Analisi Matematica 2. Michele Campiti. Prove scritte di. Ingegneria Industriale a.a

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1 Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica 2 Ingegneria Industriale a.a Grafico della funzione f(x, y) := sin(2x 2 y) cos(x 2y 2 ) in [ π/2, π/2] 2 Raccolta delle tracce di Analisi Matematica 2 per Ingegneria classe Industriale Facoltà di Ingegneria, Università del Salento

2 1 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Prima prova di esonero di Analisi Matematica II 11 gennaio 2010, traccia A 1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni: f n (x) = n sin x n. 2. Scrivere i coefficienti di Fourier della seguente funzione e dire se essa è sviluppabile in serie di Fourier: f(x) = x sin x, π < x π ed estesa per periodicità all esterno dell intervallo ] π, π]. 3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione f(x, y) = (x y) 2 (y 1) 2. Studiare il massimo e il minimo assoluto di f anche nel triangolo di vertici (0, 0), (0, 1) e (1, 1) giustificandone l esistenza. 4. Rispondere alle seguenti domande teoriche: a) Definizione e proprietà del raggio di convergenza di una serie di potenze. b) Definizione di derivata direzionale. Relazioni con la differenziabilità ed espressione del differenziale.

3 2 Cenni sulla soluzione Prima prova di esonero di Analisi Matematica II 11 gennaio 2010, traccia A 1. Per ogni x R risulta lim n sin x n + n = lim x sin x n n + x n = x e quindi la successione di funzioni converge puntualmente verso f(x) = x in tutto R. Inoltre, considerata la funzione φ n (x) = n sin x n x, risulta φ n(x) = cos x n 1 e tale derivata si annulla nei punti 2knπ con k Z; in tali punti risulta 2knπ n sin n 2knπ = 2knπ e quindi la convergenza non può essere uniforme in tutto R. Considerato un intervallo [ a, a] si ha, per ogni x [ a, a], φ n (x) = n sin x ( sin x n x = n x x n ) 1 a x2 6n 2 a3 6n 2 e quindi la successione converge uniformemente in ogni intervallo limitato. 2. La funzione è regolare a tratti (la derivata presenta discontinuità di prima specie solo nei punti kπ con k Z) e quindi è sviluppabile in serie di Fourier. Inoltre f è dispari e quindi è sviluppabile in serie di soli seni. Allora, per ogni n N, si ha a n = 0 e, per ogni n 1, utilizzando la regola di integrazione per parti e le formule di prostaferesi b n = 2 { π 0, n dispari, x sin x sin nx dx = π 0 8n, n pari. π(n 2 1) 2 3. Si lascia per esercizio.

4 3 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Prima prova di esonero di Analisi Matematica II 11 gennaio 2010, traccia B 1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni: ( f n (x) = n 2 1 cos x ). n 2. Scrivere i coefficienti di Fourier della seguente funzione e dire se essa è sviluppabile in serie di Fourier: f(x) = x cos x, π < x π ed estesa per periodicità all esterno dell intervallo ] π, π]. 3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione f(x, y) = (x 1) 2 (x y) 2. Studiare il massimo e il minimo assoluto di f anche nel triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (1, 1) giustificandone l esistenza. 4. Rispondere alle seguenti domande teoriche: a) Definizione di differenziabilità e teorema del differenziale totale. b) Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor.

5 4 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica II 11 gennaio Studiare la seguente serie di potenze: + n=0 n sin n x, e calcolarne la somma nell insieme di convergenza. 2. Calcolare il seguente integrale doppio: xy (x 2 + y 2 dx dy ) 3 D dove D è la parte la corona circolare di centro l origine e raggi 1 e 2 compresa nel secondo quadrante. 3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione f(x, y) = (x 1) 2 (x y) 2. Studiare il massimo e il minimo assoluto di f anche nel triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (1, 1) giustificandone l esistenza. 4. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy y y = x e x, y(0) = 1, y (0) = 0.

6 5 Facoltà di Ingegneria, Lecce Prova scritta di Analisi Matematica II 12 gennaio Studiare la seguente serie di potenze: + n=1 (cos x + sin x) n n 2 n/2, e calcolarne la somma nell insieme di convergenza. 2. Calcolare il seguente integrale doppio: x 2 log(1 + x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 dx dy D dove D è la parte di corona circolare di raggi 1 e 2 compresa nel primo quadrante e delimitata dalle rette di equazione y = 3 3 x, y = 3 x. 3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione f(x, y) = xy(x 1) (y 1) 2. Studiare il massimo e il minimo assoluto di f anche nel quadrato di vertici (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1), giustificandone l esistenza.

7 6 Facoltà di Ingegneria, Lecce Prima prova di esonero di Analisi Matematica II 15 gennaio 2010, traccia A 1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente serie di funzioni: + n sin x n 3. n=1 2. Scrivere i coefficienti di Fourier della seguente funzione e dire se essa è sviluppabile in serie di Fourier: { cos x, 0 x π, f(x) = cos x, π < x < 0, ed estesa per periodicità all esterno dell intervallo ] π, π]. 3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione f(x, y) = (y 2 x) 2 (x y) 2. Studiare il massimo e il minimo assoluto di f anche nell insieme limitato delimitato dall arco di parabola di equazione x = y 2 con 1 y 1 e dal segmento S[(1, 1), (1, 1)], giustificandone l esistenza. 4. Rispondere alle seguenti domande teoriche: a) Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata per le successioni di funzioni. b) Differenziale delle funzioni vettoriali, matrice jacobiana e teorema di differenziabilità delle funzioni vettoriali composte.

8 7 Cenni sulla soluzione della Prima prova di esonero di Analisi Matematica II 15 gennaio 2010, traccia A 1. Si fissi x R. Poiché il termine sin x n 3 è un infinitesimo di ordine 3, il termine generale f n (x) della serie risulta essere un infinitesimo di ordine 2 e quindi la serie converge assolutamente puntualmente in ogni x R. Inoltre si ha f n(x) = cos(x/n 3 )/n 2 e tale derivata si annulla nei punti n 3 (π/2 + kπ) con k Z; in tali punti risulta f n (n 3 (π/2 + kπ)) = n e ciò esclude la convergenza totale in tutto R. Infine, fissato un intervallo [ a, a] con a > 0, risulta f n (x) = n sin x x n n 3 n 3 a n 2, e poiché la serie + n=1 a/n2 è convergente, dal criterio di Weierstrass segue la totale e quindi l uniforme convergenza della serie in [ a, a]. 2. La funzione è regolare a tratti (la derivata presenta discontinuità di prima specie solo nei punti kπ con k Z) e quindi è sviluppabile in serie di Fourier. Inoltre f è dispari e quindi è sviluppabile in serie di soli seni. Allora, per ogni n N, si ha a n = 0 e, per ogni n 1, utilizzando le formule di prostaferesi b n = 2 π π 0 π cos x sin nx dx = 2 (sin((n + 1)x) + sin(n 1)x) dx 2π 0 = 1 ( ) cos(n + 1)x cos(n 1)x + π n + 1 n 1 0, n dispari, = ( ) 2 1 π n n 1, n pari. 3. La funzione è differenziabile in tutto R 2 e quindi i punti di massimo e minimo relativo sono anche punti stazionari per f. Annullando le derivate parziali si ottiene il sistema { 2y(1 y) = 0, 4y 3 4xy + 2x 2y = 0 che ha come soluzioni i punti (0, 0) e (1, 1). Calcolando l Hessiano in tali punti si riconosce che essi sono entrambi punti di sella in quanto il determinante della matrice hessiano risulta strettamente negativo.

