Serie numeriche. 1 Nozioni generali

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1 Serie numeriche Nozioni generali Con il concetto di serie si affronta il problema di dare un senso alla somma di infiniti addendi ordinati in successione. Data una successione (a k ) k N di numeri reali, si vuole dare un senso alla scrittura a k = a a k +... () che è detta serie numerica, mentre a k è detto termine generale della serie. Le serie si incontrano già alle scuole medie, pur senza formalizzarne la nozione, quando si osserva che alcune frazioni nel sistema decimale si rappresentano come numeri decimali illimitati periodici. Ad esempio, 3 = 0, 3 = 0, = n Le serie permettono di approssimare numeri notevoli come π: π 4 = = ( ) k 2k + Un altra motivazione importante per lo studio delle serie sono i risultati di Jean Baptiste Joseph Fourier, matematico e fisico vissuto a cavallo tra Settecento e Ottocento, sui moti periodici. In particolare, ogni moto periodico di periodo T (che sia rappresentato da una funzione abbastanza regolare, ad esempio di classe C ), si può ottenere come somma di infiniti moti armonici: f(t) = a 0 + k=0 (a k cos(kωt) + b k sin(kωt)), ω = 2π T. Allo scopo di dare un senso alla scrittura (), si considera per ogni n N la somma dei primi n addendi n s n = a k = a + a a n (2)

2 che è detta somma parziale ennesima o ridotta ennesima della serie (). In tal modo alla successione (a k ) k N resta associata la successione (s n ) n N delle somme parziali. E ragionevole interpretare la somma infinita () come il limite, se esiste, della successione delle somme parziali (s n ) n N. Definizione.. La serie () si dice convergente se converge la successione s n delle sue somme parziali (2). In tal caso, il numero reale s = lim n s n è detto somma della serie e si scrive a k = s. La serie () si dice divergente positivamente/negativamente se la successione delle sue somme parziali (2) diverge positivamente/negativamente e si scrive a k = + /. La serie () si dice indeterminata se la successione delle sue somme parziali (2) non è regolare (ovvero non ammette limite). Una serie ha dunque i seguenti possibili caratteri: convergenza, divergenza a +, divergenza a, indeterminazione. Esempio.2 (Serie geometrica). Dato α R, la serie α k = + α + α α k +... (3) k=0 è detta serie geometrica di ragione α. E di verifica immediatamente che s n ( α) = α n+. Se α si ricava allora mentre, se α =, s n = n +. Dalla formula (4), si ha che i) Se α < esiste lim n s n = α. ii) Se α esiste lim n s n = +. s n = αn+ α, (4) iii) Se α =, s n =, 0,, 0,... e la serie è indeterminata. iv) Se α <, lim n α n+ = +, quindi lim n s n = +, ma la successione s n alterna valori positivi e negativi, dunque la serie è indeterminata. Si osservi ad esempio che la sottosuccessione di indice dispari s 2n+ diverge a, mentre la sottosuccessione di indice pari s 2n diverge a +. Riassumendo, la serie geometrica converge (con somma α <. 2 α ) se e soltanto se

3 Come applicazione del precedente esempio, si può dimostrare la validità della regola per trovare la frazione generatrice di un numero avente rappresentazione decimale illimitata periodica. Sia r = a l a l...a, β...β s γ...γ k un numero decimale periodico. Si ha r = a la l...a, β...β s + γ...γ k + γ...γ k 0 s 0 s+k = a la l...a, β...β s + γ...γ k 0 s 0 s+k = a la l...a, β...β s + γ...γ k 0 s 0 s+k ( 0 k γ...γ k +... = s+2k 0s+nk ( ) k = 2k 0nk ) = a la l...a, β...β s + γ...γ k 0 s 0 s (0 k ) = = (0k )a l a l...a, β...β s + γ...γ k 0 s (0 k ) = a la l...a, β...β s γ...γ k a l a l...a, β...β s, dove nel denominatore dell ultima frazione la cifra 9 appare k volte e la cifra 0 appare s volte. La serie geometrica si può impiegare anche per dare soluzione al paradosso di Achille e la tartaruga proposto da Zenone. Esempio.3 (Serie armonica). k = (5) k Dato che gli addendi sono positivi, la successione delle ridotte s n è crescente, quindi esiste lim n s n = sup n N s n. Consideriamo le ridotte di indice potenza di 2: s 2 p = ( da cui ) ( ) ( p ) 2 p lim s 2 p + p = +. = > = + p 2, Dunque la successione s n è superiormente illimitata e quindi divergente a +. > 3

