Roberto Capone Esercizi di Analisi Matematica 2 Superfici e Integrali superficiali. Superfici

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1 uperfici i calcoli la matrice jacobiana delle seguenti funzioni: f(x, y) = e x+y i + cos (x + y)j f(x, y, z) = (x + y + 3z 3 )i + (x + sin3y + e z )j i calcoli la divergenza dei seguenti campi vettoriali 3 f(x, y) = cos(x + y) i + e x+y j 4 f(x, y, z) = (x + y + z)i + (x + y + z )j + (x 3 + y 3 + z 3 )k i calcoli il rotore dei seguenti campi vettoriali 5 f(x, y, z) = xi + yj + zk 6 f(x, y, z) = xyzi + zsinyj + xe y k 7 y x f(x, y) = ( i + ( j x + y) x + y) 8 f(x, y) = grad(log x y) 9 iano f(x, y) = 3x + y e g(u, v) = (u + v)i + uvj. crivere esplicitamente la funzione composta f g e calcolarne il gradiente iano f(s, t) = s + t e g(x, y) = xyi + x j. crivere esplicitamente la funzione composta f g y e calcolarne il gradiente iano f(x, y, z) = xyz e g(r, s, t) = (r + s)i + (r + 3t)j + (s t)k. crivere esplicitamente la funzione composta f g e calcolarne il gradiente i consideri la superficie parametrica σ(u, v) = uvi + ( + 3u)j + (v 3 + u)k a. ire se la superficie è semplice b. eterminare l insieme R su cui σ è regolare c. eterminare il vettore normale alla superficie in ogni punto di R d. crivere l equazione del piano tangente alla superficie in P = σ(u, v ) = (,4,3) 3 Le superfici σ (u, v) = cos( u) i + sin( u) j + v k (u, v) [,π] [,] e σ (u, v) = sin(3 + u) i + cos(3 + u) j + ( v)k (u, v) [, π] [,] parametrizzano lo stesso sostegno Σ in R 3. a. eterminare tale sostegno b. ire se i versi di attraversamento di Σ definiti dalle due superfici coincidono oppure no

2 c. Calcolare i versori normali a Σ in P (,, ) associati alle due superfici 4 4 i consideri la superficie cartesiana σ(u, v) = ui + vj + (u + 3uv + v )k a. Calcolare il versore normale n(u,v) b. eterminare i punti sul sostegno Σ della superficie in cui la normale è perpendicolare al piano di equazione 8x + 7y z = 4 i risolvano i seguenti integrali superficiali (di I specie) 5 x 3 e z dσ è la porzione di superficie del cilindro di equazione x + y = r 4 3 r4 (e h ) 6 (x y + y + 3z )dσ è la superficie della sfera di centro l origine e raggio r 4πr 4 7 (z + ) x y z + 4z + 3 dσ 8 4 π x = u + v : { y = u v (u, v) B z = u 8 e x+y z dσ x = v : { y = v (u, v) B z = u + v 3 (log 3 log3 + ) u = log ( t) Γ: { t [ ; ] v = t log ( t) 9 x + y 3 + sin (x + y + ) dσ 3 x = u cos ( + v) : { y = v u + cos ( + v) z = u v cos ( + v) Γ: v + u e x+y (x + y ) + (y + z ) + (x + y + z ) dσ x = u(v ) : { y = u + v uv z = v(u )

3 dσ z x + 4y + 4y z 3 (log8 log5) x = 5u + v : { y = u z = uv x + z x + 8y z + 34(x + z 4) dσ 3 (π + log) x = u v : { y = u + 3v z = v + 3 dσ z(y + z) 4z + 9 x = 3u : { y = u v z = v log 4 3

4 z arctg x z dσ x = uv : { y = u (u, v) B z = v 4 ia la superficie cilindrica, con le generatrici parallele all asse z, compresa tra i piani di equazione z = e z = ed avente per direttrice la curva del piano (x, y), diagramma, rispetto all asse x, della restrizione all intervallo (; π 4 ) della funzione esponenziale. Calcolare 3 ( π 4 ) z tg x dσ + ex 5 ia la superficie cilindrica con le generatrici parallele all asse y compresa tra i piani di equazioni y = e y = e ed avente per direttrice la curva del piano (x, y) diagramma rispetto all asse x della restrizione nell intervallo [; ] della funzione arcoseno. Calcolare π 4 z x y x dσ 6 ia la superficie cilindrica con le generatrici parallele all asse x compresa tra i piani di equazioni x = e x = ed avente per direttrice la curva del piano (y, z) che ha equazione y z + 3 = e che si proietta sull asse y nell intervallo [; + ]. Calcolare x 4 (z y) + 4y dσ 7 ia la superficie cilindrica con le generatrici parallele all asse z compresa tra i piani di equazioni x = e x = π ed avente per direttrice la curva del piano (x, y) diagramma, rispetto all asse x, della restrizione della funzione logaritmo, all intervallo [ π ; π]. Calcolare 6 xcos 3x cosz dσ + x 8 ia la superficie cilindrica con le generatrici parallele all asse y compresa tra i piani di equazioni y = e y = ed avente per direttrice la curva del piano (x, z) diagramma, rispetto all asse x, della restrizione nell intervallo [; e] della funzione logaritmo. Calcolare 5 π (e ) 4 xy3 zlogx x dσ