9 8 Infine si studiano il massimo e il minimo assoluto di f nel dominio assegnato; essi esistono per il teorema di Weierstrass in quanto f è continua e l insieme assegnato è chiuso e limitato. Si studia prima la funzione lungo la curva x = y 2 con 1 y 1. Quindi bisogna studiare la funzione φ(y) = f(y 2, y) = y 2 (y 1) 2 ; la derivata prima di φ si annulla nei punti 0, 1/2 e 1 e inoltre bisogna considerare anche il punto 1 in quanto estremi dell intervallo in cui φ è definita. Pertanto si ottengono i seguenti valori della funzione nei punti corrispondenti: f(0, 0) = 0, f ( 1 4, 1 ) 2 = 1, f(1, 1) = 0, f(1, 1) = Sul segmento congiungente i punti (1, 1) e (1, 1), la funzione diventa ψ(y) = f(1, y) = y(y + 2)(y 1) 2, 1 y 1. La sua derivata prima si annulla nei punti 1, ( 1 + 3)/2 (il punto ( 1 3)/2 è da escludere in quanto non appartenente all intervallo [ 1, 1]) e inoltre bisogna considerare l estremo 1. Quindi tenendo conto dei punti già considerati si calcola il valore di f nel punto corrispondente non ancora considerato: ( f 1, 1 ) = Confrontando i valori ottenuti si ottiene che il massimo assoluto di f è 0 e viene assunto nei punti (0, 0) e (1, 1) mentre il minimo assoluto è 9/4 3 3/2 assunto nel punto (1, 1/2 + 3/2).

10 9 Facoltà di Ingegneria, Lecce Prima prova di esonero di Analisi Matematica II 15 gennaio 2010, traccia B 1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente serie di funzioni: + ( n 2 1 cos x ) n 2. n=1 2. Scrivere i coefficienti di Fourier della seguente funzione e dire se essa è sviluppabile in serie di Fourier: { x + 1, 0 x π, f(x) = x 1, π < x < 0, ed estesa per periodicità all esterno dell intervallo ] π, π]. 3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione f(x, y) = (y x 2 ) 2 (x y) 2. Studiare il massimo e il minimo assoluto di f anche nell insieme limitato delimitato dall arco di parabola di equazione y = x 2 con 1 x 1 e dal segmento S[( 1, 1), (1, 1)], giustificandone l esistenza. 4. Rispondere alle seguenti domande teoriche: a) Teorema di inversione dei limiti e conseguenza sulla continuità del limite uniforme di una successione di funzioni. b) Multi-indici, potenze simboliche e formula di Taylor per le funzioni di più variabili.

11 10 Cenni sulla soluzione della Prima prova di esonero di Analisi Matematica II 15 gennaio 2010, traccia B 1. Si fissi x R. Poiché il termine 1 cos x/n 2 è un infinitesimo di ordine 4, il termine generale f n (x) della serie risulta essere un infinitesimo di ordine 2 e quindi la serie converge assolutamente puntualmente in ogni x R. Inoltre si ha f n(x) = sin(x/n 2 ) e tale derivata si annulla nei punti n 2 kπ con k Z; in tali punti risulta f n (n 2 kπ) = 2 per k dispari e f n (n 2 kπ) = 0 per k pari e ciò esclude la convergenza totale in tutto R. Infine, fissato un intervallo [ a, a] con a > 0, risulta f n (x) = n 2 1 cos x n 2 x 2 2n 4 a2 2n 4, e poiché la serie + n=1 a2 /(2n 4 ) è convergente, dal criterio di Weierstrass segue la totale e quindi l uniforme convergenza della serie in [ a, a]. 2. La funzione è regolare a tratti (la derivata presenta discontinuità di prima specie solo nei punti kπ con k Z) e quindi è sviluppabile in serie di Fourier. Inoltre f è dispari e quindi è sviluppabile in serie di soli seni. Allora, per ogni n N, si ha a n = 0 e, per ogni n 1, utilizzando la regola di integrazione per parti b n = 2 { π 2(2+π) nπ, n dispari, (x + 1) sin nx dx = π 0 2 n, n pari. 3. Lo studio è del tutto simile a quello condotto per la traccia A scambiando i ruoli delle variabili x e y.

12 11 Facoltà di Ingegneria, Lecce Seconda prova di esonero di Analisi Matematica II 10 febbraio Calcolare il seguente integrale doppio: xy 1 + x 2 dx dy, + y2 dove D D = {(x, y) R 2 x 0, y 0, x y, (x 1) 2 + y 2 1}. 2. Determinare le eventuali soluzioni del seguente problema di Cauchy (x + 1) y = 4(y ) 2 4y + 1, y(1) = 0, y (1) = Rispondere alle seguenti domande teoriche: a) Teorema di cambiamento di variabile negli integrali multipli. Trasformazioni in coordinate sferiche e cilindriche. b) Lemma di Gronwall e teorema di unicità per il problema di Cauchy del primo ordine in forma normale.

13 12 Cenni sulla soluzione Seconda prova di esonero di Analisi Matematica II 10 febbraio Trasformando in coordinate polari, il dominio D viene descritto dalle condizioni π 4 θ π 2, 0 ρ 2 cos θ e l integrale diventa π/2 π/4 2 cos θ ρ 3 cos θ sin θ dθ ρ 2 dρ π/2 2 cos θ ( = cos θ sin θ dθ ρ ρ ) π/ ρ 2 dρ π/2 = cos θ sin θ (1 + cos(2θ) 12 ) log(3 + 2 cos 2θ) dθ = π/4 [ 1 2 cos2 θ 1 8 cos 2θ 1 3 cos 4θ + log(3 + 2 cos 2θ) cos 2θ log(3 + 2 cos 2θ) ] π/2 π/4 = 4 3 log Posto z = y, si ottiene l equazione differenziale del primo ordine (x + 1)z = (2z 1) 2 che è a variabili separabili; osservato che la soluzione y = z = 1/2 non soddisfa il problema di Cauchy assegnato, si divide per (2z 1) 2 e si ottiene l equazione z (2z 1) 2 = 1 x + 1. Integrando tra 1 ed x (con x > 1) tenendo presente la condizione iniziale z(1) = y (1) = 1 si ottiene da cui 1 z 1 2z = log x+1 2 e quindi 1 1 2z + 1 = 2 log x y x+1 1 log 2 = z = 1 2 log x+1 ; 2 integrando nuovamente tra 1 e x e tenendo presente la condizione iniziale y(1) = 0 si ottiene infine y(x) = x 1 1 log t log t+1 dt. 2.

