Capitolo 1. Superfici e integrali di superficie. 1.1 Superfici regolari. Siano. x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), z = f 3 (u, v) (1.

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1 Contenuti 1 uperfici e integrali di superficie uperficiregolari Piano tangente e retta normale ad una superficie regolare Area di una superficie uperficie di rotazione e teorema di Guldino Integrali di superficie diprimaspecie Applicazionimeccaniche Integrali di superficie disecondaspecie Teoremi della divergenza e di tokes nello spazio. 24 1

2 Capitolo 1 uperfici e integrali di superficie 1.1 uperfici regolari iano x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), z = f 3 (u, v) (1.1) tre funzioni reali definite e continue in un dominio limitato e connesso D di IR 2 (un dominio connesso di IR n è la chiusura di un aperto connesso). Interpretando x, y, z come coordinate cartesiane ortogonali di un punto P dello spazio IR 3, al variare di (u, v) in D, ilcorrispondente punto P (f 1 (u, v), f 2 (u, v), f 3 (u, v)) descrive in IR 3 un luogo geometrico,detto superficie. Levariabili(u, v) sono dette parametri di. Le equazioni x = f 1 (u, v) y = f 2 (u, v) z = f 3 (u, v) (u, v) D 2

3 sono chiamate equazioni parametriche della superficie. iano i, j, k i versori degli assi x, y, z esiao l origine delle coordinate nello spazio. In forma vettoriale un superficie è rappresentata r(u, v) =P (u, v) O = = f 1 (u, v)i + f 2 (u, v)j + f 3 (u, v)k, (u, v) D. (1.2) Definizione Dato un dominio limitato connesso D del piano, è detta superficie regolare l insieme dei punti dello spazio che soddisfano l equazione (1.2) in cui f 1,f 2,f 3 verificano le seguenti condizioni di regolarità: (i) f 1,f 2,f 3 sono di classe C 1 in D, (ii) la funzione φ : D IR 3 : φ (u, v) (f 1 (u, v),f 2 (u, v),f 3 (u, v)) è invertibile perogni punti interni di D (su D ), (iii) il rango della matrice jacobiana è 2 in ogni punto interno di D, cioè rk (f 1,f 2,f 3 ) (u, v) = rk f 1 u f 1 v f 2 u f 2 v f 3 u f 3 v =2. (1.3) Definizione L insieme dei punti di corrispondenti ai punti della frontiera di D èdettobordo di esiindicacon. Definizione ia una superficie regolare di equazione vettoriale (1.2). iano (u 0,v 0 ) in punto interno di D e P 0 = P (f 1 (u 0,v 0 ),f 2 (u 0,v 0 ),f 3 (u 0,v 0 )) il corrispondente punto su. 3

4 La curva γ u tracciata sulla superficie e passante per il punto P 0 di equazione vettoriale r(u, v 0 )=f 1 (u, v 0 )i + f 2 (u, v 0 )j + f 3 (u, v 0 )k, (u, v 0 ) D, è detta curva coordinata di tipo u sulla superficie, mentre la curva γ v di equazione vettoriale r(u 0,v)=f 1 (u 0,v)i + f 2 (u 0,v)j + f 3 (u 0,v)k, (u 0,v) D è detta curva coordinata di tipo v sulla superficie Definizione I vettori tangenti alle curve coordinate γ u e γ v passanti per P 0 sono rispettivamente e r 0 u (u 0,v 0 )= f 1 (u 0,v 0 ) u r 0 v (u 0,v 0 )= f 1 (u 0,v 0 ) v i + f 2 (u 0,v 0 ) u i + f 2 (u 0,v 0 ) v j + f 3 (u 0,v 0 ) k u j + f 3 (u 0,v 0 ) k. v La condizione di regolarità (iii) espressa dall equazione (1.3) è equivalente alla condizione che i vettori tangenti r 0 u e r 0 v siano linearmente indipendenti (per ogni (u, v) D). In altre parole, la condizione (iii) della definizione di superfice regolare è equivalente alla condizione (iii ) il prodotto vettoriale r 0 u r 0 v deve essere non nullo per ogni punto interno a D. 4