4 Esempio.4 (Serie di Mengoli). k(k + ) = (6) k (k + ) Si osservi che =, da cui k(k+) k k+ ) ) s n = ( 2 + ( 2 3 La serie di Mengoli è una serie telescopica. ( +... n ) = n + n + n + Teorema.5 (Criterio di convergenza di Cauchy). La serie () converge se e solo se per ogni ɛ > 0 esiste n N tale che per ogni n n e per ogni p N, p, si ha n+p k=n+ a k < ɛ Dimostrazione. Dal criterio di Cauchy per le successioni, si ha che s n converge se e solo se per ogni ɛ > 0 esiste n N tale che per ogni n, m n si ha s m s n < ɛ Essendo tale disuguaglianza banalmente vera per m = n, possiamo supporre ad esempio che sia m > n, quindi m = n + p, al variare di p N, p. La tesi segue allora dalle seguente riscrittura di s m s n n+p s m s n = s n+p s n = a k n a k = n+p k=n+ a k. Corollario.6 (Criterio necessario di convergenza). Se la serie () converge allora il suo termine generale è infinitesimo, ovvero lim = 0. Dimostrazione. Se () converge, allora vale il criterio di Cauchy. Si scelga in esso in particolare p = e si ottiene che per ogni ɛ > 0 esiste n N tale che per ogni n n si ha n+ k=n+ a k = a n+ < ɛ. 4

5 Osservazione.7. La condizione lim = 0 non è sufficiente per la convergenza: un controesempio è dato dalla serie armonica. Definizione.8. Una serie si dice a termini positivi se a k 0, per ogni k. La successione delle ridotte di una serie a termini positivi è crescente, quindi esiste lim n s n R {+ }. Vale perciò: AUT-AUT per le serie atermini positivi: una serie a termini positivi o converge o diverge positivamente Definizione.9. Una serie si dice assolutamente convergente se è convergente la serie dei suoi valori assoluti a k, si dice assolutamente divergente se è divergente la serie dei suoi valori assoluti. Proposizione.0. Una serie assolutamente convergente è convergente. Dimostrazione. Il criterio di Cauchy applicato alla serie dei valori assoluti assicura che ogni ɛ > 0 esiste n N tale che per ogni n n e per ogni p N, p, si ha Dalla disuguagianza triangolare segue allora la tesi. n+p k=n+ n+p k=n+ a k a k < ɛ. n+p k=n+ Osservazione.. Il viceversa non vale, cioè la convergenza di una serie non implica l assoluta convergenza: un controesempio è dato dalla seguente serie a k n n +... Indicata con s n la successione delle ridotte della serie data e con s n la successione delle ridotte della serie dei valori assoluti, si ha s n =, 0, 2, 0, 3, 0,... n, 0..., lim s n = 0, n ( s 2n = ), n lim s 2n = +. n 5

6 Osservazione.2. La serie dei valori assoluti di una serie data è a termini positivi, quindi per essa vale l aut-aut. Segue che una serie è o assolutamente convergente o assolutamente divergente. Definizione.3. Si dice serie resto di indice N della serie () la serie a N+ + a N a N+k +... che si ottiene trascurando i primi N termini di (). Proposizione.4. Ogni serie resto ha lo stesso carattere della serie data. Se la serie data è convergente con somma s, indicata con r (N) la somma della serie resto di indice N, si ha r (N) = s s N, lim N r(n) = 0. Dimostrazione. La ridotta ennesima della serie resto è ŝ n = s N+n s N, che ha lo stesso carattere di s n. Se poi lim n s n = s, allora r (N) = lim n ŝ n = lim n s N+n s N = s s N. Inoltre lim N r (N) = lim N s s N = 0. Osservazione.5. Segue dalla precedente proposizione che il carattere di una serie non cambia modificando, aggiungendo o togliendo un numero finito di suoi termini. Definizione.6. Date due serie a k, (7) b k, (8) si definisce serie somma di (7) e (8) la serie (a k + b k ) (9) che ha per termine generale la somma dei termini generali delle serie date. Proposizione.7. Se le serie (7) e (8) convergono con somme s e s rispettivamente, allora (9) converge con somma s + s. Se (7) e (8) divergono positivamente, allora (9) diverge positivamente. Se (7) diverge positivamente e la successione delle ridotte di (8) è limitata, allora (9) diverge positivamente. 6