14 13 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Seconda prova di esonero di Analisi Matematica II 11 febbraio Calcolare il seguente integrale doppio: x(1 x 2 y 2 ) dx dy, D dove D è il sottoinsieme di R 2 delimitato dalle seguenti condizioni y x, 1 2 y 0, x2 + y Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy { xy = 2y + y 2 log x, y(1) = Rispondere alle seguenti domande teoriche: a) Misurabilità di insiemi limitati e dotati di punti interni. Definizione e caratterizzazione. b) Teoremi di esistenza di soluzioni (in piccolo e in grande) del problema di Cauchy per equazioni differenziali del primo ordine in forma normale.

15 14 Cenni sulla soluzione Seconda prova di esonero di Analisi Matematica II 11 febbraio Trasformando in coordinate polari il dominio D può essere suddiviso nella unione dei domini descritti dalle seguenti condizioni: D 1 : 0 ρ 1, π 6 θ 0, D 2 : 3 4 π θ π 6, 0 ρ 1 2 sin θ, L integrale pertanto diventa x(1 x 2 y 2 ) dx dy = x(1 x 2 y 2 ) dx dy D D 1 + x(1 x 2 y 2 ) dx dy D 2 = = 0 + dθ π/6 π/6 3π/4 0 + π/6 π/6 1 ρ 2 cos θ(1 ρ 2 ) dρ 0 1/(2 sin θ) dθ 0 [ ρ 3 cos θ 3 ρ5 5 [ ρ 3 cos θ 3π/4 ] ρ5 5 ( 1 = 3 1 ) 0 cos θ dθ 5 π/6 π/6 ( 1 + cos θ 3π/4 = = ρ 2 cos θ(1 ρ 2 ) dρ dθ ] 1/(2 sin θ) 0 dθ 24 sin 3 θ sin 5 θ ) dθ

16 15 Alternativamente, senza trasformare in coordinate polari e tenendo presente che l insieme D è normale rispetto all asse y, si ha x(1 x 2 y 2 ) dx dy = D 0 = = = 1/2 0 1/2 0 1/2 0 1/2 [ x 2 2 x4 4 x2 y 2 ] 1 y 2 dy 2 y ( 1 y 2 (1 y2 ) ( ) 1 4 y2 + y 4 1 y 2 dy x(1 x 2 y 2 ) dx dy y y2 (1 y 2 ) 2 dy = = ) y2 2 + y4 4 + y4 dy 2 2. Dividendo per x (poiché il dato iniziale è assegnato nel punto 1, si considera poi x > 0) si ottiene l equazione di Bernoulli y = 2 x y + log x x y2. Si osserva che la soluzione y = 0 non soddisfa il problema di Cauchy; dividendo per y 2 e posto z = 1/y (da cui z = y /y 2 ), si ottiene l equazione differenziale lineare del primo ordine z = 2 x z log x x. Tenendo presente che dalla condizione iniziale deve essere z(1) = 1/y(1) = 1, si considerano le seguenti funzioni A(x) = x B(x) = 2 dt = 2 log x, t log t t 1 x 1 e 2 log t dt = x e quindi la soluzione è data da ( z(x) = e 2 log x 1 1 4x 2 log x 2x ) 4 1 log t t 3 dt = 1 4x 2 log x 2x = 1 4 (5x2 1 2 log x) e infine y(x) = 4 5x log x.

17 16 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica II 11 gennaio Studiare la seguente serie di potenze: + n=0 n sin n x, e calcolarne la somma nell insieme di convergenza. 2. Calcolare il seguente integrale doppio: xy (x 2 + y 2 dx dy ) 3 D dove D è la parte la corona circolare di centro l origine e raggi 1 e 2 compresa nel secondo quadrante. 3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione f(x, y) = (x 1) 2 (x y) 2. Studiare il massimo e il minimo assoluto di f anche nel triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (1, 1) giustificandone l esistenza. 4. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy y y = x e x, y(0) = 1, y (0) = 0.

18 17 Facoltà di Ingegneria, Lecce Prova scritta di Analisi Matematica II 15 febbraio Studiare la convergenza puntuale e totale della seguente serie di funzioni: + ( 1) n log2 (nx) n n x. n=1 2. Calcolare il seguente integrale doppio: x y 1 + x 2 dx dy y2 D dove D è il sottoinsieme limitato del primo quadrante delimitato dalle curve di equazione xy = 1, xy = 4 e dalle rette di equazione y = 3x/3 e y = 3x. 3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione f(x, y) = x 2 y nell insieme A = {(x, y) R 2 1 x 1, y 2 x 4 0}. 4. Determinare le soluzioni dell equazione differenziale y = y y.

19 18 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica II 15 febbraio Studiare la convergenza puntuale e totale della seguente serie di funzioni: + log(n 2 + x) n 2. + x n=1 2. Calcolare il seguente integrale doppio: x 2 y x 2 dx dy y2 D dove D è il sottoinsieme limitato del primo quadrante delimitato dalle curve di equazione xy = 1/2, xy = 2 e dalle rette di equazione y = x e y = 2x. 3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione f(x, y) = x 2 + 4y 2 nell insieme A = {(x, y) R 2 4x 2 + y 2 1}. 4. Determinare le soluzioni dell equazione differenziale y = xy x 2 + y 2.

20 19 Facoltà di Ingegneria, Lecce Prova integrativa di Analisi Matematica II 15 febbraio Studiare la sviluppabilità in serie di Fourier della funzione f(x) = x sin x, π x π, estesa per periodicità (di periodo 2π) ad R e determinarne i coefficienti di Fourier. 2. Studiare la differenziabilità della funzione f(x, y) = xy.

21 20 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova integrativa di Analisi Matematica II 15 febbraio Studiare la sviluppabilità in serie di Fourier della funzione f(x) = x cos x, π x π, estesa per periodicità (di periodo 2π) ad R e determinarne i coefficienti di Fourier. 2. Studiare la differenziabilità della funzione f(x, y) = x 2 y.

22 21 Facoltà di Ingegneria, Lecce Prova scritta di Analisi Matematica II 1 marzo Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni e calcolarne la somma: + n 2 2 nx. n=1 2. Calcolare il seguente integrale doppio: y x arcsin dx dy (x 1) 2 + y2 dove D D = {(x, y) R 2 x 1, y 0 1 (x 1) 2 + y 2 4}. 3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione f(x, y) = (x 2 y)(x y 2 ) nell insieme A = {(x, y) R 2 0 x 1, x 2 y x}. (Suggerimento: I punti stazionari (x, y) interni ad A verificano la condizione x = y.) 4. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy y 1 = sin x cos x y + tan x, ( π ) y = 1. 4