5 Esempio iano D =[0,π] [ π, π] e r>0. La superficie sferica di centro l origine del sistema di riferimento e raggio r èdefinita da = {(x, y, z) IR 3 tale che x (φ, θ) = r sin φ cos θ, y (φ, θ) = r sin φ sin θ, z (φ, θ) = r cos φ, (φ, θ) D}. i dimostra facilmente che rappresenta una superficie regolare. Inoltre, i vettori tangenti alle curve coordinate γ φ,γ θ sono r 0 φ = r cos φ cos θi + r cos φ sin θj r sin φk r 0 θ = r sin φ sin θi + r sin φ cos θj, e, perciò, r 0 φ r 0 θ = r 2 sin 2 φ cos θi + r 2 sin 2 φ sin θj + r 2 sin φ cos φk Tale prodotto vettoriale è nullo se e solo se sin φ =0 φ =0,π maipunticorrispondentiatalivaloridiφ/ D.Inconclusione, r 0 φ r0 θ 6= 0 (φ, θ) D. Esempio iano D =[ r, r] [0, 2π], r>0. La superficie definita da x(u, θ) = u cos θ = {(x, y, z) IR 3 tale che y(u, θ) = u sin θ (u, θ) D}. z(u, θ) = λu 5

6 e λ 6= 0, la superfice è un cono a due falde, mentre se λ =0, èuncerchionelpianoxy. La superficie non è regolare. Infatti, la funzione φ : D IR 3 definita da φ (u, v) (u cos θ, u sin θ, λu) non è iniettiva poichè φ(0,θ)=(0, 0, 0) per ogni θ [0, 2π]. Inoltre, non è verificata neppure la condizione di regolarità (iii ); infatti r 0 u =cosvi +sinvj + λk, r 0 v = u sin vi + u cos vj, allora r 0 u r 0 v = ku cos vi ku sin vj + uk, e, quindi, r 0 u r 0 v =0 (0,v) D. 1.2 Piano tangente e retta normale ad una superficie regolare ia una superficie regolare di equazione vettoriale (1.2). ia P 0 un punto di corrispondente a (u 0,v 0 ) D. Proposizione Le rette tangenti in P 0 alle curve regolari tracciate sulla superfice epassantiperp 0 sono contenute in un medesimo piano. Questo piano è detto piano tangente alla superficie in P 0 ed è ortogonale al vettore N (u 0,v 0 ) =r 0 u (u 0,v 0 ) r 0 v (u 0,v 0 ) 6

7 Dim. ia α :[a, b] D α(t) (u(t),v(t)) un arbitraria curva regolare passante per (u 0,v 0 ) esiat 0 [a, b] il valore del parametro t tale che α(t 0 ) (u 0,v 0 ). La curva di equazione vettoriale r(t) = r(u(t),v(t)) = = f 1 (u(t),v(t))i + f 2 (u(t),v(t))j + f 3 (u(t),v(t))k passa per il punto P 0 e giace completamente sopra la superficie. Il vettore tangente a tale curva è µ dr(t) f1 = + f µ 1 f2 i + + f 2 j + dt u u0 v v0 u u0 v v0 µ f3 + + f 3 k. u u0 v v0 Il vettore tangente alla curva assegnata in P 0 è combinazione lineare dei vettori tangenti alle curve coordinate dr(t 0 ) = r 0 u (u 0,v 0 ) u 0 (t 0 )+r 0 v (u 0,v 0 ) v 0 (t 0 ). dt In conclusione, il vettore tangente ad una qualsiasi curva di passante per P 0 è parallelo al piano ortogonale al vettore N = r 0 u r 0 v. Definizione L equazione del piano tangente alla superfice in P 0 (x 0,y 0,z 0 ) è o equivalentemente (P P 0 ) r 0 u r 0 v =0 A(x x 0 )+B(y y 0 )+C(z z 0 )=0 (1.4) 7