7 Dimostrazione. La dimostrazione segue dalle proprietà del limite della somma di successioni. Definizione.8. Data una serie a k e una costante α R \ {0}, si definisce serie prodotto della serie data per la costante α la serie αa k. Le due serie hanno ovviametne lo stesso carattere e se a k = s, allora αa k = αs. Proprietà associativa. Data una serie a k = a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a a k +..., (0) sia k n una successione crescente di numeri naturali. Poniamo k b = a k, b 2 = e consideriamo la serie k 2 k=k + a k,... b n = k n k=k n + a k,... b k, () che è quindi ottenuta associando a piacere i termini della serie data (0). Proposizione.9. Se (0) converge o diverge, altrettanto fa (). Dimostrazione. La dimostrazione segue dal fatto che la successione s n delle ridotte di () è una sottosuccessione di quella delle ridotte della serie data (0) ( s = s k, s 2 = s k2,..., s n = s kn,...). Osservazione.20. Non vale il viceversa, ad esempio la serie a a+a a..., con a 0, è indeterminata, dato che s n = a, 0, a, 0,..., mentre la serie ottenuta associandone i termini a due a due (a a) + (a a)... ovviamente converge con somma 0. Se però la serie data è a termini positivi, allora sappiamo che s n è regolare, quindi se una qualunque sua serie associata converge o diverge, allora la serie data converge (con la stessa somma) o diverge dato che ogni sottosuccessione tende allo stesso limite della successione. Abbiamo già utilizzato questo principio nella dimostrazionde della divergenza della serie armonica. Si dice pure che le serie a termini positivi godono della proprietà associativa, dato che se ne può valutare carattere e somma associandone i termini a piacere. Se una qualunque serie associata della serie data è indeterminata, tale è anche la serie data (ragionare per assurdo). 7

8 2 Serie a termini positivi Il fatto che le serie a termini positivi abbiano la successione delle ridotte crescente, quindi regolare, è di grande utilità per stabilire criteri di convergenza o di divergenza. Inoltre se la proprietà a k 0 vale definitivamente, ovvero eventualmente escluso un numero finito di termini, la successione delle ridotte è definitivamente crescente, quindi regolare. Naturalmente le serie a termini negativi (definitivamente negativi) hanno la successione delle ridotte decrescente (definitivamente decrescente), dunque sono o convergenti o divergenti negativamente. Dunque i criteri per le serie a termini positivi sono validi (mutatis mutandis) per le serie a termini di segno definitivamente costante. Definizione 2.. Date due serie a k, (2) b k, (3) si dice che la serie (2) è minorante della serie (3) ((3) è maggiorante di (2)) se a k b k, k N. (4) Teorema 2.2 (Criterio del confronto). Date le serie (2), (3), sia 0 a k b k, k N. (5) Se (3) converge, allora (2) converge. Se (2) diverge, allora allora (3) diverge. Quindi se una serie a termini positivi converge, converge ogni sua minorante a termini positivi; se se una serie a termini positivi diverge, diverge ogni sua maggiorante. Dimostrazione. Siano s n, s n le successioni delle ridotte di (2), (3) rispettivamente. Vale ovviamente s n s n per ogni n N. Se s n converge, è superiormente limitata, quindi anche s n è superiormente limitata, ed essendo crescente è convergente. Se s n diverge, ovviamente diverge s n. 8

9 Teorema 2.3 (Criterio della radice). Sia a k, a k 0, una serie a termini positivi. i) Se esiste δ, 0 < δ <, tale che k a k δ definitivamente, allora la serie converge. ii) Se k a k per infiniti indici k, allora la serie diverge. Dimostrazione. Nel primo caso esiste k N tale che k a k δ per ogni k k. Dunque a k δ k per ogni k k. Quindi la serie resto di indice k è minorante della serie resto dello stesso indice della serie geometrica di ragione δ, che è convergente essendo 0 < δ <, e quindi converge per il criterio del confronto. Nel secondo caso, a k per infiniti indici e quindi a k non è infinitesima, violando il criterio necessario di convergenza. Quindi la serie, essendo a termini positivi, diverge. Osservazione 2.4. La condizione i) è equivalente a lim sup k <. Infatti se vale i), allora δ M, e quindi lim sup k = inf M δ <. Viceversa, se lim sup k <, scelto δ (lim sup k, ), per la prima proprietà caratteristica del massimo limite si ha che definitivamente k ak < δ. Se lim sup k >, per la seconda proprietà caratteristica del massimo limite si ha che k a k > per infinite indici, quindi vale ii). Da quanto osservato, si ha il seguente corollario, molto utile nello svolgimento degli esercizi. Corollario 2.5. Sia a k, a k 0, una serie a termini positivi. i) Se esiste lim k k a k <, allora la serie converge. ii) Se esiste lim k k a k >, allora la serie diverge. Osservazione 2.6. Se esiste lim k =, il criterio della radice non permette di stabilire il carattere della serie, come testimonia il fatto che la serie armonica e la serie di Mengoli, la prima divergente e la seconda convergente, verificano entrambe la condizione lim k =. Teorema 2.7 (Criterio del rapporto). Sia a k, a k > 0, una serie a termini positivi. i) Se esiste δ, 0 < δ <, tale che a k+ a k converge. δ definitivamente, allora la serie ii) Se a k+ a k definitivamente, allora la serie diverge. 9