23 22 Cenni sulla soluzione del 1 marzo Posto y = 2 x, si ottiene la serie di potenze riconducibile alla serie ottenuta derivando due volte la serie geometrica. Quindi la convergenza è puntuale per y ] 1, 1[ e quindi per x < 0 e uniforme per y [ r, r] con 0 < r < 1 e quindi per x ], a] con a < 0. Per la somma si ha, per ogni y ], 0[, ( ) n 2 y n = y ndy n = yd ny n n=1 = yd n=1 ( y + n=1 ( = yd yd e quindi, per ogni x < 0, + n=1 n=1 ) ( ( + )) Dy n = yd yd y n ( y 1 y )) n=1 ( ) y = yd (1 y) 2 n 2 2 nx = 2x (1 + 2 x ) (1 2 x ) 3. = y(1 + y) (1 y) 3 2. Conviene considerare il cambiamento di variabili x = 1 + ρ cos θ e y = ρ sin θ con determinante jacobiano ρ. L integrale diventa 2 1 ρdρ π/2 0 ρ cos θ arcsin ρ sin θ ρ dθ = 2 1 ρ 2 dρ π/2 0 θ cos θ dθ. 3. La funzione è differenziabile e l unico punto stazionario interno ad A è (1/2, 1/2) in cui si ha f(1/2, 1/2) = 1/16. Sulla frontiera la funzione si annulla e quindi il minimo è 1/16 assunto nel punto (1/2, 1/2) mentre il massimo è 0 e viene assunto in tutti i punti della frontiera. 4. Si tratta di un equazione differenziale lineare del primo ordine; viene considerato l intervallo ]0, π/2[ che contiene il punto iniziale. Si considera la primitiva A(x) = x π/4 e poi la primitiva 1 sin x cos x dx = B(x) = x π/4 x π/4 1 tan x cos 2 dx = log(tan x) x e log(tan x) tan x dx = x π 4. Quindi la soluzione del problema di Cauchy è data da ( y(x) = e A(x) (1 + B(x)) = x + 1 π ) tan x. 4

24 23 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica II 1 marzo Studiare la seguente serie di potenze + n=0 e nx, e calcolarne la somma nell insieme di convergenza. 2. Calcolare il seguente integrale doppio: x y D (1 + x 2 + y 2 ) dx dy x 2 + y2 dove D è la parte del cerchio di centro l origine e raggio 1 contenuta nel primo quadrante. 3. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione f(x, y) = (y x 2 1) 2 4x 2 nell insieme limitato compreso tra l asse x e le due parabole di equazione y = (x 1) 2 e y = (x + 1) Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy y = 4 x y + x3, y (1) = 1.

25 24 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica II, DM marzo Studiare la seguente serie di potenze + n=0 e nx, e calcolarne la somma nell insieme di convergenza. 2. Calcolare il seguente integrale doppio: y cos(xy) dx dy dove D = [0, 1] [π/2, π]. D 3. Determinare le soluzioni della seguente equazione differenziale y = 1 x y + x3.

26 25 Facoltà di Ingegneria, Lecce Prova scritta di Analisi Matematica II 30 aprile 2010, traccia A 1. Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni: + n=0 x n (x 1) 1 + x 2n, x Calcolare il seguente integrale doppio: x + y x 2 dx dy + y2 D dove D è il sottoinsieme limitato di R 2 contenuto nel primo quadrante e delimitato dalle curve di equazione xy = 1, xy = 2 e dalle rette x = 4, y = Studiare massimi e minimi assoluti della funzione f(x, y) = cos(x + y) sin x nel triangolo di vertici (0, 0), (2π, 0) e (0, 2π). 4. Determinare le eventuali soluzioni del seguente problema di Cauchy y = x2 + y 2 xy x 2, y(1) = 0.

27 26 Cenni sulla soluzione del 30 aprile 2010, traccia A 1. La serie è a termini positivi per x > 1 e a termini negativi per 0 x < 1. Si ha inoltre x < 1 = x n (x 1) 1 + x 2n xn (1 x) ; x > 1 = x n (x 1) 1 + x 2n = x 1 1/x n + x n x 1 x n ; x = 1 = xn (x 1) 1 + x 2n = 0, e quindi, tenendo presente la convergenza della serie geometrica, si ottiene la convergenza puntuale (assoluta) per ogni x 0. Per quanto riguarda la convergenza totale, si osserva che il termine generale f n (x) = xn (x 1) 1+x 2n è derivabile e la sua derivata f n(x) = xn 1 (1 x 2n )((1 n)x + n) (1 + x 2n ) 2 si annulla nei punti 0, 1 e n/(n 1) in cui si ha ( ) n f n (0) = 0, f n (1) = 0, f n = n 1 ( ) n+1 n n 1 ( ( n 1 + n n 1 ) 2n ) ; ( inoltre lim x + f n (x) = 0 e quindi sup x 0 f n (x) = f n. n n 1) Poiché la serie ( + n=0 f n n n 1) non è convergente (si comporta come la serie armonica) non vi è convergenza totale in tutto l intervallo n [0, + [. I punti n 1 tendono ad 1 da sinistra e quindi, escludendo un intorno sinistro del punto 1 e considerando cioè un insieme Y = [0, a] [1, + [ con 0 < a < 1, dal ragionamento svolto si ottiene sup x Y f n (x) = f n (a) e la serie + n=0 f n(a) è convergente (dalla convergenza puntuale assoluta). Quindi vi è convergenza totale (e conseguentemente uniforme) in ogni insieme Y = [0, a] [1, + [ con 0 < a < Si considera il seguente cambiamento di variabili xy = u, y = v da cui si ottiene x = u/v, y = v e lo jacobiano è dato da J(u, v) = 1/v. Il dominio viene trasformato in 1 u 2 (da 1 xy 2), v u/4 (da x 4) e v 4 (da y 4). Quindi si ottiene un dominio normale rispetto all asse u e l integrale doppio diventa 2 1 du 4 u/4 u + v 2 u 2 + v 4 dv.

28 27 Per risolvere l integrale 4 u/4 u + v 2 u 2 + v 4 = 1 u + v 2 u 2 u+v ( v u ) 4 = 1 u 2 dv, bisogna imporre u 2 +v 4 Av + B v 2 u + 2 v u Cv + D u + 1 v 2 u 2 v (sono state calcolate le radici quarte di 1 e sono state raggruppate quelle complesse coniugate) e si ricavano le costanti A, B, C e D. Effettuato il calcolo degli integrali 1 4 u 2 u/4 Av + B v 2 u + 2 v u + 1 dv, 1 u 2 4 u/4 Cv + D v 2 u 2 v u + 1, si ottengono integrali che dipendono dall arcotangente di u e che possono essere integrati tra 1 e 2 per parti. Alternativamente è possibile utilizzare anche il cambiamento di variabili in coordinate polari semplificando eventualmente l integrale tenendo conto della simmetria rispetto alla retta y = x. 3. Il metodo più semplice consiste nell osservare che la funzione è limitata ed è compresa tra 1 ed 1; quindi se vi sono dei punti in cui viene assunto il valore 1 (rispettivamente, 1) essi saranno sicuramente di massimo assoluto (rispettivamente, di minimo assoluto). Il valore 1 si ottiene dalle soluzioni dei seguenti sistemi { cos(x + y) = 1, sin x = 1, { cos(x + y) = 1, sin x = 1. Il primo sistema, tenendo conto del dominio in cui è assegnata la funzione, è soddisfatto per x + y = 0 oppure x + y = 2π e per x = π/2; si ottiene quindi il punto di massimo assoluto (π/2, 3π/2); il secondo sistema è invece soddisfatto per x + y = π e per x = 3π/2 e in questo caso non vi sono soluzioni. In maniera analoga il valore 1 si ottiene dalle soluzioni del sistema { cos(x + y) = 1, sin x = 1, { cos(x + y) = 1, sin x = 1. Il primo sistema, tenendo conto del dominio in cui è assegnata la funzione, è soddisfatto per x + y = π e per x = π/2; si ottiene quindi il punto di minimo assoluto (π/2, π/2); il secondo sistema è invece soddisfatto per x + y = 0 oppure x + y = 2π e per x = 3π/2, da cui si ottiene il punto di minimo assoluto (3π/2, π/2). Quindi il massimo assoluto di f è 1, mentre il minimo assoluto è 1.