8 dove A = C = f 2 u f 2 v f 1 u f 1 v f 3 u f 3 v f 2 u f 2 v,b =. f 1 u f 1 v f 3 u f 3 v, E ovvio che A 2 + B 2 + C 2 =(r 0 u r 0 v) 2. Definizione Il versore n (P 0 )= r0 u (u 0,v 0 ) r 0 v (u 0,v 0 ) r 0 u (u 0,v 0 ) r 0 v (u 0,v 0 ) (1.5) èortogonalealpianotangenteedèdettoversore normale alla superficie in P 0. Esempio ia D un dominio limitato e connesso del piano esiaf : D IR una funzione di classe C 1 in D. La superficie = {(x, y, z) IR 3 tale che (x, y) D e z = f(x, y) } verifica le condizioni di regolarità (i), (ii), (iii ). Ivettoritangenti alle curve coordinate γ x e γ y passanti per P sono 8

9 r 0 x = i + f x k, r0 y = j + f y k, quindi risulta sempre r x r 0 y 6= 0. ia P 0 (x 0,y 0,z 0 ) con z 0 = f(x 0,y 0 ) un punto di. L equazione del piano tangente a in P 0 è f(x 0,y 0 ) x (x x 0 )+ f(x 0,y 0 ) (y y 0 ) (z z 0 )=0. y La retta normale a nel punto P 0 è parallela al vettore r 0 x(x 0,y 0 ) r 0 y(x 0,y 0 ) =. 0 f x 1 f y i = f x i f y j + k. 1 f x 0 f y j k = 1.3 Area di una superficie Definizione ia D dominio connesso regolare e sia una superficie regolare di equazione vettoriale (1.2). ia P 0 esiaγ = γ (t) una curva contenuta in epassanteperp 0. L inclusione di γ implica l esistenza di una funzione α: t [a, b] (u = u (t), v = v (t)) D tale che P γ r(t) =r (u(t),v(t)) = P O = = f 1 (u(t),v(t)) i+f 2 (u(t),v(t)) j+f 3 (u(t),v(t)) k. 9

10 ia t 0 IR tale che P (t 0 )=P 0. Il vettore tangente a γ in P 0 è r 0 (t) = µ µ f1 u i+ f 2 u j+ f 3 u k u 0 f1 (t)+ v i+ f 2 v j+ f 3 v k v 0 (t) = = r u u 0 (t)+r v v 0 (t), eilsuomoduloè dove r 0 (t) = p (r u u 0 + r v v 0 ) (r u u 0 + r v v 0 )= = Eu 02 +2Fu 0 v 0 + Gv 02, E(u, v) = r 0 u (u, v) 2, G(u, v) = r 0 v (u, v) 2 F (u, v) =r 0 u (u, v) r 0 v (u, v). Definizione La lunghezza della curva γ contenuta in è data da b b L (γ) = r 0 (t) dt = Eu 02 +2Fu 0 v 0 + Gv 02 dt. a a Il quadrato ds 2 dell elemento di lunghezza ds sulla superficie è ds 2 = du dv µ E F F G Vale la seguente identità µ du dv = E(du) 2 +2Fdudv + G(dv) 2. = (1.6) r 0 u r 0 v 2 = r 0 u 2 r 0 v 2 (1 cos 2 θ)= = r 0 u 2 r 0 v 2 (r 0 u r 0 v) 2 = EG F 2, 10

11 dove θ èl angolo compreso tra r 0 u (u, v) e r 0 v (u, v). In conclusione, la forma quadratica definita in (1.6) è definita positiva poichè per ogni (u, v) D µ E F det F G Definizione L espressione E > 0, = EG F 2 = r 0 u r 0 v 2 > 0. dσ = r 0 u r 0 v dudv = EG F 2 dudv (1.7) è detto elemento d area della superficie regolare. Definizione i chiama area A () della superficie regolare il numero A () = r 0 u r 0 v dudv = EG F 2 dudv. D Esempio iano D =[0,π] [ π, π] ed r>0 esia x = r sin φ cos θ y = r sin φ sin θ (φ, θ) D, z = r cos φ l equazione parametrica della superficie sferica. Come visto in precedenza, risulta r 0 φ r 0 θ = r 2 sin 2 φ cos θi + r 2 sin 2 φ sin θj + r 2 sin 2 φ cos φk. D Da ciò segue r 0 φ r 0 θ = r qsin 2 4 φ cos 2 θ +sin 2 θ +sin 2 φ cos 2 φ = = r 2 qsin 2 φ sin 2 φ +cos 2 φ = r 2 sin φ. 11