10 Dimostrazione. Nel primo caso esiste k N tale che a k+ δa k per ogni k k. Dunque a k+p δ p a k per ogni p. Quindi la serie resto di indice k è minorante della serie prodotto di a k per la serie resto dello stesso indice della serie geometrica di ragione δ, con 0 < δ <, e quindi converge per il criterio del confronto. Nel secondo caso, a k+ a k a k > 0 per ogni k k e quindi a k non è infinitesima, violando il criterio necessario di convergenza. Quindi la serie, essendo a termini positivi, diverge. a Osservazione 2.8. La condizione i) è equivalente a lim sup k+ <. a Se lim inf k+ >, per la prima proprietà caratteristica del massimo limite si ha che a k+ a k > definitivamente, quindi vale ii). Da quanto osservato, si ha il seguente corollario, molto utile nello svolgimento degli esercizi. Corollario 2.9. Sia a k, a k > 0, una serie a termini positivi. i) Se esiste lim k a k+ a k ii) Se esiste lim k a k+ a k <, allora la serie converge. >, allora la serie diverge. a Osservazione 2.0. Se esiste lim k+ =, il criterio del rapporto non permette di stabilire il carattere della serie, come testimonia il fatto che la serie armonica e la serie di Mengoli, la prima divergente e la seconda a convergente, verificano entrambe la condizione lim k+ =. Osservazione 2.. Per una successione (a k ) k N, vale la seguente catena di disuguaglianze a k+ lim inf lim inf k ak lim sup k a k+ ak lim sup, k k da cui segue che il criterio della radice è in generale più forte di quello a del rapporto, dato che può accadere che lim sup k+, il che non permette di concludere che la serie converga, mentre lim sup k <, che garantisce la convergenza della serie; similmente può accadere che a lim inf k+, il che non permette di concludere che la serie diverga, mentre lim sup k >, che garantisce la divergenza della serie. Si consideri ad esempio la serie k + 3 k +... a Si ha lim inf k+ a = 0, lim sup k+ = +, da cui non si può stabilire il carattere della serie, mentre si ha invece lim sup k = 2, che garantisce la convergenza della serie. 0

11 a Se però esiste il limite lim k+, allora esiste anche lim k e i a due limiti sono uguali. Dunque se vale lim k+ =, è inutile fare ricorso al criterio della radice. Teorema 2.2 (Criterio della condensazione di Cantor). Sia a k (6) a k > 0, una serie a termini positivi, e sia a k decrescente. La serie (6) converge se e solo se converge la serie condensata 2 k a 2 k = a + 2a 2 + 4a k a 2 k +... (7) k=0 La serie (6) diverge se e solo se diverge (7). Dimostrazione. Consideriamo la serie ottenuta da (6) associando così i suoi termini a + (a 2 + a 3 ) + (a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) (a 2 k a 2 k ) +... (8) che, essendo la successione a k decrescente, è minorante di (7). Quindi se (7) converge, converge la sua minorante (8) per il criterio del confronto. Essendo la serie data (6) a termini positivi, per essa vale la proprietà associativa e quindi anch essa converge. Consideriamo ora la serie ottenuta associando i termini della serie resto di indice di (6) al seguente modo a 2 + (a 3 + a 4 ) + (a 5 + a 6 + a 7 + a 8 ) (a 2 k a 2 k) +... (9) che, essendo a k decrescente, è maggiorante della serie a 2 + 2a 4 + 4a k a 2 k +... (20) Se la serie data (6) converge, allora converge la serie (9), che è ottenuta associando i termini della sua serie resto di indice, quindi converge la sua minorante (20). Infine converge la serie prodotto 2 (20) che è la serie resto di indice della serie condensata (7), da cui la tesi. Esempio 2.3. La serie armonica generalizzata k s (2)

12 converge se s >, diverge se s. Osserviamo che se s = si ritrova la serie armonica, che sappiamo essere divergente. La serie condensata di (2) è k=0 2 k 2 ks = ( ) 2 s k k=0 che è la serie geometrica di ragione 2 s. Dato che 2 s < se e solo se s >, si ha la tesi. Si noti che per la serie armonica generalizzata i criteri della radice e del rapporto non danno informazioni utili, dato che lim k a k+ a k =. Teorema 2.4 (Criterio del confronto asintotico o dell ordine di infinitesimo). Siano a k, a k > 0, lim a k = 0, (22) k b k, b k > 0, lim k b k = 0, (23) due serie a termini positivi aventi termine generale infinitesimo. Se (22) converge e se b k è infinitesimo di ordine superiore o uguale ad a k, allora anche (23) converge. Se (22) diverge e se b k è infinitesimo di ordine inferiore o uguale ad a k, allora anche (23) diverge. Dimostrazione. Se b k è infinitesimo di ordine superiore o uguale ad a k, esistono M > 0 e k N, tale che b k Ma k per ogni k k. Applicando il criterio del confronto alle serie resto di indice k, si ha che la convergenza della prima serie implica la convergenza della seconda, La seconda parte dell enunciato segue dalla prima parte ragionando per assurdo. Corollario 2.5. Sia a k, a k > 0, lim a k = 0. (24) k Se esiste s > tale che ord(a k ) s, allora (24) converge. Se ord(a k ), allora (24) diverge. Dimostrazione. La tesi segue dal teorema 2.4 e dall esempio