29 28 Volendo invece procedere con l utilizzo del calcolo differenziale, si osserva che la funzione è continua sul triangolo che è chiuso e limitato e quindi per il teorema di Weierstrass ammette massimo e minimo assoluto. Poiché f è differenziabile, il massimo e il minimo assoluto si ottengono confrontando i valori della funzione sui punti stazionari interni e sui possibili punti di massimo e minimo sulla frontiera. Si ha f (x, y) = cos(x + y) cos x sin(x + y) sin x x = cos 2 x cos y cos x sin x sin y sin 2 x cos y sin x cos x sin y e analogamente = cos(2x) cos y sin(2x) sin y = cos(2x + y) f (x, y) = sin x sin(x + y). y Tenendo presente che cos(2x + y) = 0 per 2x + y = π/2 + kπ (tenendo conto del dominio i valori ammissibili di k sono da 0 a 3) e che sin x = 0 per x = hπ (l unico valore ammissibile di h è 1) e sin(x + y) = 0 per x + y = hπ (anche in questo caso si può accettare solo il valore h = 1), si trovano i due punti stazionari interni ( π, π ) ( 2 e π 2, π ) 2 nei quali si ha ( f π, π ) ( π = 0, f 2 2, π ) = 1. 2 Si considera ora la frontiera. Il lato di base del triangolo viene descritto dalle condizioni y = 0 e 0 x 2π e la funzione diventa φ(x) = f(x, 0) = cos x sin x = (sin 2x)/2. La derivata φ (x) = cos 2x si annulla in π/4 + kπ/2 e i valori di k accettabili sono 0, 1, 2, 3. Pertanto si ottengono i valori ( π ) f 4, 0 = 1 ( ) 3π 2, f 4, 0 = 1 ( ) 5π 2, f 4, 0 = 1 ( ) 7π 2, f 4, 0 = 1 2. Agli estremi inoltre si ha f(0, 0) = 0 e f(2π, 0) = 0. Sul lato x = 0 con 0 y 2π si ha f(x) = 0. Infine sul lato y = 2π x con 0 x 2π si ottiene la funzione ψ(x) = f(x, 2π x) = sin x che ammette massimo in π/2 e minimo in 3π/2. Si ottengono quindi gli ulteriori punti ( π f 2, 3π ) ( 3π = 1, f 2 2, π ) = 1. 2 Confrontando i valori ottenuti, si deduce che il massimo assoluto di f nel triangolo assegnato è 1 e viene assunto nel punto ( π 2, 3π ) 2 e il minimo assoluto è 1 e viene assunto nei punti ( π 2, π ) ( 2 e 3π 2, π ) 2.

30 29 4. Dividendo numeratore e denominatore a secondo membro dell equazione per x 2 si ottiene y = 1 + ( y ) 2 x y x 1 e posto z = y/x, da cui y = xz + z, si ottiene xz = z+1 z 1. Osservato che z = 1 non è soluzione del problema di Cauchy assegnato si ottiene l equazione z 1 z + 1 z = 1 x. Tenendo presente che z(1) = y(1)/1 = 0, integrando tra 1 ed x si ottiene z t 1 x t + 1 dt = 1 s ds, 0 da cui z 2 log(1 + z) = log x e quindi la soluzione in forma implicita del problema di Cauchy è la seguente ( y(x) x 2 log 1 + y(x) ) = log x. x 1

31 30 Facoltà di Ingegneria, Lecce Prova scritta di Analisi Matematica II 30 aprile 2010, traccia B 1. Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni: + n=0 x n log n (1 + x 2 ) 1 + e nx, x R. 2. Calcolare il seguente integrale doppio: x y x 2 dx dy + y2 dove D D = {(x, y) R 2 x 0, y 1 2, x 2 3 y2, x 2 + y 2 1}. 3. Studiare massimi e minimi assoluti della funzione per x 2 + y 2 2π. f(x, y) = cos(x 2 ) sin(x 2 + y 2 ) 4. Determinare le soluzioni della seguente equazione differenziale y = x2 + y 2 xy y 2.

32 31 Cenni sulla soluzione del 30 aprile 2010, traccia B 1. La serie è a termini positivi per x > 0 e a termini negativi per x < 0. Se x 1 il termine generale della serie non è infinitesimo e quindi la serie non può convergere. Se invece 1 < x < 1, tenendo presente la diseguaglianza log(1 + x 2 ) x 2, risulta x n log n (1 + x 2 ) 1 + e nx ( x log(1 + x 2 ) ) n x 3 n e quindi, tenendo presente la convergenza della serie geometrica, si ottiene la convergenza puntuale (assoluta) per ogni 1 < x < 1. Infine, se x 1, usando simili maggiorazioni, si ha x n log n (1 + x 2 ( ) x log(1 + x 2 ) n 1 + e nx ) e x x 3 n e x, e tenendo presente che x3 e < 1, dalla convergenza della serie geometrica, si ottiene quella della serie assegnata anche per ogni x x 1. Si conclude che la serie converge puntualmente (assolutamente) per ogni x > 1. Per la convergenza totale si osserva innanzitutto che dalla prima maggiorazione ottenuta la serie converge totalmente in ogni intervallo [ r, r] con 0 < r < 1. Si suppone ora x 0; poiché max x 0 x/e x = 1/e (assunto per x = 1) si può scrivere la seguente maggiorazione, per ogni x 0, x n log n (1 + x 2 ( ) x log(1 + x 2 ) n ( 1 + e nx ) log(1 + x 2 ) n ) e x ; e se si impone che l ultimo termine sia minore di 1, e questo vale per 0 x 3, si ottiene quindi la convergenza totale. Pertanto fino ad ora si può assicurare la convergenza totale in [ r, 3] con 0 < r < 1. Si procede ora in modo simile supponendo x 3; questa volta max x 3 x/e x = 3/e 3 (assunto per x = 3) e si può scrivere la seguente maggiorazione, per ogni x 0, x n log n (1 + x 2 ) 1 + e nx ( x log(1 + x 2 ) n ( ) 3 log(1 + x 2 ) n ) ; e x imponendo che l ultimo termine sia minore di 1, e questo avviene per 3 x 28, si ottiene la convergenza totale; quindi la convergenza totale vale in [ r, 28]. Assumendo infine x 28, dalla diseguaglianza stabilita per la convergenza puntuale si ottiene x n log n (1 + x 2 ( ) ) x 3 n ( ) 28 3 n 1 + e nx e x e 2, 8 e 3