12 Quindi π π A() = r 2 sin φdθdφ= dθ r 2 sin φdφ= D π 0 π = r 2 [ cos φ] π 0 dθ =2r2 [θ] π π =4πr2. π Esempio iano D un dominio limitato e connesso del piano, f : D IR una funzione di classe C 1 in D e = {(x, y, z) IR 3 tale che (x, y) D e z = f(x, y)} Per quanto detto nel paragrafo precedente, si ottiene r 0 x r 0 y = f x i f y j + k. L area della superfice è A() = s µ f 2 + D x = D q f 2 +1dx dy. Esempio iano γ la curva piana µ 2 f +1dx dy = y γ (u) =x(u)i + y(u)j con u [a, b], e la superficie = {(x, y, z) IR 3 tale che con u [a, b] econ v [0,h] } 12 x = y = z = x(u) y(u) v

13 I vettori tangenti alle curve coordinate sono e Da qui segue che r 0 u = x 0 (u)i + y 0 (u)j, r 0 v = k. E = r 0 u 2 = x 02 (u)+y 02 (u), F = r 0 u r 0 v =0, G = r 0 v 2 =1. Pertanto, l area di è A() = EG F 2 du dv = = D h b 0 dv a D q x 02 (u)+y 02 (u)du = q x 02 (u)+y 02 (u)du dv = h 0 L(γ)dv = = L(γ)[v] h 0 = hl (γ), dove L(γ) = R b p a x 0 2 (u)+y 02 (u)du è la lunghezza di γ. 1.4 uperficie di rotazione e teorema di Guldino E possibile applicare il risultati ottenuti in precedenza per calcolare l area di una superficie generata dalla rotazione attorno all asse r ( z) di una curva γ. Definizione ia γ una curva piana ed r una retta ad essa complanare. i definisce superficie di rotazione generata da γ il luogo geometrico delle traiettorie descritte dai punti di γ durante una rotazione di un angolo α intorno all asse r. 13

14 Figura 1.1: 14

15 e γ(t) =x(t)i + z(t)k èz esia x ia z l asse di rotazione e γ la curva piana contenuta nel piano γ (u) =x(u)i + z(u)k con u [a, b], esia la superficie di rotazione generata da γ x = = {(x, y, z) IR 3 tale che y = z = con u [a, b] econ v [0,α] }. x(u)cosν x(u)sinν z(u) Tale superficie è regolare. Le curve coordinate γ u = {(x(u)cosν 0,x(u)sinν 0,z(u)) IR 3 con u [a, b] }, γ ν = {(x(u 0 )cosν,x(u 0 )sinν,z(u 0 ) IR 3 con v [0,α] }. sono dette rispettivamente meridiani e paralleli. I vettori tangenti a tali curve sono e r 0 u = x 0 (t)cosνi + x 0 (t)sinνj + z 0 (t)k, r 0 ν = x(t)sinνi + x(t)cosνj. I meridiani e i paralleli sono curve ortogonali, infatti r 0 u r 0 ν =0. Teorema (Teorema di Guldino) L area della superficie generata dalla rotazione di un angolo α di una curva regolare γ è data dalla lunghezza della curva ruotante, moltiplicata per la lunghezza dell arco di circonferenza descritto nella rotazione dal baricentro. 15