5 9 ia la superficie cilindrica con le generatrici parallele all asse x compresa tra i piani di equazioni x = e x = ed avente per direttrice la curva del piano (y, z) che ha equazione y 4 z = e che si proietta sull asse y nell intervallo [; /]. Calcolare x ( z y + ) + 6y dσ 6 π 9 3 volgimento Esercizio n 5 Una rappresentazione parametrica della superficie è: La matrice Jacobiana associata alla superficie è: x = rcosθ : { y = rsinθ z = z J = ( x θ y θ z θ rsinθ rcosθ x z y z z ) = ( z ) La prima forma differenziale di Gauss per la superficie è: Pertanto: J G = rcosθ rsinθ + rsinθ rcosθ = r ove fdσ = r (rcosθ) 3 e z dθdz A: {(θ, z) R : π θ π ; z h} unque: r (rcosθ) 3 e z dθdz π h = r (rcosθ) 3 dθ e z dz = r 4 [e z ] h (cosθ) 3 dθ = π π = r 4 (e h ) ( sin θ)d(sinθ)dθ = 4 3 r4 (e h ) π π π volgimento Esercizio n 5 La rappresentazione parametrica della curva è x = u : { y = v z = arcsinu Mentre il dominio nel piano (u;v) è dato dalla seguente: B = {(u, v) R : v e; u }

6 Pertanto y J = z x J = y x J 3 = z x = y = y = z = u u x = z = u J = + u = u u Allora: fdσ = r arcsin u u v u B u u dudv = e = e v dv arcsin udu = v [uarcsin u + u π arcisnu u] = 4

7 Teorema della ivergenza iano un dominio regolare del piano e F = (F, F ) una applicazione da verso R di classe C (). Allora: divfdxdy = (F, N)ds dove divf è la divergenza del vettore, F(x, y) = (F (x, y); F (x, y)) definito da divf = F x + F y e (F, N) è il prodotto scalare tra il vettore F e il versore N normale a, rivolto verso l esterno di e s è l ascissa curvilinea sulla frontiera di imostrazione e la frontiera di è costituita da una curva regolare a tratti di equazioni parametriche x = x(t) e y = y(t), con t [a; b], e se il verso indotto da tale rappresentazione coincide con quello positivo della frontiera, il versore normale esterno N, quindi per la definizione di integrale curvilineo F y (F, N)ds = ( x + y F x x + y ) x + y dt = (F y F x )dt = F dy F dx + a b imostriamo questo caso utilizzando la prima formula di Gauss-Green con F al posto di F e la seconda formula con F al posto di F, abbiamo a b + da cui, sommando membro a membro, si ha F x dxdy = F dy F y dxdy = F dx Ma essendo si ha la tesi. ( F x + F y ) dxdy = F dx + F dy = divfdxdy (F, N)ds = F dy F dx + + e la frontiera di è unione di un numero finito di curve regolari a tratti (come ad esempio in una corona circolare) si ragiona suddividendo nell unione di domini normali regolari privi di punti interni in comune.

8 Osservazione: Il teorema della divergenza, anche detto teorema di Ostrogradskij per il fatto che la prima dimostrazione è dovuta a Michail Ostrogradskij, è la generalizzazione a domini n-dimensionali del teorema fondamentale del calcolo integrale. A sua volta, esso è un caso speciale del più generale teorema di tokes. a non confondere col teorema di Gauss-Green, che invece è un caso speciale (ristretto a dimensioni) del teorema del rotore, o con il teorema del flusso. Teorema della divergenza nello spazio ia un dominio regolare di R 3 e sia F(x; y; z) = F (x; y; z)i + F (x; y; z)j + F 3 (x; y; z)k un campo vettoriale di classe C (). Allora, l integrale su della divergenza del campo F è pari al flusso del campo uscente da si ha divf(x, y, z)dxdydz = F(x, y, z) n(x, y, z)dσ dove n è il campo normale alla frontiera di orientato verso l esterno del dominio Teorema del Rotore Il teorema del rotore afferma che il flusso del rotore di determinati campi vettoriali attraverso superfici regolari dotate di bordo è uguale alla circuitazione del campo lungo la frontiera della superficie. i tratta pertanto di un caso particolare del teorema di tokes. Il teorema di Green è un caso speciale del teorema del rotore che considera superfici appartenenti a R Teorema iano una superficie regolare avente il contorno chiuso e regolare orientato γ + e V R 3 un dominio contenente la superficie : ia F(x; y; z) = F (x; y; z)i + F (x; y; z)j + F 3 (x; y; z)k un campo vettoriale di classe C (V), allora sussiste la seguente formula o, equivalentemente, F dr γ + = rotf ndσ F (x, y, z)dx + F (x, y, z)dy + F 3 (x, y, z)dz γ + = [( F 3 dy F dz ) cosα + ( F z F 3 x ) cosβ + ( F x F ) cosγ] dσ y dove la curva γ + è percorsa nel verso corrispondente alla superficie orientata + cioè un osservatore che si muove sulla curva C deve avere sempre a sinistra la faccia positiva della superficie considerata