13 Osservazione 2.6. Non è sufficiente la condizione ord(a k ) > per la convergenza della serie (24), come illustra il seguente esempio k log k in cui ord(a k ) >, eppure la serie diverge. Infatti il termine generale è decrescente e 2 k a 2 k = log 2 = k log 2 k per cui la serie diverge per il criterio di condensazione. Più in generale, la serie k(log k) s converge per s > e diverge per s. Teorema 2.7 (Criterio dell integrale). Sia f : [, + ) R una funzione continua, positiva e decrescente. Sia a k = f(k). La serie a k converge se e solo se f è a integrale convergente in [, + ) e, in tal caso, si ha + f(x)dx a k a + + f(x)dx (25) La serie a k diverge se e solo se f è a integrale divergente in [, + ). Dimostrazione. Dalla decrescenza di f si ha che per ogni x [k, k + ] Integrando in [k, k + ], si ha a k+ = f(k + ) f(x) f(k) = a k. a k+ k+ e sommando per k che varia da a n, k f(x)dx a k, ovvero n a k+ n+ f(x)dx s n+ a n+ n a k, f(x)dx s n. (26) 3

14 Dalla positività di f e dalla monotonia dell integrale, si ha che esiste il limite c lim c + f(x)dx R+ {+ }. Similmente, essendo la serie a termini positivi, la successione delle ridotte s n o converge o diverge a +. Se la serie converge, allora da (26) si ha che n+ f(x)dx è superiormente limitato e quindi f è a integrale convergente. Se f è a integrale convergente in [, + ), allora da (26) si ha che s n+ è superiormente limitata, quindi la serie converge. Passando al limite in (26) per n, si ha (25). La seconda parte dell enunciato segue dalla prima parte ragionando per assurdo. Osservazione 2.8. Naturalmente il criterio si applica a funzioni definite in semirette superiormente illimitate [n, + ). In particolare, permette di determinare il carattere della serie armonica generalizzata e della serie. k(log k) s 3 Serie a termini di segno misto Si è già osservato che i criteri per le serie a termini positivi sono applicabili alle serie definitivamente di segno costante (eventualmente passando alla serie opposta). Definiamo allora serie a termini di segno misto quelle in cui compaiono infiniti termini (strettamente) positivi e infiniti termini (strettamente) negativi. Si osservi che i criteri per le serie a termini positivi possono essere utili anche per stabilire il carattere delle serie a termini di segno misto. Infatti possono essere applicati alla serie dei valori assoluti: la sua eventuale convergenza garantisce la convergenza della serie data (vedi Proposizione.0). La divergenza della serie dei valori assoluti invece non implica la divergenza della serie data (vedi Osservazione.), ma se si prova che lim sup k k a k > a o che lim inf k+ > allora il termine generale ak non è infinitesimo (si vedano le rispettive dimostrazioni) e dunque si può affermare che la serie data non è convergente, potendo essere divergente o indeterminata. Definizione 3.. Una serie si dice semplicemente convergente se è convergente ma non è assolutamenteconvergente. 4