33 32 e poiché l ultimo termine è minore di 1 vale ancora la convergenza totale. In conclusione la serie converge totalmente (e quindi uniformemente) in [ r, + [ con 0 < r < Si può considerare il cambiamento di variabili in coordinate polari e l integrale diventa π/3 π/6 + = dθ π/3 dθ (cos θ sin θ) dρ 1/(2 sin θ) arctan 3 3 cos θ/(2 sin 2 θ) 1/(2 sin θ) (cos θ sin θ) dρ ( ( )) π 6 arctan 3 6 log + 1 (π 3 log 3) Il metodo più semplice consiste nell osservare che la funzione è limitata ed è compresa tra 1 ed 1; quindi se vi sono dei punti in cui viene assunto il valore 1 (rispettivamente, 1) essi saranno sicuramente di massimo assoluto (rispettivamente, di minimo assoluto). Il valore 1 si ottiene dalle soluzioni dei seguenti sistemi { cos x 2 = 1, sin(x 2 + y 2 ) = 1, { cos x 2 = 1, sin(x 2 + y 2 ) = 1. Il primo sistema, tenendo conto del dominio in cui è assegnata la funzione, è soddisfatto per x 2 = 0 oppure x 2 = 2π e per x 2 + y 2 = π/2; si ottengono quindi i punti di massimo assoluto (0, ± π/2); il secondo sistema è invece soddisfatto per x 2 = π e per x 2 + y 2 = 3π/2; si ottengono quindi altri quattro punti di massimo assoluto ( π, ± π/2) e ( π, ± π/2). In maniera analoga il valore 1 si ottiene dalle soluzioni del sistema { cos x 2 = 1, sin(x 2 + y 2 ) = 1, { cos x 2 = 1, sin(x 2 + y 2 ) = 1. Il primo sistema, tenendo conto del dominio in cui è assegnata la funzione, è soddisfatto per x 2 = π e per x 2 + y 2 = π/2; in questo caso non si ottengono soluzioni accettabili; il secondo sistema è invece soddisfatto per x 2 = 0 oppure x 2 = 2π e per x 2 + y 2 = 3π/2, da cui si ottengono due punti di minimo assoluto (0, ± 3π/2). Quindi il massimo assoluto di f è 1, mentre il minimo assoluto è 1. Volendo procedere con l utilizzo del calcolo differenziale, si può osservare che la funzione è continua sul cerchio che è chiuso e limitato

34 33 e quindi per il teorema di Weierstrass ammette massimo e minimo assoluto. Poiché f è differenziabile, il massimo e il minimo assoluto si ottengono confrontando i valori della funzione sui punti stazionari interni e sui possibili punti di massimo e minimo sulla frontiera. Si ha f x (x, y) = 2x sin(x2 + y 2 ) sin x 2 + 2x cos(x 2 + y 2 ) cos x 2 = 2x ( sin 2 x 2 cos y 2 sin x 2 cos x 2 sin y 2 + cos 2 x 2 cos y 2 e analogamente cos x 2 sin x 2 sin y 2) = 2x ( cos(2x 2 ) cos y 2 sin(2x 2 ) sin y 2) = 2x cos(2x 2 + y 2 ) f y (x, y) = 2y cos x2 cos(x 2 + y 2 ). La derivata parziale rispetto alla variabile x si annulla per x = 0 e per 2x 2 + y 2 = π/2 + kπ (bisogna considerare solamente i valori k = 0 e k = 1), mentre la derivata parziale rispetto alla variabile y si annulla per y = 0, per x 2 = π/2 + hπ (hanno senso i valori h = 0 e h = 1) e per x 2 + y 2 = π/2 + hπ (bisogna considerare solamente i valori h = 0 e h = 1). In tal modo si ottengono i punti stazionari interni. Per quanto riguarda la frontiera, il termine sin(x 2 + y 2 ) si annulla e quindi la funzione è costantemente nulla sulla frontiera. Confrontando i valori di f sui punti stazionari interni e con il valore 0 assunto sulla frontiera, si ottengono i punti di massimo e di minimo assoluto per f. 4. Dividendo numeratore e denominatore a secondo membro dell equazione per x 2 si ottiene y = 1 + ( y ) 2 x y x ( y ) 2 x e posto z = y/x, da cui y = xz +z, si ottiene xz = 1+z3 z(1 z). Se z = 1 si ottiene la soluzione y = x, mentre se z 1, si ottiene l equazione z(1 z) 1 + z 3 z = 1 x. Integrando entrambi i membri si ricava 1 3 arctan 2z log (z 2 z + 1) (1 + z) 2 (1 + z 3 ) 2 = log x + c, c R,

35 34 da cui 1 arctan 2y x x 6 log x 6 (x + y) 4 (x 2 xy + y 2 = log x+c, c R. )

36 35 Facoltà di Ingegneria, Lecce Prova scritta di Analisi Matematica II 30 aprile 2010, vecchio ordinamento 1. Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni: + n=0 x n 1 + e nx, x R. 2. Calcolare il seguente integrale doppio: x y x 2 dx dy + y2 dove D D = {(x, y) R 2 x 0, y 1 2, x2 + y 2 1}. 3. Studiare massimi e minimi assoluti della funzione f(x, y) = cos(x + y) sin x nel triangolo di vertici (0, 0), (2π, 0) e (0, 2π). 4. Determinare le soluzioni della seguente equazione differenziale y = x2 + y 2 xy x 2.

37 36 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica II 3 maggio Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni: + n=1 x 2n ne nx, x 0 e calcolarne la somma nell insieme di convergenza. 2. Calcolare l area del sottoinsieme limitato di R 2 delimitato dalle curve di equazione xy = 1, xy = 2, y = x e y = 3x. 3. Studiare massimi e minimi assoluti della funzione f(x, y) = cos(x + y) sin(x y) nel quadrato di vertici (0, 0), (2π, 0), (2π, 2π) e (0, 2π). 4. Determinare le soluzioni della seguente equazione differenziale y y = x + e x.

38 37 Facoltà di Ingegneria, Lecce Prova scritta di Analisi Matematica II 29 giugno Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni: + n=1 ( 1) n 1 x sin x n. 2. Calcolare il seguente integrale doppio: sin πy dx dy x3 dove D D = {(x, y) R 2 x 0, x 4 y x 3 }. 3. Studiare massimi e minimi assoluti della funzione f(x, y, z) = (x y) 2 + 2xyz nel cilindro avente come base il cerchio di centro l origine e raggio 1 nel piano xy e altezza z [0, 1]. 4. Determinare le soluzioni del seguente problema di Cauchy { y = y cos x,. y(0) = a, con a = 1 e a = 0.