16 Dim. ia I =[a, b] la base della curva γ. L area A () èdata da α b q A () = r 0 u r 0 ν dσ = dν x (t) x 0 (t) 2 + z 0 (t) 2 dt [a,b] [0,α] 0 a = α xds = αl (γ) x, γ R dove x = 1 xds è la coordinata del baricentro G di γ e L(γ) γ coincide con la distanza di G dall asse di rotazione. Chiaramente αx coincide con la lunghezza di circonferenza descritta da G durante la rotazione, e da qui si ha la tesi. Esempio E possibile determinare l area della sfera di raggio r applicando il teorema di Guldino. Infatti, pensando la sfera come una superficie generata dalla rotazione attorno all asse z della semicirconferenza di equazioni parametriche h x(u) =r cos u, z(u) =r sin u, u π 2, π i. 2 La superficie è con u = {(x, y, z) IR 3 tale che h π 2, π i 2 econ v [0, 2π] }. x = y = z = r cos u cos ν r cos u sin ν r sin u L area di tale superficie è A = 2π 0 dν = 2πr 2 π 2 π 2 π 2 π 2 p r cos t r 2 sin 2 t + 2 cos 2 tdt = cos tdt =2πr 2 [sin t] π/2 π/2 =4πr2. 16

17 1.5 Integrali di superficie di prima specie ia una superficie regolare definita nel dominio limitato e connesso D attraverso la rappresentazione parametrica x = x (u, v) y = y (u, v) z = z (u, v) (1.8) con (u, v) D IR 2. ia = { 1, 2,..., n } una suddivisione in superfici elementari, della superficie regolare realizzata mediante le curve coordinate sulla superficie. i denoti con ω i l area dell elemento di superficie s i econd i il diametro della più piccola sfera che contiene l elemento di superficie i.iano ν ( ) = max d i. 1 i n e N i (ξ i,η i,ζ i ) un punto qualsiasi di i. ia f (x, y, z) unafunzionecontinuainunassegnatodominio D dello spazio e sia una superficie regolare la quale sia interamente contenuta in D. Il valore della somma nx σ (f,,n)= f (ξ i,η i,ζ i ) ω i, (1.9) i=1 dipende, in generale, sia dal modo in cui è suddivisa la superficie esiadaipunti N i (ξ i,η i,ζ i )(i =1, 2,..., n) scelti ad arbitrio nelle singole superfici in cui è stata suddivisa la superficie Σ. La sommatoria (1.9) ha per limite il numero reale I per ν ( ) tendente a zero, e si scrive lim σ (f,,n) = ν( ) 0 lim ν( ) 0 nx f (ξ i,η i,ζ i ) ω i = I, i=1 quando >0 δ >0 tale che per tutte le suddivisioni di in elementi di superficie s i, tali che ν ( ) <δ, e comunque si scelgano i punti N i s i, risulti σ (f,,n) I <. 17

18 Quando esiste tale limite, I si denota con il simbolo I = f (x, y, z) dσ, esichiamaintegrale di superficie di prima specie esteso alla superficie. e ha la rappresentazione parametrica (1.8), allora sussiste la seguente formula di riduzione ad un integrale doppio: f (x, y, z) dσ = = f (x (u, v),y(u, v),z(u, v)) r 0 u r 0 v dudv = D = f (x (u, v),y(u, v),z(u, v)) EG F 2 dudv. D (1.10) Esempio ia = {(x, y, z) IR 3 tale che (x, y) D e z = f(x, y) } (1.11) con D IR 2 un dominio limitato e connesso e f : D IR una funzione di classe C 1 (D). In conclusione, si ha s µ 2 µ 2 f f g (x, y, z) dσ = g (x, y, f (x, y)) 1+ + dxdy. D x y (1.12) Proposizione Per gli integrali superficiali valgono le proprietà di - linearità: Qualunque siano le funzione continue f 1 e f 2 in V (dove V è un dominio di IR 3 tale che V ), allora (c 1 f 1 (x, y, z)+c 2 f 2 (x, y, z)) dσ = c 1 f 1 (x, y, z) dσ + +c 2 f 2 (x, y, z) dσ. 18

