Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

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1 Tutorato di Analisi - AA 04/5 Emanuele Fabbiani 7 febbraio 05 Serie di Potenze Per tutti gli esercizi che richiedono il calcolo di raggio e insieme di convergenza delle serie il procedimento è il medesimo. Per gli esempi viene utilizzata la serie (x + ) (.). Si opera una sostituzione in modo tale che la serie si presenti nella forma a y (.) Dove a è un coeciente che NON deve contenere la variabile della funzione x, ma SOLO l'indice della serie. Esempio: y x + (.3) (x + ) (y) (.4). Si utilizza il criterio del RAPPORTO o della RADICE per determinare il raggio di convergenza della serie. Esempio - criterio del RAPPORTO: a + ( + ) (.5) r (.6) 3. L'intervallo di convergenza rispetto alla variabile y contiene quindi l'insieme y < r, ovvero < y <. I criteri, tuttavia, non forniscono alcuna informazione sugli estremi dell'intervallo. Occorre quindi sostituirli nell'espressione iniziale e studiare le due serie numeriche risultanti. Se queste convergono, l'intervallo di convergenza della serie di potenze comprende anche gli estremi. Esempio: Per y () (.7) Converge perché è una serie armonica generalizzata α con α >. Quindi l'intervallo di convergenza diventa < y. Per y ( ) ( ) (.8) Converge per il criterio di Leibniz. Quindi l'intervallo di convergenza diventa y.

2 4. Si torna alla variabile iniziale x. Ricordando la sostituzione iniziale: y x + (.9) L'intervallo di convergenza diventa: y (.0) x + (.) x + 0 (.) NOTA: per applicare il criterio della radice è bene ricordare che, α R: α (.3) x +. Stima di raggio e insieme di convergenza Stabilire il raggio e l'insieme di convergenza delle seguenti serie di potenze.. Criterio del RAPPORTO: + (x + ) ( ) ( + ) a + y (x + ) (.4) + ( ) ( + ) y (.5) (+)+ (+ )(++) + ( )(+) + 3 ( ) ( + ) () ( + 3) (.6) r (.7) Quindi < y <. Per y + + ( ) ( + ) y ( ) ( + ) Si studia tramite il criterio del CONFRONTO ASINTOTICO: + ( ) ( + ) + + Diverge perché serie armonica. Per y + ( ) ( + ) y ( ) + ( ) ( + ) Converge per il criterio di LEIBNIZ (le condizioni sono vericate). Quindi l'intervallo denitivo per y è Tornando a x (.8) (.9) (.0) y < (.) (x + ) < (.) La condizione di sinistra è sempre vericata, per quanto riguarda quella di destra: (x + ) < (.3) < x + < (.4) < x + < (.5) 3 < x < (.6)

3 (x + ) ( ) ( + ) x + y (.7) Il raggio di convergenza è identico a quello della serie precedente r, come pure l'intervallo di convergenza rispetto a y: y <. Dierente è invece la sostituzione nale: y < (.8) x + < (.9) 3 x < (.30) + ( ) + x + ln Non è necessaria alcuna sostituzione. Dal momento che il numeratore assume due espressioni diverse a seconda del valore di, non è conveniente applicare il criterio del rapporto. Si impiega quindi il criterio della RADICE: a + ( ) + + ln + ( ) + (.3) + ln Per quanto riguarda il numeratore, a seconda del fatto che sia pari o dispari, si ha: { + ( ) dispari pari (.3) Si ricorda, infatti, che. Per il denominatore, si osserva che domina ln nella gerarchia degli inniti, quindi Si ha quindi + ln (.33) (.34) r (.35) Per quanto riguarda gli estremi, sia in x che in x si verica la condizione necessaria di convergenza. a { + ( ) + + ln +ln 0 dispari + +ln pari (.36) Un ite, se esiste, è unico: si conclude che il ite non esiste e che quindi la condizione necessaria non è soddisfatta. Similmente per x. L'intervallo di convergenza è quindi: < x < (.37) ( ) x! ( + )! ( x ) y (.38) ( )! ( + )! y (.39) 3

4 Con i fattoriali conviene sempre applicare il criterio del RAPPORTO: a + (+)!(+)!!(+)!! ( + ) ( + )!! ( + )! ( + )! ( + )! (.40) ( + ) ( + ) 0 r l + (.4) Quindi la serie converge y R e di conseguenza x R. 5. ln x Non è necessaria alcuna sostituzione. L'utilizzo del criterio della RADICE è suggerito dal all'esponente: a ln ln (.4) ln ln r (.43) Per ora è noto che l'intervallo di convergenza comprende l'insieme < x <. Occorre ora considerare gli estremi. Per x : ln x ln ( ) Converge perché serie armonica con α >. Per x : ln x ( ln ) ( ) ln ( ) ln ( ) ln (.44) (.45) Converge per il criterio di LEIBNIZ o per quello della CONVERGENZA ASSOLUTA. In denitiva, la serie converge per: x ( ) ln ( ) (.46) 6. ( + 6) (x ) x y (.47) ( + 6) y (.48) Si applica il criterio del RAPPORTO - ma anche quello della radice risulterebbe agevole: a + ( + + 6) ( + 6) (.49) r (.50) 4

