di laurea in CHIMICA INDUSTRIALE Sapienza, Università di Roma Matematica II prof CMascia alcuni esercizi, parte, 7 marzo 25 Indice Testi degli esercizi 2 Svolgimento degli esercizi 4 Testi degli
DettagliANALISI 1 1 SEDICESIMA - DICIASETTESIMA LEZIONE Serie
ANALISI 1 1 SEDICESIMA - DICIASETTESIMA LEZIONE Serie 1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C email: saccon@mail.dm.unipi.it web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.html
DettagliLaurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti
Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di
DettagliAnalisi Matematica 1 Appello straordinario
marzo 09 Testo A. Sia ν : N N una funzione strettamente crescente. Allora sicuramente a n N, νn) n b n N: νn) > n. Sia a n ) n N successione tale che n N: ε > 0 n > n, a n a < ε. Allora sicuramente a a
DettagliNel capitolo precedente abbiamo visto che sotto opportune condizioni su una funzione f : I! R si ha lo sviluppo di Taylor
Capitolo 6 Serie numeriche Nel capitolo precedente abbiamo visto che sotto opportune condizioni su una funzione f : I! R si ha lo sviluppo di Taylor f(x) = nx k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + o((x x 0 ) n
DettagliAnalisi Matematica 1 Secondo appello
Analisi Matematica 1 Secondo appello 11 febbraio 219 Testo A1 Consegnare solo questo foglio Prima parte: 2 punti per risposta corretta, 1 per ogni errore. Soglia minima 12/2. Seconda parte: Domande A e
DettagliANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del
ANALISI MATEMATICA Area dell Ingegneria dell Informazione Appello del 9..8 NOTA: lo svolgimento del Tema contiene alcuni commenti di carattere generale. Esercizio Si consideri la funzione TEMA f := log
DettagliINTEGRALI Test di autovalutazione
INTEGRALI Test di autovalutazione. L integrale ln 6 è uguale a (a) vale 5 2 (b) (c) (d) 4 5 vale ln 256 2 è negativo 2 5 + 4 5 2 5 + 4 5 d d 2. È data la funzione = e 2. Allora: (a) se F() è una primitiva
DettagliINTEGRALI IMPROPRI. Esercizi svolti
INTEGRALI IMPROPRI Esercizi svolti. Usando la definizione, calcolare i seguenti integrali impropri: a c d e f / + 5 d arctan + d 8 + 4 5/ + e + d 9 + 8 + + d 4 d. d. Usando la definizione di integrale
DettagliSERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI
SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioni di Complementi di Analisi Matematica ed Elementi di Calcolo delle probabilità per il corso di Laurea in Ingegneria per la parte di Elementi
DettagliPROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA I, ANNO 2015/16
PROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA I, ANNO 5/6 Prova scritta del //6 Si studi, al variare di x, il comportamento della serie n= n Ax n Ax, dove A denota il numero delle lettere del nome. Si studi la funzione
DettagliSoluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - /7/9 C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Proff. K. Payne, C. Tarsi, M. Calanchi Esercizio. a La funzione f è limitata e essendo lim fx
DettagliSUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI
SERIE NUMERICHE Si consideri una successione di elementi. Si definisce serie associata ad la somma Per ogni indice della successione, si definisce successione delle somme parziali associata a la somma
DettagliINTEGRALIIMPROPRI/ESERCIZISVOLTI
ANALISI MATEMATICA I - A.A. 3/4 INTEGRALIIMPROPRI/ESERCIZISVOLTI ESERCIZIO. Calcolare i seguenti integrali impropri: log d, log d. Svolgimento. La funzione integranda f () = log èdefinita e continua su
DettagliTEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea (quadriennale) in Fisica a.a. 2002/03
I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita
DettagliTutorato di Analisi 2 - AA 2014/15
Tutorato di Analisi - AA 0/5 Emanuele Fabbiani marzo 05 Serie. Serie numeriche Stabilire se le seguenti serie sono convergenti, motivando la risposta. In caso questa sia aermativa, stabilire la somma..
