DEFINIZIONE PROVVISORIA DI LOGARITMO ED ESPONENZIALE

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1 DEFINIZIONE PROVVISORIA DI LOGARITMO ED ESPONENZIALE 0 novemre 20 Come dice il titolo, in questi appunti vogliamo dare una definizione rigorosa, ma provvisoria, dei logaritmi e degli esponenziali. Si tratta di una definizione provvisoria perché è asata sulla seguente ipotesi che non dimostreremo. Ipotesi. Esiste una funzione L definita su tutti i reali positivi, continua e (strettamente) crescente che, per tutti i reali positivi x ed y, verifica la condizione L(xy) = L(x) + L(y). () La dimostrazione di questa ipotesi sarà data successivamente e non in questi appunti. Osserviamo suito però che se una tale funzione L esiste essa non sarà unica. Infatti, se L soddisfa l Ipotesi, allora per ogni numero reale positivo c > 0 la funzione cl(x) soddisferà anch essa la stessa ipotesi. In effetti è possiile dimostrare che tutte le funzioni che soddisfano l Ipotesi, possono essere ottenute da una di esse moltiplicandola per un fattore reale positivo. Vediamo intanto che cosa si può dedurre dall Ipotesi. Prima di tutto poiché, il quadrato di è uno, risulta L() = L() + L(), che implica L() = 0. In particolare se 0 < x < la crescenza di L implica che L(x) < L() = 0, mentre se < x, deve essere 0 = L() < L(x). In altre parole L è positiva sui numeri maggiori di uno e negativa sui numeri compresi tra 0 e. Risulta pure per x > 0 che L(/x) = L(x). Osserviamo anche che L(x n ) = nl(x) e che quindi L(x /n ) = L(x)/n. Infine notiamo che L(x n ) = nl(x) e similmente L(x /n ) = L(x)/n. Osserviamo ora che l immagine (o codominio) di L è l intera retta reale. Infatti se y R, ed essendo L(2) un numero positivo, risulterà, per qualche intero positivo n, nl(2) < y < nl(2).

2 La continuità di L implica che L assume tutti i valori compresi tra L(2 n ) = nl(2) e L(2 n ) = nl(2), ivi compreso, naturalmente, y. Poniamo ora y = e sia > 0 il numero tale che L() =. Questo numero esiste poiché l immagine di L è tutta la retta reale ed è unico perché L è crescente e quindi iniettiva. Osserviamo che L( n ) = n per ogni intero n. E anche vero che, se n 0, L( /n ) = /n, ed infine che L( n/m ) = n/m. In altre parole per ogni razionale r Q risulta L( r ) = r. Diremo che il numero tale che L() = è la ase di L e, per indicare la stretta relazione tra L e la sua ase, introduciamo la notazione L al posto di L. Siamo finora partiti da una funzione che soddisfa alla condizione dell Ipotesi per identificare la sua ase. Possiamo però chiederci: dato un numero a >, possiamo trovare una funzione L a che soddisfa alle condizioni della Ipotesi ed aia come ase a? Questa domanda ha una risposta facile. Sappiamo che esiste una funzione L che soddisfa l Ipotesi e che ha una ase che è in generale diversa da a. Possiamo però definire L a (x) = L (x) L (a). Risulta allora che L a (a) = e e L a soddisfa alle condizioni dell Ipotesi. In definitiva aiamo dimostrato che per ogni numero reale > esiste una funzione L (x) crescente e continua definita sulla semiretta positiva che soddisfa la () e tale che L () =. Aiamo anche visto che per ogni numero razionale r Q, risulta L ( r ) = r. In altre parole L si comporta come il logaritmo in ase, secondo la seguente definizione Definizione. Dato un numero reale > il logaritmo in ase di una potenza razionale r è l esponente cui isogna elevare per ottenere quella potenza razionale, cioè log ( r ) = r. Possiamo quindi affermare che L (x) = log (x), tutte le volte che 0 < x = r per qualche numero razionale r. Questo, naturalmente ci fornisce un modo di definire log (x) anche quando x non è una potenza razionale di. Basta porre, stavolta per definizione, per ogni numero reale positivo x. L (x) = log (x), (2) 2

