Successioni e serie di funzioni / Esercizi svolti

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1 M.Guida, S.Rolando, 4 Successioni e serie di funzioni / Esercizi svolti ESERCIZIO. Sia f n :[, ] R definita da f n (x) =x n ( x n ) per ogni n. a) Determinare l insieme di convergenza puntuale e la funzione ite della successione (f n ). b) Studiare la convergenza uniforme di (f n ) su e sugli intervalli del tipo [,b] con <b<. c) Verificare che f n (x) dx =. (.) a) Ricordiamo che l insieme di convergenza puntuale della successione (f n ) (che, visto il testo, va considerata solo sull intervallo [, ]) è l insieme = x [, ] : f n (x) esiste finito, sul quale (se non vuoto) risulta individuata la funzione ite delle f n, cioè la funzione f : R definita da x, f (x) = f n (x). Per x =oppure x =, si ha subito f n (x) =per ogni n equindi f n (x) =. Fissiamo allora x (, ); risulta xn =equindi ( xn )=,dacuisegue f n (x) = xn ( x n )= =. Dunque f n (x) =per ogni x [, ]. Ciòsignifica che l insieme di convergenza puntuale di (f n ) è =[, ] e che la funzione ite della successione è la funzione f identicamente nulla su [, ], cioèf (x) =per ogni x [, ]. b) Ricordiamo che, se I è un intervallo qualsiasi, la convergenza delle f n ad f è uniforme su I se sup f n (x) f (x) per n. xi Per stabilire se la convergenza è uniforme su tutto =[, ], studiamo allora il sup f n (x) f (x) = sup f n (x) = sup f n (x), x[,] x[,] x[,] = dove si è tolto il valore assoluto in quanto f n (x) per ogni x [, ]. Poiché fn (x) = nx n ( x n ), per ogni n la funzione f n risulta crescente su, n e decrescente su

2 M.Guida, S.Rolando, 4 n,. Dunque si ha subito sup f n (x) = max f n (x) =f n = n x[,] x[,] 4 e perciò la convergenza delle f n non è uniforme sull intervallo [, ]. Consideriamo ora gli intervalli del tipo [,b] con <b<. Poiché n = e b<, per ogni n oltre una certa soglia n si ha >be quindi, ricordando che f n n è crescente su risulta che f n è crescente su [,b]. Dunque, n, sup f n (x) f (x) = sup f n (x) = max x[,b] f n (x) =f n (b) x[,b] x[,b] = per ogni n>n. Siccome f n (b) =(perché b (, ) b ), si conclude che f n uniformemente su [,b]. Nella figura sottostante sono riportati i grafici di alcuni elementi della successione (f n ). c) Per calcolare il ite degli integrali f n (x) dx, non è possibile applicare il teorema di passaggio al ite sotto il segno di integrale (che permetterebbe subito di concludere che la (.) è vera, essendo f (x) ), perché la convergenza non è uniforme su [, ]. Si deve allora procedere al calcolo diretto: f n (x) dx = x n ( x n ) dx = x n x n x n+ dx = n + x= xn+ = n + x= n + n +, e quindi f n (x) dx = n + =. n +

3 M.Guida, S.Rolando, 4 3 ESERCIZIO. Sia (f n ) la successione di funzioni definita da f n (x) =x + e nx, n. a) Determinarne l insieme di convergenza puntuale e la funzione ite. b) Studiarne la convergenza uniforme sugli intervalli del tipo [a, +) con a esu(, +). a) I termini f n della successione sono funzioni definite su tutto R. Perx =si ha f n (x) =per ogni n e quindi f n (x) =.Sex=, invece, risulta enx =equindi x + e nx = x. Dunque la successione converge puntualmente su = R e la sua funzione ite è f (x) = x se x = se x =. b) La convergenza di f n ad f non è uniforme su [, +), perché tutte le funzioni f n sono continue su [, +) mentre la funzione ite non lo è (v. teorema di continuità della funzione ite). Per stabilire se la convergenza è uniforme sugli intervalli [a, +) con a>, calcoliamo o stimiamo la norma f n f,[a,+) = sup x[a,+) f n (x) f (x) con n fissato, per poi valutare se essa tende a per n oppure no. Si ha sup f n (x) f (x) = sup x[a,+) x[a,+) x + e nx x = sup e nx x[a,+) (il valore assoluto è inutile perché e nx è sempre positivo) e si vede facilmente che la funzione e nx (n fissato) ha derivata negativa per x>. Di conseguenza e nx è decrescente sull intervallo [a, +) e pertanto, su tale intervallo, ha massimo assoluto in x = a, cioè sup e nx = max x[a,+) x[a,+) enx = e na. Dunque f n f,[a,+) = e na. Passiamo ora al ite per n :siottiene f n f,[a,+) = ena = e quindi f n converge ad f uniformemente su [a, +). La stessa conclusione non vale invece sull intervallo (, +). Infatti, essendo e nx anche su (, +), inquestocasorisulta decrescente f n f,(,+) = e quindi f n f,(,+) ==. sup e nx = x(,+)