DettagliSerie numeriche e serie di potenze
Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima
DettagliSerie di funzioni: esercizi svolti
Serie di funzioni: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio. seguenti serie di funzioni: Studiare la convergenza normale, uniforme,
DettagliANALISI MATEMATICA 1 ESERCIZI ASSEGNATI IN AULA O A CASA Corso di Laurea in Matematica aa 2003/04 01/03/04
ANALISI MATEMATICA ESERCIZI ASSEGNATI IN AULA O A CASA Corso di Laurea in Matematica aa 2003/04 0/03/04 Esercizio. Calcolare la somma della serie ( 2 k ). 3 k 2 k Esercizio 2. Scrivere sotto forma di frazione
DettagliANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 8/11/2013
ANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 8//3 Premessa (Cfr. gli Appunti di Analisi Vettoriale / del Prof. Troianiello) Nello studio degli integrali impropri il primo approccio all utilizzo del criterio
DettagliCorso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti
Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 30 1 Definizione di successione
DettagliVERSIONE PRELIMINARE Lezioni di Analisi Matematica 3 corso di Laurea in Fisica a.a
Lezioni di Analisi Matematica 3 corso di Laurea in Fisica a.a. 2005-06 G. Molteni, M. Vignati Notazioni I vettori di R n e le funzioni a valori in R n sono indicate in grassetto, per cui si dirà v R n
DettagliAnalisi Matematica 1 Trentaduesima lezione. Serie
Analisi Matematica 1 Trentaduesima lezione Serie prof. Claudio Saccon Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C email: saccon@mail.dm.unipi.it web: http://saccon.blog.dma.unipi.it Ricevimento:
DettagliAnalisi (L. Fanelli - M. Marchi - P. Vernole - A. Pisante)
Corso di laurea in Fisica, a.a. 2015/16 Analisi (L. Fanelli - M. Marchi - P. Vernole - A. Pisante) Prima prova in itinere 13 novembre 2015 I Regolamento. Annerire in modo evidente un opzione a scelta fra
DettagliDIARIO DELLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea in Ingegneria Elettrotecnica A.A: 2018/2019 Codocente: Dott. Salvatore Fragapane
DIARIO DELLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea in Ingegneria Elettrotecnica A.A: 2018/2019 Codocente: Dott. Salvatore Fragapane Lezione 1-28/09/2018, dalle 10.00 alle 12.00 in aula 7 - Numeri
DettagliCORSO DI LAUREA IN INFORMATICA ANALISI MATEMATICA I MODULO, I E II MODULO, II MODULO. f(x) = (µx ± 2µ) e 1/x,
CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA ANALISI MATEMATICA I MODULO, I E II MODULO, II MODULO I PROVA SCRITTA DI GIUGNO 2005: SOLUZIONI ESERCIZIO - Data la funzione f(x) = (µx ± 2µ) e 1/x, si chiede di: a) calcolare
Dettagli3. (Punti 8) Si consideri l integrale improprio. x n dx, n N.
Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del 4 febbraio 27 Fila. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 9) Data l
DettagliIngegneria civile - ambientale - edile
Ingegneria civile - ambientale - edile Analisi - Prove scritte dal 7 Prova scritta del 9 giugno 7 Esercizio Determinare i numeri complessi z che risolvono l equazione Esercizio (i) Posto a n = n i z z
DettagliLaurea triennale in Informatica - Corso B (M-Z) Prova scritta di Analisi Matematica Teoria
13 giugno 2016 1. In base alla teoria studiata e giustificando la risposta, determinare (a) se la funzione f(x) = cos x è pari, dispari o nessuna delle due cose; x 5 (b) se la funzione g(x) = 2 x + x 3
DettagliPROGRAMMA. Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale.
PROGRAMMA Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale. Gli insiemi numerici oggetto del corso: numeri naturali, interi relativi, razionali. Operazioni sui numeri
DettagliAnalisi Matematica I
Università di Pisa - orso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura Analisi Matematica I Pisa, settembre omanda La funzione f : R R definita da f(x) = x + e x A) non è né iniettiva né surgettiva ) è iniettiva
DettagliAnalisi Matematica A Soluzioni prova scritta parziale n. 2
Analisi Matematica A Soluzioni prova scritta parziale n Corso di laurea in Fisica, 018-019 4 febbraio 019 1 Dimostrare che per ogni λ R l equazione e x = 1 x x + λ ha una e una sola soluzione x = x(λ Dimostrare
DettagliSoluzioni foglio 8. Pietro Mercuri. 13 novembre 2018
Soluzioni foglio 8 Pietro Mercuri novembre 08 Esercizio Determinare il carattere delle seguenti serie numeriche, cioè dire se sono convergenti, divergenti o indeterminate. Nel caso siano convergenti, calcolare
DettagliAnalisi Matematica 1
Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica 1 Ingegneria Industriale a.a. 2007 2008 y f 1 g 0 x La funzione seno e la funzione esponenziale Raccolta delle tracce di Analisi Matematica 1 per Ingegneria
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Territorio - sede distaccata di Latina Corso di Analisi Matematica (1 modulo) - a.a.