3 La funzione L è una funzione continua e crescente nel suo dominio. Sappiamo allora che L ammette una funzione inversa L, definita su tutta la retta reale (il codominio di L ) Risulta allora L (x) = x ogni volta che x Q. Ma questa stessa formula ci permette di estendere la definizione di x a tutti i numeri reali, asta infatti porre x = L (x), (3) per ogni numero reale x. Le funzioni L ed L sono funzioni continue e crescenti definite, rispettivamente, sulla semiretta positiva e su tutta la retta. Sono l una l inversa dell altra e coincidono, rispettivamente, con log (x) e con x laddove è possiile una definizione diretta di queste due funzioni (cioè rispettivamente, se x = r per qualche razionale r e se x è razionale). Siamo così riusciti ad estendere la definizione di log (x) e di x rispettivamente ai numeri reali x > 0 e a tutti i numeri reali. Resteree però da dimostrare che queste estensioni sono uniche e cioè che L e L sono le uniche possiili funzioni continue che coincidono con log e x nei punti dove queste funzioni sono definiili direttamente (le potenze razionali di per il logaritmo ed i razionali per l esponenziale). Ad esempio dovremmo dimostrare il seguente risultato. Proposizione Supponiamo che valga l Ipotesi, allora, per ogni >, esiste un unica funzione L che soddisfa le condizioni dell Ipotesi e tale che L () =. Per dimostrare questa proposizione doiamo anzitutto ricordare che ogni intervallo aperto dei numeri reali contiene un numero razionale. Possiamo dire qualcosa di più: dato > ogni intervallo aperto (α, β) contenuto nell insieme dei numeri positivi, contiene un elemento del tipo r con r razionale. Basta infatti scegliere r (L (α), L (β)). Applicando la funzione crescente L alla disugualianza si ottiene allora L (α) < r < L (β), α < r < β. Dal fatto che ogni intervallo aperto contiene un razionale segue che due funzioni continue definite sui reali, che coincidono sui razionali, devono coincidere anche su gli altri reali (che possono invero essere approssimati dai razionali). coincidere con L Questo significa che se F coincide con L anche sugli altri reali. sui razionali, deve 3

4 Dal fatto che ogni intervallo aperto di numeri positivi contiene un numero del tipo r con r razionale, segue che due funzioni continue definite sui numeri positivi che coincidono sui numeri del tipo r devono coincidere anche su gli altri reali positivi (che possono essere approssimati da numeri del tipo r ). Per concludere, supposta vera l Ipotesi, possiamo dire che per ogni numero > esiste un unica funzione L che soddisfa alle condizioni dell Ipotesi e tale che L () =. Pure unica sarà la sua inversa L. Queste funzioni costituiscono estensioni continue, rispettivamente della funzione log x definita sui numero del tipo r con r Q e sui numeri razionali. Vogliamo ora mostrare che, sempre supponendo vera l Ipotesi, la nostra definizione di logaritmo ed esponenziale ci consente di calcolare due limiti notevoli, e precisamente: e x lim = e log( + x) lim = Utilizziamo qui la notazione usuale per il logaritmo naturale (se la ase non è indicata si assume che essa sia il numero di Nepero e) e per il suo inverso. Ricordiamo anche che e = lim n ( + n )n, ma, poiché la funzione t ( + t )t è crescente, risulta anche e == lim t + ( + t )t. Calcoliamo ora il secondo limite. Ponendo t = /x e utilizzando la continuità della funzione logaritmo, si conclude: log( + x) lim = lim t log( + /t) = lim log( + t + t + /t)t = log e =. Per calcolare il primo limite poniamo ora y = e x. Poiché e x è una funzione continua y tende a zero se x tende a zero pertanto, utilizzando il precedente risultato e x lim y = lim y 0 log( + y) =. Infine dovremmo chiederci se è proprio vera l Ipotesi. Non aiamo per ora strumenti semplici per dimostrarla. Al momento opportuno, però, la 4

5 dimostreremo esiendo esplicitamente una funzione che soddisfa l Ipotesi. Anticipiamo per ora, ad uso di chi già conosce il significato di un integrale, che la nostra funzione, con ase il numero di Nepero e sarà data dalla formula, valida per x > 0, L e (x) = x t dt. 5