39 38 Cenni sulla soluzione del 29 giugno Le funzioni f n (x) = 1 x sin x n sono definite per x 0 e sono pari. Pertanto si può studiare la serie per x > 0 e poi per simmetria dedurre la convergenza in tutto R \ {0}. Sia x > 0; allora, per n +, 1 x sin x n = sin x n n x n 1 n e quindi la serie non è assolutamente convergente. Inoltre la successione (f n (x)) n 1 è positiva e decrescente per n sufficientemente grande (ad esempio, n 2x/π) ed è ovviamente infinitesima. Pertanto per il criterio di Leibnitz la serie converge puntualmente in x. Quindi la serie converge puntualmente in tutto R \ {0} semplicemente ma non assolutamente. Per studiare la convergenza uniforme si utilizza ancora il criterio di Leibnitz cercando di maggiorare uniformemente il resto della serie. A tal fine si fissa un intervallo ]0, a] con a > 0 in modo tale che per n abbastanza grande f n sia positiva in ]0, a]. In tal modo la seguente maggiorazione vale per ogni x ]0, a] + k=1 ( 1) k 1 x sin x n k ( 1) k 1 x sin x k C x sin k=1 x n + 1 C n + 1 con C costante opportuna (dipende dal fatto che i primi termini della serie non sono necessariamente a segni alterni). Poiché lim n + C/(n+ 1) = 0 uniformemente rispetto ad x ]0, a], si conclude che vale la convergenza uniforme in ]0, a] e quindi, per simmetria, in ogni intervallo ] a, 0[ ]0, a] con a > 0. È necessario fissare l intervallo ]0, a] in quanto bisogna poter applicare il criterio di Leibnitz da un certo n in poi per tutte le x; considerando ]0, + [, per ogni n 1 esisterebbe invece x > 0 per cui sin x/n < 0 e quindi potrebbe non valere la maggiorazione del resto. 2. La diseguaglianza x 4 x 3 è soddisfatta per 0 x 1 e quindi l insieme D può essere descritto come segue D = {(x, y) R 2 0 x 1, x 4 y x 3 }.

40 39 Pertanto D è un insieme normale rispetto all asse x e utilizzando le formule di riduzione si ottiene D sin πy dx dy = x3 1 0 = 1 π + 1 π x 3 dx x sin πy x 3 dy = 1 x 3 (cos π cos πx) dx = 1 π x 3 cos πx dx = 1 4π + 1 π 0 [ x 3 πy cos π x ] x 3 x 4 x 3 dx dx x 3 cos πx dx e applicando più volte la regola di integrazione per parti si ricava sin πy π2 dx dy = + x3 4π π 5. D 3. La funzione è continua nel cilindro che è chiuso e limitato e quindi per il teorema di Weierstrass è dotata di massimo e di minimo assoluto. Si osserva inoltre che f è positiva in quanto, se xy 0 si ha f(x, y, z) = (x y) 2 + 2xyz (x y) 2 0 e analogamente, se xy < 0 si ha f(x, y, z) = x 2 + y 2 2xy + 2xyz x 2 + y 2 + 2xyz x 2 + y 2 + 2xy = (x + y) 2 0. Poiché f è differenziabile, vengono prima determinati i punti stazionari interni che sono soluzioni del sistema f (x, y) = 2(x y) + 2yz = 0, x f (x, y) = 2(x y) + 2xz = 0, y f (x, y) = 2xy = 0, x e quindi sono i punti (0, 0, z) con z ]0, 1[. In tali punti la funzione assume il valore 0 (che quindi è il minimo assoluto di f in quanto f è positiva nel cilindro). Si studia ora la funzione sulla frontiera del cilindro. Si considera prima la superficie laterale descritta dalle condizioni x 2 + y 2 = 1, 0 z 1. Utilizzando il cambiamento di variabili in coordinate cilindriche, il cilindro viene descritto dalle condizioni ρ = 1, 0 z 1

41 40 e la funzione diventa g(θ, z) = f(cos θ, sin θ, z) = (cos θ sin θ) 2 + 2z cos θ sin θ con π θ π e 0 z 1 (si è tenuto conto del fatto che ρ = 1 sulla superficie laterale del cilindro). Poiché g è differenziabile, i punti stazionari interni per la funzione g sono dati dalle soluzioni del sistema g θ (θ, z) = 2(z 1)(cos2 θ sin 2 θ) = 0, g (θ, z) = 2 sin θ cos θ = 0, z che tuttavia non ammette soluzioni. Sulla frontiera la funzione g si comporta come segue. Se z = 0 e π θ π si ottiene la funzione g(θ, 0) = (cos θ sin θ) 2 che ammette un massimo uguale a 2 nei punti π/4 e 3π/4 e un minimo uguale a 0 nei punti π/4 e 3π/4. Si ottengono quindi i punti f ( ) 2 2 2, 2, 0 = f ( ) 2 2 2, 2, 0 = 2 e f ( ) ( ) , 2, 0 = f 2, 2, 0 = 0 Se z = 1 e π θ π si ottiene la funzione g(θ, 0) = (cos θ sin θ) cos θ sin θ = 1. Se θ = ±π e 0 z 1 si ottiene la funzione g(±θ, z) = 1. Alternativamente, il comportamento di f sulla superficie laterale del cilindro si può studiare utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange considerando il vincolo x 2 + y 2 1 = 0 e i punti stazionari della funzione h(x, y, z, λ) = f(x, y) + λ(x 2 + y 2 1) soddisfacenti la condizione 0 z 1. A questo punto resta a studiare la funzione f sulle basi del cilindro ed è inoltre sufficiente considerare i punti stazionari interni al cerchio di centro l origine e raggio 1 in quanto i punti sulla frontiera sono stati già considerati studiando la funzione sulla superficie laterale del cilindro. Per quanto riguarda la base x 2 + y 2 1 e z = 0 si ottiene la funzione f(x, y, 0) = (x y) 2 e i suoi punti stazionari interni sono del tipo (x, x, 0) con 2/2 < x < 2/2; in tali punti la funzione si annulla. Per quanto riguarda la base x 2 + y 2 1 e z = 1 si ottiene la funzione f(x, y, 1) = x 2 + y 2 che ha un unico punto stazionario (0, 0, 1) in cui la funzione si annulla.

42 41 Pertanto il minimo di f è 0 ed è assunto nei punti (x, x, 0) con 2/2 x 2/2 e nei punti (0, 0, z) con 0 z 1 mentre il massimo è 2 e viene assunto nei punti ( 2 2 ) 2, 2, 0, ( ) 2 2 2, 2, 0. Si tratta di un equazione a variabili separabili (o di Bernoulli con il coefficiente di y nullo). La soluzione nulla è soluzione del problema di Cauchy con a = 0; considerata y 0 e posto z = y si trova z = y /(2 y) e si ottiene l equazione differenziale z = cos x 2 da cui z = sin x 2 + c con c R. Pertanto la soluzione generale è data da ( sin x 2 y = + c), c R. 2 Imponendo la condizione iniziale y(0) = 1 si trova c = 1 mentre imponendo la condizione iniziale y(0) = 0 si trova c = 0. Quindi il problema di Cauchy assegnato ammette la soluzione y = ( sin x ) 2 per a = 1 e ammette due soluzioni y = sin2 x 4 e y = 0 per a = 0 (si può verificare che in un intorno di (0, 0) il secondo membro dell equazione differenziale f(x, y) = y cos x non è localmente lipschitziano rispetto alla seconda variabile e quindi non si può assicurare l unicità della soluzione).

43 42 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica II 29 giugno Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni: + n=1 ( 1) n 1 nx sin x n. 2. Calcolare il seguente integrale doppio: cos πy dx dy x2 dove D D = {(x, y) R 2 0 x 3 y x 2 }. 3. Studiare massimi e minimi assoluti della funzione f(x, y, z) = (x + y) 2 2xyz nel cilindro avente come base il cerchio di centro l origine e raggio 1 nel piano xy e altezza z [0, 1]. 4. Determinare le soluzioni del seguente problema di Cauchy { y = y 2 sin x,. y(0) = 1.