Corso di Laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Territorio - sede distaccata di Latina Corso di Analisi Matematica ( modulo) - a.a. 00/04 APPUNTI INTEGRATIVI SUI CRITERI DI CONVERGENZA PER LE SERIE Serie
DettagliAnalisi Matematica 1
Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica 1 Ingegneria Industriale aa 2012 2013 y f 1 g 0 x La funzione seno e la funzione esponenziale Raccolta delle tracce di Analisi Matematica 1 per Ingegneria
DettagliSoluzione esercizi 28 ottobre 2011
ANALISI Soluzione esercizi 8 ottobre 0 4.. Esercizio. Siano α e β due numeri reali tali che la loro somma e la loro differenza siano razionali: provare che allora essi sono entrambi razionali. Il teorema
DettagliAnalisi Matematica 1 (prof. G. Cupini) (CdS Astronomia - Univ. Bologna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A
Analisi Matematica 1 (prof. G. Cupini) (CdS Astronomia - Univ. Bologna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A.2015-2016 22 SETTEMBRE 2015 3 ore 14-17 Insiemi e operazioni tra insiemi. Numeri reali. Assiomi dei numeri
DettagliA Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Simulazione compito d esame
COGNOME NOME Matr. A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Firma dello studente Tempo: 3 ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni
Dettaglie 2x2 1 (x 2 + 2x 2) ln x
Corso di laurea in Ingegneria delle Costruzioni A.A. 2016-17 Analisi Matematica - Esercitazione del 04-01-2017 Ripasso di alcuni argomenti in programma Gli esercizi sono divisi in più pagine, per separare
DettagliTEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I
TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare
DettagliDiario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2017/18)
Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2017/18) 22 settembre 2017 (2 ore) Presentazione del corso. Numeri naturali, interi, razionali, reali. 2 non è razionale. Come si risolve 2 + 1 = 0? 25 settembre
DettagliANALISI MATEMATICA 1 - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
ANALISI MATEMATICA 1 - Parte B Commissione F Albertini, L Caravenna e M Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 4 luglio 017 TEMA1 Esercizio 1 [1 unti] Si consideri la funzione
DettagliB Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica)
COGNOME NOME Matr. B Firma dello studente Tempo: ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni è corretta. Indicatela con una croce. È consentita una sola correzione
DettagliA Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica)
COGNOME NOME Matr. A Firma dello studente Tempo: ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni è corretta. Indicatela con una croce. È consentita una sola correzione
DettagliEsonero di Analisi Matematica I (A)
Esonero di Analisi Matematica I A) Ingegneria Edile, 7 novembre 00 Michele Campiti) 1. Studiare il seguente ite: x π/ cos x 1 sin x) tan 3 x π ).. Calcolare le seguenti radici quarte: 3i 4 1 + i). Esonero
DettagliISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA Commissione A. Cesaroni, P. Mannucci, A. Sommariva, a.a Corsi di laurea in Scienze Statistiche
TEMA f(x = arccos( x (a ˆ Determiniamo il dominio Poichè arccos : [, ] [, π], poniamo x ovvero x Di conseguenza il dominio risulta D = [ 4, 4] ˆ Eventuali simmetrie: la funzione è pari ˆ Periodicità: la
DettagliD Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica)
COGNOME NOME Matr. D Firma dello studente Tempo: ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni è corretta. Indicatela con una croce. È consentita una sola correzione
DettagliIntegrali impropri - svolgimento degli esercizi
Integrali impropri - svolgimento degli esercizi La funzione integranda è continua su [, + e quindi localmente integrabile. Esaminiamone il segno: si ha < < sin5 > log 2 + 2 log log 2 + log 2 > ; quindi
DettagliAnalisi Matematica II 6 aprile sin[π(x 2 + y 2 /5)] x 2 + y2
Analisi Matematica II 6 aprile 07 Cognome: Nome: Matricola:. (0 punti) Si consideri la seguente corrispondenza tra R ed R f(x, y) = Determinare l insieme di definizione A R di f e sin[π(x + y /5)] x +
DettagliE := 2. a k := 2(2n 1) (2n 1) + 1 ( 1)n+1 = ( 1) n+1( 2 1 ) 1 2m 1 ;