19 - additività: Per ogni funzione f continua in V, e = 1 2 unione di due superfici regolari 1 e 2,allora f (x, y, z) dσ = f (x, y, z) dσ + 1 f (x, y, z) dσ. 2 - monotonia: Date due funzioni reali f e g continue in V e tali che f (x, y, z) g (x, y, z) (x, y, z) V, allora f (x, y, z) dσ g (x, y, z) dσ. Esercizio i può calcolare il seguente integrale z p x 2 + y 2 dσ, ove èlasuperficie regolare di equazioni parametriche x = u cos v, y = u sin v, z = kv, con (u, v) [0,r] [0, 2π]. 1.6 Applicazioni meccaniche ia ρ : [0, + [ la densità di una distribuzione di massa sulla superficie. 19

20 Definizione La massa totale M èdefinita da M = ρ (x, y, z) dσ, mentre il centro di massa (baricentro) come il punto di coordinate x G = 1 xρ (x, y, z) dσ, M y G = 1 M yρ (x, y, z) dσ, G di è definito z G = 1 zρ(x, y, z) dσ. M Nel caso di una distribuzione uniforme di massa, cioè ρ costante, allora il baricentro G della superficie èdatoda x G = 1 xdσ, A() y G = 1 ydσ, A() z G = 1 zdσ. A() Definizione Il momento di inerzia della distribuzione assegnata, rispetto a un dato asse r, è I r = ρ(x, y, z)d 2 (x, y, z)dσ, dove d(x, y, z) èladistanzadelpuntop (x, y, z) dall asse r. 20

21 Esempio i può calcolare il momento d inerzia rispetto all asse x di una distribuzione uniforme di massa, di densità ρ =1,posta sulla superficie laterale del cono rappresentato parametricamente da definito da φ :[0, 1] [0, 2π] IR 3 r (u, v) =u cos vi + u sin vj + uk. è il cono di vertice l origine e avente per base il cerchio = (x, y, z) IR 3 : x 2 + y 2 1,z =1 ª. Il momento d inerzia rispetto ad x è I x = ρd 2 dσ, dove d èladistanzadelpuntop (x, y, z) dall asse x, cioèd = p y2 + z 2. I vettori tangenti della curva coordinata sono r 0 u =cosvi +sinvj + k Da qui r 0 v = u sin vi + u cos vj r 0 u r 0 v = ( u cos v, u sin v, u) = p = u 2 cos 2 v + u 2 sin 2 v + u 2 = 2u 2 = 2u. 21

22 Quindi, I x = = y 2 + z 2 dσ = [0,1] [0,2π] u 2 sin 2 v + u 2 2ududv= = 2 = π du u 2 sin 2 v + u 2 2udv = 0 2π u 3 du sin 2 v +1 dv = π. 1.7 Integrali di superficie di seconda specie Definizione ia una superficie regolare. e è possibile scegliere il versore normale in modo che, partendo da un punto P 0 e seguendo una qualsiasi curva regolare e chiusa sulla superficie, il versore normale varii con continuità e ritorni nella posizione iniziale, allora si dice che la superficie è orientabile. Il versore normale determina (localmente) l orientamento della superficie. celto un verso per la normale n a, si definisce faccia positiva della superfice regolare orientabile quella volta verso la normale positiva; l altra faccia è detta negativa. Viceversa, fissata la faccia positiva di, resta definita l orientamento della normale. La frontiera di si orienta positivamente (e in tal caso si scrive + ) scegliendo il verso di percorrenza della curva in modo da lasciare i punti di a sinistra. 22

