1 Introduzione all operatore di Laplace.

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1 CORSO DI ANALISI IN PIÙ VARIABILI II CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA L OPERATORE DI LAPLACE 1 Introduzione all operatore di Laplace. Diamo un esempio di un problema di fisica matematica la cui equazione si esprime mediante l operatore di Laplace. L esempio deriva dalla cinematica dei fluidi incompressibili. Se v è il vettore velocità di un moto fluido, il vettore w 1 rotv 1 ) è legato alla rotazione delle particelle fluide e ne rappresenta la velocità angolare w. Se rotw il moto si chiama irrotazionale non vorticoso); allora esiste un funzionale ϕ detto potenziale della velocità, di cui v è il gradiente se il dominio è semplicemente connesso) cioè v gradϕ. Quindi l equazione della continuità che fornisce divv, ci dà div gradϕ, ovvero ϕ. OSSERVAZIONE 1. Nella cinematica dei mezzi continui si deve tradurre in equazioni la condizione di conservazione della materia che deve essere soddisfatta nel moto di ogni mezzo continuo. Ovvero l aumento nell unità di tempo della massa contenuta in uno spazio dato deve essere sempre uguale alla massa che nello stesso tempo entra in esso. L equazione della continuità dal punto di vista euleriano) si esprime nella forma ρ t + divρv), 1) dove ad esempio ρ può essere la densità del fluido e v la velocità della particella che attraversa l elemento di superficie. Il termine divergenza deriva dal fatto che nel caso di fluidi di densità unitaria div dx rappresenta la quantità di fluido uscente per unità di tempo dall elemento di volume dx e quindi div v rappresenta la quantità di fluido che esce diverge) dall unità di volume nell unità di tempo secondo l equazione ρv ν) dσ divρ v) dx, ) Ω essendo Ω un corpo di frontiera Ω, con ν normale esterna a Ω. Inoltre, poiché divρv ρdivv + v gradρ, se il fluido è incompressibile e omogeneo), nell equazione 1) la densità è costante e quindi l equazione della continuità diventa 1 Ovvero il vettore di componenti w 1 Ω divv. v3 y v z, v 1 z v 3 x, v x v ) 1, y dove vx, y, z) v 1 x, y, z), v x, y, z), v 3 x, y, z)) e 1 v 1 x, y, z) + e v x, y, z) + e 3 v 3 x, y, z)). Osserviamo che rotv si può determinare formalmente calcolando il seguente determinante e 1 e e 3 det x y z. v 1 v v 3 1

2 Si parla in questo caso di campi vettoriali a divergenza nulla che sono caratterizzati dal fatto che il flusso uscente da un qualunque porzione Ω di spazio finito sia nullo. Questo campi si chiamano campi solenoidali dal greco σωλὴν tubo). Infatti questi campi, considerando le linee di flusso uscenti dai punti di una linea chiusa, costituiscono una superficie tubolare detta tubo di flusso. Fissate due sezioni trasversali con le normali orientate in versi corrispondenti, se il campo è solenoidale, il flusso attraverso le sezioni è lo stesso flusso del vettore ρv attraverso la superficie Σ ed è ρv ν) dσ. 3) OSSERVAZIONE. Ω Dal punto di vista matematico dire che rotv equivale a dire che il campo dei vettori v verifica la condizione delle derivate in croce relativa alla forma differenziale ω v 1 dx + v dy + v 3 dz. Se il dominio è semplicemente connesso è noto che esiste una funzione ϕ tale che L equazione di Laplace. v 1,v,v 3 ) gradϕ. Consideriamo l equazione div gradu, che nel caso n si può scrivere u u x + u y equazione di Laplace). Le funzioni che risolvono u si chiamano funzioni armoniche. Consideriamo il seguente problema problema di Dirichlet) ux, y) u, y) u1, y) ux, ) ux, 1) fx) 4) dove x,y) Q {x,y) : x 1, y 1}. Cerchiamo una soluzione mediante il metodo di separazione delle variabili, ovvero cerchiamo una soluzione del tipo che sostituita in 4) fornisce per ogni x,y) Q : ux,y) Xx) Y y), 5) X x)y y) + Xx)Y y). 6) Cerchiamo ora una soluzione non nulla del problema seguente relativo ad una equazione ordinaria del secondo ordine X x) λxx) X) 7) X1).

3 Tenuto conto di 6) si ottiene Y y) + λy y) Y ) 8) Y 1) fx) Prima di risolvere questi problemi determiniamo il segno del parametro λ. Dall equazione di 7), moltiplicando per Xx) si ha ovvero integrando tra e 1, tenuto conto delle condizioni iniziali X x)xx) λx x), 9) d dx [X x)xx)] [X x)] λx x), 1) X x)x1) X )X) [X x)] dx λ [Xx)] dx da cui si deduce che deve essere λ <. L insieme delle soluzioni è dato da [X x)] dx λ [Xx)] dx, ux,y) Xx)Y y) c 1 e λx + c e λx ) c 3 e λy + c 4 e λy ) c 1 cos λx + c sin ) λx c 3 e ) λy + c 4 e λy. Imponendo le condizioni al contorno per Xx) si ha c 1 cos λ + c sin λ c 1 + c, e quindi c sin λ, ovvero λ nπ λ n π, n N \ {}. Quindi le soluzioni sono X n x) c sinnπ x. Per quanto riguarda il problema 8), dato che Y y) c 3 e λy + c 4 e λy, ponendo Y ) si ha c 3 + c 4 e quindi e nπy e nπy ) Y n x) c 3 Consideriamo ora l ultima condizione al bordo c 3 y. ux,1) Xx)Y 1) fx). 3