Ingegneria Elettronica e Informatica Analisi Matematica a Foschi) Compito dell 8..08. Determina tutti i punti di accumulazione dell insieme { k E := k + k sin π ) } : k N. Soluzione: L insieme E è formato
Dettagli8. Successioni. Davide Catania Esercitazioni di Analisi Matematica 1
8. Successioni Davide Catania davide.catania@unibs.it Esercitazioni di Analisi Matematica 1 Successione reale. È una funzione a: J k R, con J k = {n N : n k }, k N. Si indica con (a n ) n Jk, avendo posto
DettagliDiario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2016/17)
Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2016/17) 16 settembre 2016 (2 ore) Presentazione del corso. Numeri naturali, interi, razionali, reali. 2 non è razionale. Come si risolve 2 + 1 = 0? 19 settembre
DettagliANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del
ANALISI MATEMATICA Area dell Ingegneria dell Informazione Appello del 9.7.8 Esercizio Si consideri la funzione TEMA f log e. i Si determini il dominio D e si studi il segno di f; ii si determininio i iti
DettagliI appello - 11 Gennaio 2016
Analisi Matematica - A.A. 5-6 Prove scritte di Analisi Matematica - A.A. 5/6 Corso di Laurea in Ingegneria Civile Corso di Laura in Ingegneria Informatica ed Elettronica I appello - Gennaio 6 Svolgere
DettagliAPPELLO B AM1C 14 LUGLIO f(x) = xe 1
Cognome e nome APPELLO B AM1C 14 LUGLIO 2009 Esercizio 1. Sia data la funzione f(x) = xe 1 log x. (a) Determinarne: insieme di esistenza e di derivabilità, limiti ed eventuali asintoti, eventuali massimi,
DettagliSuccessioni e serie di funzioni / Esercizi svolti
M.Guida, S.Rolando, 4 Successioni e serie di funzioni / Esercizi svolti ESERCIZIO. Sia f n :[, ] R definita da f n (x) =x n ( x n ) per ogni n. a) Determinare l insieme di convergenza puntuale e la funzione
DettagliEsercitazioni di Analisi Matematica 1
Esercitazioni di Analisi Matematica Corso di laurea in Ingegneria Clinica. A.A. 008-009 Soluzioni Foglio 3 Esercizio. Sia assegnata la funzione seguente: f(x) = x ln x. ) Verificare che la funzione f è
DettagliNozioni di base - Quiz - 2
Nozioni di base - Quiz - Rispondere ai seguenti quesiti (una sola risposta è corretta).. L insieme delle soluzioni della disequazione (a) (0, ) (, + ) (x ) log(x) x + 0 è: (b) [, ] (c) (d) (e) (, + ) (0,
DettagliAnalisi Matematica 1 - a.a. 2017/ Secondo appello
Analisi Matematica - a.a. 27/28 - Secondo appello Soluzione del test Test A 2 3 4 5 6 7 8 9 D D A B C B A E D D Test B 2 3 4 5 6 7 8 9 B A C C B E D E A A Test C 2 3 4 5 6 7 8 9 A C B E E D C B B C Test
DettagliRaccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,
Dettagli(ln 5)i 1 i. (c) (d) Scriviamo il numero complesso assegnato in forma algebrica:
Primo parziale Test. L argomento principale del numero complesso (ln 5)i i è (a) 4 π (b) (c) (d) Scriviamo il numero complesso assegnato in forma algebrica: Risposta esatta a) ln 5 i i = ln 5 i( + i) i
DettagliCorsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni.
Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni. Università di Pisa. Prima prova scritta di Analisi Matematica I. Soluzioni. Esercizio. Si consideri la successione c n ) n N definita dalla
DettagliSuccessioni numeriche (II)
Successioni numeriche (II) Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi A Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni (II) Analisi A 1 / 52 Forme indeterminate associate a funzioni razionali fratte:
DettagliRisoluzione del compito n. 4 (Giugno 2014)
Risoluzione del compito n. 4 Giugno 2014) PROBLEMA 1 Determinate le soluzioni z, w), con z, w C,delsistema { z = w 2 w i Dalla prima equazione ricaviamo 2iz +4i z = w 2. che sostituito nella seconda la
DettagliDerivabilità, invertibilità e studi di funzione
Derivabilità, invertibilità e studi di funzione. Studiare la continuità e la derivabilità delle funzioni elencate in tutto il loro dominio di definizione e calcolare la derivata nei punti in cui la funzione
DettagliUNIVERSITA DEL SALENTO CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA Prova scritta di ANALISI MATEMATICA I 19/01/09
UNIVERSITA DEL SALENTO Prova scritta di ANALISI MATEMATICA I 19/01/09 1 Determinare sup/inf max/min) e insieme dei punti di accumulazione del seguente insieme: E = {x R e x 5e x + 6) arctan x 1 x) < 1}
Dettagli