23 Ora, sia fissato l orientamento della superficie e sia positiva la faccia superiore rispetto al piano xy, cioè la faccia per cui il versore n(= cos αi +cosβj +cosγk) della normale alla superficie forma un angolo γ 0, π 2 con l asse z. Definizione L integrale di superficie di seconda specie esteso alla superficie regolare eorientata èdefinito da F 1 (x, y, z) dydz + F 2 (x, y, z) dzdx + F 3 (x, y, z) dxdy (1.13) + = [F 1 (x, y, z)cosα + F 2 (x, y, z)cosβ + F 3 (x, y, z)cosγ] dσ = + = F ndσ, dove F = F 1 (x, y, z) i + F 2 (x, y, z) j + F 3 (x, y, z) k. Il termine F ndσ, rappresenta il flusso del campo vettoriale F attraverso la superficie. Il flusso del campo vettoriale F cambia di segno se cambia l orientamento di (cioè il verso di n). ia la superficie di equazione r = x (u, v) i + y (u, v) j + z (u, v) k, (u, v) D IR 2, allora dalle equazioni (1.5, 1.13) si ottiene che F 1 (x, y, z) dydz + F 2 (x, y, z) dzdx + F 3 (x, y, z) dxdy + = ± F (x (u, v),y(u, v),z(u, v)) r 0 u r 0 vdudv, (1.14) D dove il segno + se e D hanno lo stesso orientamento, mentre il segno se e D non hanno lo stesso orientamento. 23

24 1.8 Teoremi della divergenza e di tokes nello spazio Il teorema della divergenza nello spazio è simile a quello nel piano e trasforma un integrale triplo in un integrale superficiale: Teorema (Teorema della divergenza) ia D un dominio regolare di IR 3 esiaf (x, y, z)=f 1 (x, y, z) i+f 2 (x, y, z) j+f 3 (x, y, z) k un campo vettoriale di classe C 1 (D). Allora, l integrale su D della divergenza del campo F èparialflusso del campo uscente da D si ha divf (x, y, z) dxdydz = F (x, y, z) n (x, y, z) dσ, D D + dove n è il campo normale alla frontiera D di D orientato verso l esterno del dominio D. E facile provare il teorema di tokes che permette di trasformare un integrale esteso ad una superficie regolare in un integrale curvilineo esteso al bordo di Teorema (Formula di tokes) iano una superficie regolare avente il contorno chiuso e regolare orientato γ + e V IR 3 un dominio contenente la superficie. ia F (x, y, z)=f 1 (x, y, z) i+f 2 (x, y, z) j+ F 3 (x, y, z) k un campo vettoriale di classe C 1 (V ), allorasussiste la seguente formula I F dr = rotf ndσ, (1.15) γ + 24

25 o, equivalentemente, I = F 1 (x, y, z) dx + F 2 (x, y, z) dy + F 3 (x, y, z) dz =(1.16) γ + µ F3 y F µ 2 F1 cos α + z z F 3 cos β+ x µ F2 + x F 1 cos γ dσ y dove la curva γ + è percorsa nel verso corrispondente alla superficie orientata +, cioè un osservatore che si muove sulla curva C deve avere sempre a sinistra la faccia positiva della superficie considerata. Definizione L integrale H γ + F dr è detto circuitazione del campo vettoriale lungo la curva chiusa e regolare γ +. Esempio Calcolare l integrale di superficie di seconda specie 1 yzdydz zxdzdx + 1+x 2 + y 2 + z dxdy 2 esteso alla superficie ½ P (x, y, z) : = x = u cos v, y = u sin v, z = v, (u, v) [0, 1] [0, 2π] ¾. Essendo r (u, v) =u cos vi + u sin vj + vk, siricava r 0 u =cosvi +sinvj e r 0 v = u sin vi+u cos vj + k, 25

26 per cui E =1,F =0,G=1+u 2 e dσ = 1+u 2 dudv. Pertanto, con la formula (1.14), otteniamo 1 I = yzdydz zxdzdx + 1+x 2 + y 2 + z dxdy = µ 2 u 2π 1 µ u = uv + dudv = dv uv + du = D 1+u 2 + v u 2 + v 2 2π 1 = v +log 2+v 2 log 1+v 2 dv = 0 2 = π 2 + v log 2+v 2 log 2π µ 1+v 2 2π v v v2 dv = 2 1+v µ 2 = π π log 1+ + ³ 2 arctan π 2 arctan (2π). 1+4π 2 26