4 M.Guida, S.Rolando, 4 4 Nella figura sottostante sono riportati i grafici di alcuni elementi della successione (f n ), rispettivamente sugli intervalli, + e (, +). Sono tratteggiati i grafici non interamente contenuti nella striscia x <y<x+ ( > arbitrario). Nelprimocaso,igrafici delle f n si svolgono definitivamente dentro tale striscia (convergenza uniforme); nel secondo caso (convergenza non uniforme), ogni grafico ne esce in prossimità del punto x =. ESERCIZIO. Si consideri la serie di funzioni +x n+ log +x n, x (, ). n= a) Determinarne l insieme di convergenza puntuale e la funzione somma S : A R. b) Studiarne la convergenza uniforme su e sugli intervalli del tipo (,b] con <b<. a) Si tratta della serie di funzioni f n (x) i cui termini sono le funzioni f n :(, ) R definite da n= +x n+ f n (x) =log +x n. Ricordiamo che l insieme di convergenza puntuale della serie f n (x) è l insieme = x (, ) : f n (x) converge = n= n= x (, ) : S N (x) esistefinito, N

5 M.Guida, S.Rolando, 4 dove S N (x) = N f n (x) =f (x) f N (x) è la successione delle somme parziali della serie. n= Poiché +x n+ log +x n =log +x n+ log ( + x n ) (si noti che per x (, ) entrambi gli argomenti dei due logaritmi sono positivi), la serie è telescopica e possiamo calcolare esplicitamente la somma parziale S N (x). Esplicitando tutti i termini della sommatoria, si vede facilmente che risulta S N (x) = e quindi, siccome N log +x n+ log ( + x n ) =log +x N+ log ( + x) n= N xn+ =per ogni x (, ), siottiene S N (x) = log +x N+ log ( + x) = log ( + x) per ogni x (, ). N N Dunque la serie converge puntualmente su tutto (, ), cioè =(, ), ed ha per funzione somma la funzione definita da S (x) = log ( + x). In altri termini +x n+ log +x n = log ( + x) per ogni x (, ). n= b) Controlliamo se la convergenza della serie su =(, ) è anche uniforme: per ogni N si ha S N S, = sup log +x N+ log ( + x)+log(+x) = sup log +x N+ =log x(,) x(,) (la funzione x log +x N+ è crescente su (, )) e quindi S N S, non tende a per N, cioè la convergenza della serie non è uniforme su (, ). Restringiamo ora l indagine agli intervalli del tipo (,b] (, ). In tal caso, per ogni N si ottiene S N S,(,b] = sup log +x N+ =log +b N+ x(,b] e quindi S N S,(,b] per N (perché <b< implica N bn+ =), cioè la serie converge uniformemente (alla sua somma S) su(,b]. In definitiva, risulta +x n+ log +x n = log ( + x) per ogni x (, ), con convergenza uniforme su ogni intervallo (,b] (, ). n=

6 M.Guida, S.Rolando, 4 6 ESERCIZIO. Si consideri la serie di funzioni n= a) Determinarne l insieme di convergenza puntuale. (x) n n + x. (.) b) Provare che la serie converge uniformemente su ogni intervallo [,b] con <b<. c) Provare che la somma della serie è una funzione continua su,. a) Si tratta della serie di funzioni f n (x) i cui termini sono le funzioni f n : R R definite da n= f n (x) = L insieme di convergenza puntuale della serie è (x)n n + x. = x R : f n (x) converge. n= Testiamo innanzitutto la condizione necessaria di convergenza: la serie (.) può convergere solo nei punti x R in cui il suo termine generale f n (x) èinfinitesimo per n.poichén+x n per n,siha (x) n n + x = x n n + x = x n + se x > n = se x epertanto f n (x) =seesolose x. Dunque la serie non converge se x > e può convergere (ma anche non convergere) se x [/, /]. In altri termini si ha [/, /]. D ora in poi, potremo allora itare lo studio della serie (.) a tale intervallo. Poiché la convergenza assoluta implica quella puntuale, analizziamo dapprima la convergenza assoluta della serie (.), ossia la convergenza della serie a termini positivi (x) n n + x = x n n + x n= n= Applichiamo il criterio della radice: si ha n x n n + x = con x, fisso. x n = x < x n + x,