44 43 Cenni sulla soluzione del 29 giugno 2010 (Brindisi) Lo svolgimento è molto simile a quello della prova assegnata lo stesso giorno a Lecce, tranne che per la serie di funzioni per la quale in questo caso vale l assoluta convergenza e si può conseguentemente studiare l uniforme convergenza utilizzando il criterio di Weierstrass sulla convergenza totale. A tal proposito si osserva che, per ogni x R \ {0} si ha 1 nx sin x n 1 x nx n = 1 n 2 e quindi vale la totale convergenza in tutto R \ {0}.

45 44 Facoltà di Ingegneria, Lecce Prova scritta di Analisi Matematica II 19 luglio Studiare la convergenza della seguente successione di funzioni: f n (x) = nx 1 + n 2 x. 2. Calcolare il seguente integrale doppio: (x 2 + y 2 1) dx dy D dove D è l unione dei domini D 1 e D 2 rappresentati in figura D. 2.. D Domini D 1 e D 2 relativi alla traccia del 19 luglio Studiare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione f(x, y) = xy + x 2 y x nell insieme A = {(x, y) R 2 y x 3 }. 4. Determinare le soluzioni del seguente problema di Cauchy y 2y = cos x, y(0) = 1/3,. y (0) = 0.

46 45 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica II 19 luglio Studiare la convergenza della seguente successione di funzioni: f n (x) = n2 x 1 + n 3 x, x Calcolare il seguente integrale doppio: (1 + x + y) dx dy dove D = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1, y x 2 }. D 3. Studiare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione f(x, y) = x 2 y + x 2 y nell insieme A = {(x, y) R 2 y x 2 }. 4. Determinare le soluzioni del seguente problema di Cauchy { y = cos 2 y, y(0) = π/4.

47 46 Facoltà di Ingegneria, Lecce Prova scritta di Analisi Matematica II 13 settembre Studiare la convergenza della seguente successione di funzioni: f n (x) = e n x 1 + n 2 x Calcolare il seguente integrale doppio: ( π ) y cos 4 xy dx dy D dove D è il dominio limitato di R 2 delimitato dalle condizioni 1 xy 4, 1 y Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione f(x, y) = x 2 y + x xy. 4. Determinare le soluzioni della seguente equazione differenziale cos y = 0 (gli studenti dell ordinamento 509 possono considerare l equazione differenziale y = x cos y).

48 47 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica II 13 settembre Studiare la convergenza della seguente successione di funzioni: f n (x) = e n2 x nx Calcolare il seguente integrale doppio: ( π ) x sin 4 xy dx dy D dove D è il dominio limitato di R 2 delimitato dalle condizioni 1 xy 4, 1 x Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione f(x, y) = x 2 y + x xy. 4. Determinare le soluzioni della seguente equazione differenziale sin y = 0.

49 48 Facoltà di Ingegneria, Corso Ingegneria Industriale Prova scritta di Analisi Matematica II 25 ottobre Risolvere il seguente problema di Cauchy { xy = y(log y log x) y(1) = Calcolare il seguente integrale doppio 2x 2 y 2 x 2 + y 2 dxdy, dove E = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4}. E 3. Trovare il massimo e il minimo assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y) = x 1 (x 2 + y 2 ) nell insieme E = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}. 4. Studiare la sviluppabilità in serie di Fourier della funzione f(x) = π(x x 2 ), π < x π, estesa per periodicità (di periodo 2π) ad R e determinarne i coefficienti di Fourier.

50 49 Facoltà di Ingegneria, Corso Ingegneria Industriale Prova scritta di Analisi Matematica II, v.o. 25 ottobre Risolvere il seguente problema di Cauchy { xy = y(log y log x) + y y(e) = Calcolare il seguente integrale doppio 2x 2 y 2 x 2 + y 2 dxdy, dove E = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4}. E 3. Trovare il massimo e il minimo assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y) = x 1 (x 2 + y 2 ) nell insieme E = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}. 4. Studiare la sviluppabilità in serie di Fourier della funzione f(x) = π(x x 2 ), π < x π, estesa per periodicità (di periodo 2π) ad R e determinarne i coefficienti di Fourier.

51 50 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica II 25 ottobre Risolvere il Problema di Cauchy { xy = y(log y log x) 2 + y y(e) = Calcolare il seguente integrale doppio 2x y x 2 dx dy, + y2 dove E = {(x, y) R 2 y 0, 1 x 2 + y 2 4}. E 3. Trovare il massimo e il minimo assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y) = y 1 (x 2 + y 2 ) nell insieme E = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. 4. Studiare la sviluppabilità in serie di Fourier della funzione f(x) = x 2πx 2, π < x π, estesa per periodicità (di periodo 2π) ad R e determinarne i coefficienti di Fourier.

52 51 Facoltà di Ingegneria, Lecce Prova integrativa di Analisi Matematica II 25 ottobre Studiare la sviluppabilità in serie di Fourier della funzione f(x) = x2 π 2, π x π, estesa per periodicità (di periodo 2π) ad R e determinarne i coefficienti di Fourier. 2. Studiare la differenziabilità della funzione f(x, y) = y arcsin x e, nei punti in cui f è differenziabile, calcolarne il differenziale.

53 52 Facoltà di Ingegneria, Corso Ingegneria Industriale Prova scritta di Analisi Matematica II 13 dicembre Risolvere la seguente equazione differenziale y yx 3 log x + x 2 y = Calcolare il seguente integrale doppio 2x + 1 x 2 dx dy, + y2 dove E = {(x, y) R 2 : x + y 1, x 2 + y 2 1}. E 3. Trovare il massimo e il minimo assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y) = xy y 2 + x 2 nell insieme E = {(x, y) R 2 x 1, y 1}. 4. Studiare la convergenza della seguente serie + n=0 n (2 x ) n 3 n. e calcolarne la somma nell insieme di convergenza.

54 53 Facoltà di Ingegneria, Corso Ingegneria Industriale Prova scritta di Analisi Matematica II, v.o. 13 dicembre Risolvere la seguente equazione differenziale y yx 3 log x + x 2 y = Calcolare il seguente integrale doppio 2x + 1 x 2 dx dy, + y2 dove E = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4}. E 3. Trovare il massimo e il minimo assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y) = xy y 2 + x 2 nell insieme E = {(x, y) R 2 0 x 1, 0 y 1}. 4. Studiare la convergenza della seguente serie + n=0 n (2 x ) n 3 n. e calcolarne la somma nell insieme di convergenza.

55 54 Facoltà di Ingegneria Industriale, Brindisi Prova scritta di Analisi Matematica II 14 dicembre Risolvere la seguente equazione differenziale y y arcsin x + xy log x = Calcolare il seguente integrale doppio 3y + 1 x 2 dx dy, + y2 dove E = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 e 2 }. E 3. Trovare il massimo e il minimo assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y) = x 2 + 2y 2 3xy nell insieme E = {(x, y) R 2 1 x 1, 0 y 1}. 4. Studiare la convergenza della seguente serie + n=0 (3 x ) n n7 n. e calcolarne la somma nell insieme di convergenza.