9 6 eterminare il flusso diretto verso il basso del campo vettoriale x F = ( x + y, y x + y, ) attraverso la superficie definita in forma parametrica come r(u, v) = (ucosv, usinv, u ) con u [,], v [,π] 7 ia f(x, y, z) = z(y x). Calcolare l integrale superficiale di f su σ definita su R = {(u, v) R : u ; v, u + v 6, u 8 Calcolare l integrale superficiale della funzione su Σ, parte del paraboloide ellittico situata al di sopra del piano z = f(x, y, z) = 4 + v } come σ(u, v) = (u, v, 6 u v ) y + + x 4 + 4y z = x 4 y 9 Calcola l area della calotta Σ parte della superficie di equazione z = y, intercettata dal prisma (infinito) individuato dai piani di equazione x + y = 4, y x = 4 e y = 3 Utilizzando il teorema di Gauss, determinare il flusso del campo uscente da Ω definito dalle relazioni f(x, y, z) = (x 3 + yz)i + (xz + y 3 )j + (xy + z 3 + )k x + y + z, x + y z, y, z R: 3 π( ) 3 eterminare il flusso del campo vettoriale f(x, y, z) = (xy + z 3 )i + (x + 3 y3 ) j + (x z + 3 z3 + ) k uscente dalla frontiera della calotta definita dalle relazioni x + y + z, x + y z, y, z R: π ( ) 5 3 Utilizzando il teorema di tokes, calcolare la circuitazione del campo f(x, y, z) = xi + yj + xyk lungo il bordo della superficie Σ, intersezione del cilindro x + y = 4 e del paraboloide z = x + y 9 4, orientata in modo che il versore normale punti verso l asse z.

10 33 ato il campo vettoriale R: 9 π f(x, y, z) = (y + z)i + (x + z)j + 3(x + y)k e la superficie sferica di equazione x + y + z =, calcolare il flusso del rotore di f uscente dalla parte della superficie Σ che sta al di sopra del piano z = y R:3 π i risolvano i seguenti integrali superficiali (di II specie) ata la superficie che ha la seguente forma parametrica x = uv : { y = v( u) (u, v) B z = u v + uv ato il versore normale positivo n relativo alla rappresentazione parametrica di assegnata e v è definito dalla seguente espressione v(x, y, z) = x + y + y + z i e B è il dominio rappresentato in figura, si risolva il seguente integrale di flusso (v n)dσ R: e 3 ata la superficie che ha la seguente forma parametrica : { x = usinv y = v usinv (u, v) B z = u( + sinv) v ato il versore normale positivo n relativo alla rappresentazione parametrica di assegnata e B è il dominio rappresentato in figura, si risolva il seguente integrale di flusso ex+y dxdy sin (x + y)

11 ata la superficie che ha la seguente forma parametrica x = ue v : { y = v ue v (u, v) B z = u v + ue v ato il versore normale positivo n relativo alla rappresentazione parametrica di assegnata e B è il dominio rappresentato in figura, si calcoli il flusso attraverso del vettore v(x, y, z) = (x + y + )(y + z + ) j [ e e] volgimento esercizio n 6 Calcoliamo le derivate parziali rispetto a u e v r = (cosv, sinv, u) r = ( usinv, ucosv, ) Il prodotto vettoriale che ci restituirà il vettore normale alla superficie è r r = ( u cosv, u sinv, u) La terza componente è u ed è positiva, il vettore normale è rivolto verso l alto; l esercizio richiede che n sia rivolto verso il basso; dunque prenderemo il vettore La funzione r r = (u cosv, u sinv, u) F(r(u, v)) = ( ucosv u, usinv u, )

12 Il prodotto scalare tra F(r(u, v)) e ( r r ) è Infine impostiamo l integrale volgimento esercizio n 3 F(r(u, v)) [ ( r r )] = 3u π F ndσ = 3uvudv = 3π Σ Applicando il teorema di Gauss, si ha f n Ω = divf Ω = 3(x + y + z )dxdydz Ω Passando alle coordinate sferiche, la regione Ω si trasforma in Ω definita dalle relazioni Allora: f n Ω r, φ π, θ π 4 = 3r 4 sinφdrdφdθ π π/4 = 3 π( ) volgimento esercizio n 3 Parametrizzando Σ come superficie cartesiana: σ(u, v) = (u, v, u 9 + v 4 ) con (u, v) R = {(u, v) R : u + v 4} Allora ν(u, v) = ( u, v, ) è orientato come richiesto. Per applicare il teorema di tokes, 9 osserviamo che rotf = xi yj + k e f τ Σ = ( 9 cos θ + sin θ) r 3 drdθ = 9 π π