4 Se f è del tipo prendendo si ha che ux,y) fx) N α n sin nπ x, A n α n N A n sin nπ x y è la soluzione cercata. Che succede se f non è del tipo visto sopra? La soluzione fu proposta da Fourier, affermando che ogni funzione può essere rappresentata come una serie infinita di funzioni trigonometriche ad esempio in seni) ) fx) α n sin nπ x, dove α n si calcola come segue α n fx) sin nπ x dx. Quindi possiamo scrivere la soluzione del problema 4) come segue ux,y) dove A n α n A questo punto è naturale porsi le seguenti domande: 1. dove converge la serie 11)?. u è derivabile volte? 3. u soddisfa il problema di Dirichlet? 4. u soddisfa le condizioni al bordo? 5. il metodo seguito per determinare una soluzione è l unico possibile? 6. la soluzione trovata è l unica? A n sin nπ x y 11) Iniziamo rispondendo alla domanda 6). Per assurdo, se esistessero due soluzioni del problema 4) allora la loro differenza risolverebbe il problema [ux,y) vx,y)] u,y) v,y) u1,y) v1,y) ux,) vx,) ux,1) vx,1). Si osservi che le funzioni {sin nπ x} n N sono ortonormali su [, 1]. 4

5 Moltiplicando l equazione per u v e integrando su Q si ha da cui u v) 1 x u v)dx dy + u v) y u v)dx dy, [ ] u v) dx dy + x [ ] u v) dx dy, ovvero grad u v) in Q, e quindi u v cost. Essendo u v su Q si ha che u v. Una risposta a 1) è possibile darla se mettiamo qualche ipotesi supplementare su f ad esempio, se f è sviluppabile in serie di Fourier su [,1], è sufficiente porre f C 1 [,1]), allora y Inoltre perché lim n + sup Q i1 α n < +. A n sinnπx) e n+1)πy e n+1)πy e n+1)π e n+1)π e nπy e nπy e nπ e nπ + α n ) 1 + lim n + [ sup Q e n+1)πy e n+1)π e nπy e nπ α n sup Q sinhnπ) ] ) 1 sinh hπ ) lim n + < +, e πy e π eπy 1) < 1, per < y < 1. Posto Q 1 {x,y) : x 1, y y < 1}, la serie di Fourier converge su Q 1. Analogamente derivando ux,y) x Ragionando come sopra + u x A n nπ cos nπ x) y. sup A n nπ cosnπx) αn Q 1 n + 1 lim n + n sinhn+1)πy sinhn+1)π y sup nπ ) Q sinhnπ) lim ) e πy 1) < 1, n + n per y < 1. Analogo discorso per le altre derivate prime e seconde. Poiché la serie delle derivate converge totalmente e quindi uniformemente su Q 1, se ne deduce che le derivate della serie coincidono con la serie delle derivate su Q 1. Possiamo quindi calcolare su Q 1 u [A n sinnπx ]. 5

6 Resta da controllare se u verifica le condizioni al bordo. Ovviamente u,y) u1,y) ux,), in quanto la serie 11) converge uniformemente su Q 1. Il problema è stabilire se ux,1) fx). Per fare questo dobbiamo verificare la convergenza uniforme su Q. A tale scopo utilizziamo il seguente test di Abel della convergenza uniforme: La serie 1. a n y)b n y) converge uniformemente sul dominio D se sono verificate le condizioni a n y) converge uniformemente su D;. la successione di funzioni {b n y)} n N è uniformemente limitata su D; 3. per ogni y D la successione {b n y)} n N è monotona. Nella serie 11) prendiamo Risulta 1.. a n y) α n sin nπx, costante in y, b n y) α n sin nπx converge uniformemente per ogni y [,1] è costante in y); 3. la successione 1, per ogni y [,1]; { } è monotona decrescente per ogni valore di y [,1], ovvero n N I punti 1. e. sono ovvi. Dimostriamo 3. Dimostrare equivale a dimostrare Da cui e nπy e nπy e nπ e nπ sinhn + 1)πy sinh n + 1)π. sinhn + 1)πy sinhn + 1)π en+1)πy e n+1)πy e n+1)π e n+1)π. e πy e nπy 1 e n+1)πy 1 e nπ 1 eπ e n+1)π 1. Posto a n e t πy, consideriamo la funzione φt) e t e at 1 e a+)t 1, dimostriamo che è decrescente per t > determinando il segno della sua derivata prima. φ t) e t { 1 e a+)t + a + 1) [e a+)t e at]} e a+)t 1) 6

7 Determinare il segno di φ equivale a determinare il segno della funzione { ψt) 1 e a+)t + a + 1) [e a+)t e at]} Calcoliamo la sua derivata prima: [ ] ψ t) e at a + )e a+)t + a + 1)a + )e t a + 1)a. Anche di questa dobbiamo determinare il segno considerando la funzione e quindi σt) a + )e a+)t + a + 1)a + )e t a + 1)a, σ t) e t a + )a + ) [ 1 e at]. Ovviamente, essendo a >, e t >, risulta σ t) <, e poiché σ) si ha σt) <. Allora ψ t) < per ogni t >. Osserviamo anche che ψ), per cui si deduce che, per ogni t >, ψt) <, cioé φ t) <. Che è quanto volevamo dimostrare. 7