15 Una classe particolare di serie a termini di segno misto sono le serie a termini di segno alternato, che si possono rappresentare nella seguente forma ( ) k+ a k = a a 2 + a 3 a ( ) k+ a k..., a k 0, (27) Teorema 3.2 (Criterio di Leibniz). Sia (27) una serie a termini di segno alternato. Se a k è decrescente e infinitesima, allora (27) converge. Inoltre il valore assoluto dell errore che si compie assumendo come valore approssimante della somma s della serie una sua ridotta non supera il valore assoluto del primo termine trascurato, ovvero s n s a n+ per ogni n N. Dimostrazione. Consideriamo la sottosuccessione delle ridotte di indice pari s 2n = (a a 2 ) + (a 3 a 4 ) (a 2n a 2n ). Raccogliendo gli addendi come indicato sopra e tenuto conto della monotonia della successione a k, si ha che la successione s 2n è crescente e non negativa, ovvero 0 s 2n s 2n+2 per ogni n N. Consideriamo ora la sottosuccessione delle ridotte di indice dispari s 2n+ = a (a 2 a 3 ) (a 4 a 5 )... (a 2n a 2n+ ). Raccogliendo gli addendi come indicato sopra e tenuto conto della monotonia della successione a k, si ha che la successione s 2n+ è decrescente. Inoltre s 2n+ = s 2n + a 2n+, (28) da cui si ha che s 2n+ 0 per ogni n N. Quindi s 2n+, essendo decrescente e inferiormente limitata, converge al suo estremo inferiore. Sia s = lim n s 2n+. Da (28) e dal fatto che a k è infinitesima, si ha che anche s 2n converge a s. Dato che le sottosuccessioni delle ridotte di indice dispari e di indice pari convergono allo stesso limite s, l intera successione s n converge a s, ovvero la serie converge con somma s. Come visto, la sottusuccessione di indice pari converge crescendo a s, mentre la sottusuccessione di indice dispari vi converge decrescendo, quindi Scegliendo m = n in (29) si ha s 2n s s 2m+, n, m N. (29) 0 s s 2n s 2n+ s 2n = a 2n+, (30) 5

16 e scegliendo n = m + in (29) si ha 0 s 2m+ s s 2m+ s 2m+2 = a 2m+2. (3) Da (30) e (3) segue che l errore in valore assoluto è maggiorato dal primo termine trascurato nella sommatoria. Inoltre le ridotte di indice pari forniscono approssimazioni per difetto, quelle di indice dispari approssimazioni per eccesso. Esempio 3.3. La serie ( ) k+ k = è detta serie armonica a segni alternati. E convergente peri il criterio di Leibniz, dunque è semplicemente convergente, dato che la serie dei valori assoluti è la serie armonica. Definizione 3.4. Date due serie a k, (32) b k, (33) si dice serie incastro di (32) e (33) ogni serie che si ottenga intercalando a piacere i termini delle due serie, purchè compaiano tutti, una e una sola volta, e nello stesso ordine in cui compariono nelle rispettive serie. Ad esempio a + a 2 + b + a 3 + a 4 + b 2 + a 5 + b 3 + b 4 + a (34) Proposizione 3.5. Se le serie (32) e (33) convergono con somme s e s rispettivamente, ogni loro serie incastro converge con somma s + s. Se (32) e (33) divergono entrambe positivamente/entrambe negativamente, allora ogni loro serie incastro diverge positivamente/negativamente. Se (32) diverge positivamente/negativamente e la successione delle ridotte di (33) è limitata, allora ogni loro serie incastro diverge positivamente/negativamente. Dimostrazione. Data una serie incastro (34), consideriamo le serie diluite con zeri nel modo seguente a + a a 3 + a a a (35) 6

17 b b b 3 + b (36) la prima delle quali si ottiene sostituendo nella serie incastro i termini provenienti dalla serie (33) con degli zeri, la seconda similmente sostituendo nella serie incastro i termini provenienti dalla serie (32) con degli zeri. Le serie (35) così ottenuta ha lo stesso carattere e la stessa eventuale somma delle serie (32), in quanto la successione delle sue ridotte assume gli stessi valori di quella delle ridotte di (32), con l unica differenza che tali valori vengono in alcuni casi ripetuti consecutivamente un numero finito di volte. Similmente la serie (36) ha lo stesso carattere e la stessa eventuale somma delle serie (33). Ora, la serie incastro (34) è la serie somma delle serie (35) e (36). La tesi segue allora dalla Proposizione.7. siano Data una serie a termini di segno misto a k = a + a a k +..., (37) b k = b + b b k +..., b k 0 (38) c k = c + c c k +..., c k < 0 (39) le serie formate rispettivamente con i termini positivi o nulli e con i termini negativi della serie (37), nell ordine in cui vi compaiono. Consideriamo inoltre la serie dei valori assoluti a k = a + a a k +... (40) Proposizione 3.6. Se le serie (38) e (39) convergono con somme s e s rispettivamente, allora (37) converge con somma s + s e inoltre converge (40), ovvero la serie (37) converge assolutamente. Viceversa se (37) converge assolutamente, allora (38) e (39) convergono. Se delle (38) e (39), una diverge e l altra converge, allora (37) diverge. Dimostrazione. La serie (37) è serie incastro di (38) e (39), quindi se (38) e (39) convergono con somme s e s, allora (37) con somma s + s. L opposta di (39) converge con somma s e quindi (40), che è serie incastro di (38) e (39) converge con somma s s. Viceversa, se (40) converge, allora converge la sua minorante ottenuta sostituendo con 0 i termini a k provenienti dalla serie (39) (cioè i termini 7