5 Quindi l'intervallo di convergenza comprende l'insieme < y <. Per y : ( + 6) y Si verica la condizione necessaria di convergenza: Quindi la serie non converge. Per y : ( + 6) ( ) (.5) a ( + 6) ( ) non esiste (.5) ( + 6) y Si verica la condizione necessaria di convergenza: ( + 6) (.53) a ( + 6) + 0 (.54) Quindi, anche in questo caso, la serie non converge. L'intervallo calcolato rispetto a y risulta quindi essere: < y < (.55) Ritornando alla variabile x: < x < (.56) 7. + < x + < + (.57) < x < 3 (.58) ( ) 3 x + Non è necessaria alcuna sostituzione. Il fatto che l'intero coeciente della serie sia elevato alla potenza suggerisce l'utilizzo del criterio della RADICE: (3 a + ) (.59) r 3 (.60) L'intervallo di condenza comprende 3 < x < 3. Per x 3 : ( ) 3 x + Si verica la condizione necessaria di convergenza: a Quindi la serie non converge. Per x 3 : ( ) 3 x + ( ) ( 3 ( ) ( ) + 3) 3 (.6) ( ) Si verica la condizione necessaria di convergenza: a ( 3 + ( ) 3 non esiste (.6) ) ( ) 3 ( ) 3 (.63) ( ) 3 3 eln( 3+3 ) 3 ln( e 3+3 ) + (.64)

6 Per l'ultimo passaggio si ricorda che x supera ln x nella gerarchia degli inniti e che quindi x ln x +. Si noti inoltre che il criterio della radice per serie numeriche sarebbe stato qui inecace, in quanto a (.65) Non si sarebbe potuto concludere nulla sul carattere della serie. In denitiva, per x 3 converge. L'insieme di convergenza risulta quindi essere: 3 < x < 3 la serie non (.66) 8. Criterio del RAPPORTO: a ( ) ( x ) x y (.67) ( ) ( ) y y (.68) 0 ( + ) + ( + ) (.69) Criterio della RADICE: a r (.70) ( ) r Quindi l'intervallo di convergenza comprende l'insieme < y <. Per y : 0 ( ) y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 0 (.7) (.7) ( ) + Converge perché serie armonica generalizzata α con α >. Per y : 0 0 ( ) y ( ) () ( ) ( ) () ( ) 0 ( ) (.73) ( ) (.74) Converge per il criterio di LEIBNIZ (le ipotesi sono vericate). L'intervallo di convergenza rispetto a y è: Tornando a x: La condizione di sinistra è sempre vericata, quella di destra diventa: Che è l'intervallo di convergenza della serie. y (.75) x (.76) + x + + (.77) 0 x 4 (.78) x (.79) 6

7 . Esercizio tratto dal tema d'esame 6-Giu-00 Si consideri la serie di potenze Determinare:. Il raggio di convergenza r. Criterio del RAPPORTO: a e 3 (x ) + ++e + (+) 3 + +e e + ( + ) e (.80) Gli esponenziali dominano le potenze nella gerarchia degli inniti, quindi i termini che non sono moltiplicati per e x sono trascurabili. e ( ) e e ( 3 + ) e ( 3 + ) ( + ) 3 e e ( + ) 3 ( + ) 3 e (.8). L'intervallo di convergenza I. r e (.8) y x (.83) 0 Sicuramente I comprende e < y < e. Per y e : 0 Criterio del CONFRONTO ASINTOTICO: + e 3 + y (.84) + e + e e y 3 + e (.85) e (.86) Perché e 0 e è trascurabile rispetto a 3. La serie dunque converge perché serie armonica α con α >. Per y e : 0 + e + e 3 + y 3 + ( e) ( ) e (.87) Le ipotesi del criterio di LEIBNIZ sono rispettate, quini la serie converge. L'intervallo di condenza rispetto a y è: e y e (.88) Tornando a x: Quindi, utilizzando la scrittura per intervalli: e x e (.89) e + x + e + (.90) e + x e + (.9) I [ e + ; e + ] (.9) 3. f (), dove f (x) denota la somma della serie. Si osserva che il punto in cui occorre calcolare la derivata è proprio il centro x 0 della serie. Si può quindi utilizzare la formula: f () (x 0 )!a (.93) Quindi: f (3) () 3!a e ( 3 + e 3 ) (.94) 4 7

8 .3 Esercizio tratto dal tema d'esame 05-Lug-00 Si consideri la serie di potenze Determinare: ln ( (x ) ). Il raggio di convergenza r. Criterio del RAPPORTO: a + (+) ln(+) ln( ) ( + ) ln ( + ) ln ( ) Le potenze dominano i logaritmi nella gerarchia degli inniti, quindi questi ultimi sono trascurabili. (.95) ( + ) (.96). L'intervallo di convergenza I. Sicuramente I comprende < y <. Per y : ln ( ) y r (.97) y x (.98) ln ( ) y (.99) + ln ( ) ln () (.00) Criterio INTEGRALE: per accertarsi che la funzione f (x) x ln(x) sia decrescente nell'intervallo [; + ] si studia la sua derivata: f (x) ln x (x ln (x)) (.0) La funzione è decrescente in ln x < 0 (.0) ln x > (.03) x > e (.04) Quindi in tutto l'intervallo di integrazione. Si può ora risolvere l'integrale: ˆ + x ln (x) dx ˆ + x ln (x) dx [ln (ln x)]+ + (.05) La serie diverge, come l'integrale. Per y ln ( ) y ( ) + ln ( ) ( ) ln () (.06) Le ipotesi del criterio di LEIBNIZ sono vericate, quindi la serie converge. L'intervallo rispetto a y è quindi y < (.07) Tornando a x: Quindi, utilizzando la scrittura per intervalli: x < (.08) + x + < + (.09) 0 x < (.0) I [0; ) (.) 8