7 M.Guida, S.Rolando, 4 7 epertantola serie (.) converge assolutamente, e quindi puntualmente, in ogni x (/, /), mentre nulla possiamo ancora concludere per x = ±/ (né dal punto di vista della convergenza puntuale, né da quello della convergenza assoluta). Valutiamo a parte il comportamento della serie (.) in tali punti. Per x =/, la serie (.) diventa n= n +/4, che diverge per il criterio del confronto asintotico ( n+/4 n e Per x = /, la serie (.) diventa n= () n n +/4, n= n = n= n =+). che converge per il criterio di Leibniz (la successione b n = n+/4 > èinfinitesima e decrescente). In definitiva, la serie (.) converge se e solo se x [/, /), cioèrisulta =[/, /). b) Per provare che la serie converge uniformemente sugli intervalli [,b] con <b</ ricorriamo al criterio di Weierstrass, mostrando che essa converge totalmente su tali intervalli, cioè mostrando che esiste una successione di numeri reali M n tali che n, x [,b], f n (x) M n e n= M n converge. Osserviamo che per x (e quindi per x [,b]) risulta f n (x) = f n (x) = (x)n n+x. Per ogni n e per ogni x [,b], sihan + x n e x b, dacuisegue (x) n (x)n n + x n (b)n n e dunque f n (x) M n con M n = (b)n n. La serie (b) n n converge per il criterio della radice n= (essendo b</) e pertanto la serie (.) converge totalmente su [,b]. Il criterio di Weierstrass assicura allora che la serie (.) converge uniformemente (e assolutamente) su [,b]. c) Per i risultati del punto (a), la somma della serie esiste sull intervallo =[/, /) ed è la funzione S :[/, /) R data da S (x) = n= (x) n n + x per ogni x,. Iterminif n (x) = (x)n n+x sono funzioni continue su tutto R, ma per provare che la somma S è continua su [, /) non possiamo applicare il teorema di continuità della funzione somma su tutto l intervallo [, /), perché non sappiamo se la convergenza della serie è uniforme su tale intervallo.

8 M.Guida, S.Rolando, 4 8 Ragioniamo allora punto per punto: fissiamo un qualunque x [, /) e proviamo che S è continua in x. A tale scopo, prendiamo un b>tale che x b</ (ciò è possibile perché x < /) ed in questo modo risulta x [,b], cosicché possiamo sfruttare i risultati del punto (b): la serie converge uniformemente sull intervallo [,b] (su cui i termini della serie sono continui) e quindi la sua somma S è continua in tutti i punti di [,b], tracuix. Poiché x [, /) è arbitrario, risulta che S è continua in tutti i punti di [, /). ESERCIZIO. Si consideri la serie di funzioni n= n+ 3 e nx4 x. (a) Determinarne l insieme di convergenza puntuale. (b) Calcolarne la somma. (c) Determinare almeno un intervallo su cui la serie converge uniformemente. Si tratta di una serie di funzioni f n : D R il cui dominio comune è D = x R : x = = R \{}. Raccogliendo ciò che non dipende da n per semplificare l espressione della serie, si ottiene n= n+ 3 e nx4 x = 3 x n= n 3 e nx4 = 3 x n= n 3 ex4, dove l ultima uguaglianza mette in evidenza il fatto che si tratta di una serie geometrica di ragione q =3e x4 /. (a) Poiché una serie geometrica converge se e solo se la sua ragione è strettamente compresa tra e, l insieme di convergenza puntuale cercato è Siccome n 3 = x R \{} : converge ex4 = x R \{} : 3 n= 3 ex4 = 3 ex4,siottiene 3 ex4 < 3 ex4 < e x4 < 3, ex4 <. dove l ultima disequazione è sempre verificata, in quanto x 4 implica e x4 < 3. Dunque = R \{}.

9 M.Guida, S.Rolando, 4 9 (b) Poiché n= q n = q n= se q <, per ogni x si ha n+ 3 e nx4 x = 3 x = 3 x n= n 3 ex4 = 3 x 3 ex4 Dunque la somma S : R della serie è la funzione S (x) = n= = n= n 3 ex4 9 x e x4 3. n+ 3 e nx4 9 x = x per ogni x =. e x4 3 (c) Applichiamo il criterio di Weierstrass, cercando un intervallo I di R \{} su cui la serie converga totalmente, cioè tale che per ogni x I risulti n+ 3 e nx4 x M n con M n < +. La presenza di x a denominatore suggerisce di allontanarsi dall origine, considerando ad esempio intervalli del tipo I =[a, +) con a>. Allora per ogni x I si ha x a e quindi n+ 3 e n+ nx4 3 x = e nx4 x = 3 n 3 x e nx4 3 n 3 a e nx4 3 n 3 a = M n, n= dove per l ultima disuguaglianza si è tenuto conto del fatto che nx 4 implica e nx4. Poiché n 3 3 M n = a = 3 n 3 a converge (serie geometrica), n= n= n= il criterio di Weierstrass assicura che la serie data converge uniformemente (e assolutamente) su ogni intervallo del tipo [a, +) con a>, adesempioi =[, +).