18 negativi di (37)). Dato che tale serie è una serie diluita con zeri della (38), converge pure la (38). Similmente, converge la (39), dunque anche la (39). Se delle (38) e (39), una diverge e l altra converge, allora (37) diverge in quanto incastro di (38) e (39). Corollario 3.7. Se (37) è semplicemente convergente o indeterminata, allora le serie (38) e (39) sono entrambe divergenti. Dimostrazione. Se, per assurdo, non fossero entrambe divergenti, essendo serie a termini di segno costante sarebbero o entrambe convergenti (ma in tal caso la serie (37) sarebbe assolutamente convergente per la Proposizione 3.6) o una convergente e l altra divergente (ma in tal caso, sempre per la proposizione 3.6, la serie (37) sarebbe divergente). Osservazione 3.8. Il Corollario 3.7 permette di provare la divergenza di talune serie. Ad esempio, dato che la serie armonica a segni alternati è semplicemente convergente, si ha che le serie dei reciproci dei numeri pari e quella dei reciproci dei numeri dispari sono entrambe divergenti. Se (38) e (39) divergono entrambe, (40) diverge, e la serie (37) può essere divergente, semplicemente convergente o indeterminata. Esempi: La serie armonica a segni alternati è semplicemente convergente La serie k k +... avente termine generale a 2k =, a k 2k+ = 2, è divergente a +. k+ Infatti, indicata con s n la successione delle ridotte della serie data, si ha s 2n = n + n + s 2n+ = s 2n + 2 n + s 2n + n + quindi esiste il limite lim n + s n = + Si noti che la serie dei termini positivi è il prodotto della costante 2 per la serie armonica, quindi diverge; la serie dei termini negativi è il prodotto della costante per la serie armonica, quindi diverge. La serie a a + a a a a +..., con a 0, è indeterminata. 8

19 Definizione 3.9. Una funzione biunivoca ϕ : N N è detta permutazione di N. Al posto di ϕ(n), scriveremo i n. Definizione 3.0. Data una serie a k, (4) diremo serie permutata di (4) ogni serie del tipo a ik = a i + a i a ik +..., (42) dove (i k ) k N è una permutazione di N. Definizione 3.. Una serie convergente si dice permutabile (o che gode della proprietà commutativa) se ogni sua serie permutata converge, con la stessa somma. Teorema 3.2. Ogni serie a termini positivi convergente è permutabile. Dimostrazione. Siano s n la successione delle ridotte di (4) e s n la successione delle ridotte di (42). Per ogni n N, sia m(n) = max{i, i 2,...i n }. Poichè (4) è a termini positivi, s n s m(n) s = a k, quindi la successione s n è superiormente limitata e crescente, quindi convergente e s = a i k = lim n s n s. Considerando (4) come serie permutata di (42), si ha che s s, da cui s = s. Osservazione 3.3. Il teorema si estende alle serie a termini definitivamente di segno costante. Supponiamo ad esempio che la serie (4) sia a termini definitivamente positivi, e sia (42) una sua serie permutata. Si considerino le due serie ottenute da (4) e (42) eliminando i termini negativi (in numero finito) la cui somma indichiamo con σ. Allora le due nuove serie sono a termini positivi e una permutata dell altra e ad esse perciò si applica il Teorema 3.2. Quindi la serie (4) converge con somma s se e solo se la serie da essa ottenuta privandola dei termini negativi converge con somma s σ, il che avviene se e solo la serie ottenuta privando (42) dei termini negativi converge con somma s σ, il che è equivalente alla convergenza di (42) con somma s. Teorema 3.4. Ogni serie assolutamente convergente è permutabile. Dimostrazione. in base al Teorema 3.2 e all Osservazione 3.3, rimane da considerare solo il caso in cui la serie (4) sia di segno misto. Sia a k = a + a a k +... (43) 9

20 la serie data, convergente con somma s, e sia a ik = a i + a i a ik +... (44) una sua qualunque serie permutata. Siano ancora b k = b + b b k +..., b k 0 (45) c k = c + c c k +..., c k < 0 (46) le serie formate rispettivamente con i termini positivi o nulli e con i termini negativi della serie (43), nell ordine in cui vi compaiono, e similmente b k = b + b b k +..., b k 0 (47) c k = c + c c k +..., c k < 0 (48) le serie formate rispettivamente con i termini positivi o nulli e con i termini negativi della serie (44), nell ordine in cui vi compaiono. Dato che (43) è assolutamente convergente, (45) e (46) convergono con somme s e s rispettivamente, tali che s + s = s. La serie (47) è permutata di (45) e la serie (48) è permutata di (46); trattandosi di serie a termini di segno costante, esse convergono con somma s e s rispettivamente, quindi (44) converge con somma s + s = s. Teorema 3.5 (Teorema di Riemann). Ogni serie semlicemente convergente ammette permutazioni che ne modificano a piacere il carattere e la somma, ovvero ammette permutazioni che sono: i) serie convergenti con somma prefissata a piacere; ii) serie divergenti a + o a ; iii) serie indeterminate. 20

21 Dimostrazione. Sia a k = a + a a k +... (49) la serie data, e siano b k = b + b b k +..., b k 0 (50) c k = c + c c k +..., c k < 0 (5) le serie formate rispettivamente con i termini positivi o nulli e con i termini negativi della serie (49), nell ordine in cui vi compaiono. E utile ricordare che, in base al Corollario 3.7, (50) diverge a +, come pure ogni sua serie resto e similmente (5) diverge a, come pure ogni sua serie resto. Inoltre, per il criterio necessario di convergenza, a k è infinitesima, quindi lo sono pure b k e c k. Caso i). Scelto un qualunque numero reale σ, andiamo a costruire una serie incastro di (50) e (5), che sarà perciò una permutazione di (49), che converga con somma σ. Scegliamo b come primo termine della serie. Se b σ, proseguiamo sommando b 2 ; se invece b > σ, proseguiamo sommando c, e così via: se la ridotta τ n della serie che stiamo costruendo verifica τ n σ sommiamo il primo termine di (50) non ancora inserito; se invece τ n > σ sommiamo il primo termine di (5) non ancora inserito. In tal modo la serie risulta costituita da blocchi di termini della serie (50) e (5). Non può accadere che da un certo indice in poi tutti i termini provengano da (50) perchè, essendo ogni serie resto di (50) divergente a +, un numero finito di essi basta a far sì che la ridotta superi σ, dopo di che si deve inserire un termine di (5). Similmente, non può accadere che da un certo indice in poi tutti i termini provengano da (5). Questo garantisce che la serie costruita è una serie incastro di (50) e (5). Indichiamo con d k il tremine generale della serie costruita in tal modo. Essendo b k e c k infinitesime, si ha che per ogni ɛ > 0, esiste n N tale che d n < ɛ per ogni n n. Consideriamo τ n. Se τ n σ, esiste un primo valore di p N, p, tale che τ n+p > σ. Si ha allora che σ < τ n+p = τ n+p + d n+p < σ + ɛ, dato che τ n+p σ e d n+p < ɛ. 2

22 In base alla regola di costruzione adottata, si ha che ɛ < d n+p+ < 0, dunque σ ɛ < τ n+p+ < σ + ɛ, ovvero τ n+p+ σ < ɛ. Distinguiamo due casi: σ < τ n+p+ < σ + ɛ oppure σ ɛ < τ n+p+ σ. Nel primo caso, valgono per τ n+p+ le stesse disuguaglianze valide per τ n+p e quindi lo stesso argomento implica che σ ɛ < τ n+p+2 < σ + ɛ. Nel secondo caso, 0 < d n+p+2 < ɛ, dunque σ ɛ < τ n+p+2 < σ + ɛ. Quindi in entrambi i casi si giunge a τ n+p+2 σ < ɛ. La dimostrazione si ripete identica ad ogni successivo passo. Se si verificasse il caso τ n > σ, si procederebbe in modo analogo individuando il primo p N tale che τ n+p σ. Caso ii). Costruiamo per esempio una serie permutata divergente positivamente. Come primo passo, sommiamo i termini di (50) nell ordine in cui compaiono, quanti ne bastano per superare c, poi sommiamo c, ottenendo una somma parziale maggiore di. Come secondo passo, sommiamo i successivi termini di (50) nell ordine in cui compaiono, quanti ne bastano per superare 2 c 2, poi sommiamo c 2, ottenendo una somma parziale maggiore di 2, e così via. In tal modo si costruisce una serie incastro di (50) e (5), nella quale i termini di (5) compaiono rarefatti, ma compaiono tutti. Fissato un qualunque m N, la ridotta ottenuta dopo il passo m-esimo è maggiore di m e così pure tutte le successive. Dunque la serie diverge a +. Cso iii). Siano λ, µ R, con λ < µ. Iniziamo sommando tanti termini di (50) quanti bastano per avere una somma superiore a µ, proseguiamo sommando tanti termini di (5) quanti bastano per avere una somma inferiore a λ, e così via. Dato che le serie (50) e (5) divergono a + e rispettivamente, si ottiene in tal modo una serie incastro di (50) e (5) le cui somme parziali oscillano indefinitamente tra valori superiori a µ e valori inferiori a λ, quindi la successione delle somme parziali non verifica il criterio di convergenza di Cauchy e dunque non ammette limite, ovvero la serie è indeterminata. 22