Esame di Analisi Funzionale e Trasformate Quinto appello. Febbraio 2018 A.A. 2016/2017. Prof. M. Bramanti

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Cornelio Gentile
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1 Esame di Analisi Funzionale e Trasformate Quinto appello. Febbraio 28 A.A. 26/27. Prof. M. Bramanti Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Dom Dom 2 Dom 3 Es Es 2 Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta) A. 6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. B. 6 punti). Dopo aver dato la definizione di spazio vettoriale con prodotto scalare e norma indotta dal prodotto scalare, enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, la disuguaglianza triangolare per la norma e l uguaglianza del parallelogramma. C. 6 punti). Dare la definizione di funzione L-trasformabile, ascissa di convergenza, semipiano di convergenza, trasformata di Laplace. Quindi, mostrare la relazione fra trasformata di Laplace e trasformata di Fourier, ricavando formalmente cioè senza dimostrazione rigorosa) una formula di antitrasformazione per la trasformata di Laplace. D. 6 punti). Le operazioni di traslazione, dilatazione, riflessione, moltiplicazione per una funzione, di una distribuzione in D R): mostrare come si arriva alle definizioni di queste operazioni in modo che siano un estensione degli analoghi concetti per le funzioni. Esemplificare poi queste operazioni nel caso della distribuzione T δ x con x R.

2 Svolgere i seguenti esercizi. 5 punti). Ortonormalizzare nello spazio di Hilbert L 2, + ), xdx) le funzioni f x) e x, f 2 x) e 2x. Suggerimento: Calcolare prima di tutto l integrale I k e kx xdx per k > qualsiasi, e usare questo risultato nei calcoli successivi) punti). Si consideri il problema di Cauchy y + 2y 3y f t) y ) y ) Usando il metodo della trasformata di Laplace, determinare la soluzione di questo problema per un generico termine noto f definito in, + ) e L- trasformabile punti). Si consideri la distribuzione temperata S associata alla funzione f x) x3 + 2x 2 x 2 + e se ne calcoli la trasformata di Fourier nel senso delle distribuzioni temperate. Si scriva quindi, per una generica φ a decrescenza rapida, l espressione Ŝ, φ in modo esplicito, cioè senza coinvolgere φ. 2

3 Esame di Analisi Funzionale e Trasformate Quinto appello. Febbraio 28 A.A. 26/27. Prof. M. Bramanti Svolgimento Dom Dom 2 Dom 3 Es Es 2 Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta) A. 6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. [Risposta: v. Dispensa,.2.] B. 6 punti). Dopo aver dato la definizione di spazio vettoriale con prodotto scalare e norma indotta dal prodotto scalare, enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, la disuguaglianza triangolare per la norma e l uguaglianza del parallelogramma. [Risposta: v. Dispensa, 4.] C. 6 punti). Dare la definizione di funzione L-trasformabile, ascissa di convergenza, semipiano di convergenza, trasformata di Laplace. Quindi, mostrare la relazione fra trasformata di Laplace e trasformata di Fourier, ricavando formalmente cioè senza dimostrazione rigorosa) una formula di antitrasformazione per la trasformata di Laplace. [Risposta: v. Dispensa, 6.] D. 6 punti). Le operazioni di traslazione, dilatazione, riflessione, moltiplicazione per una funzione, di una distribuzione in D R): mostrare come si arriva alle definizioni di queste operazioni in modo che siano un estensione degli analoghi concetti per le funzioni. Esemplificare poi queste operazioni nel caso della distribuzione T δ x con x R. [Risposta: v. Dispensa, 7.2.3] 3

4 Svolgere i seguenti esercizi. 5 punti). Ortonormalizzare nello spazio di Hilbert L 2, + ), xdx) le funzioni f x) e x, f 2 x) e 2x. Suggerimento: Calcolare prima di tutto l integrale I k e kx xdx per k > qualsiasi, e usare questo risultato nei calcoli successivi). I k e kx xdx per parti) k 2 [ e kx ] + k 2. ] + [ xe kx k + e kx k dx e 2x e x f 2 L 2,+ ),xdx) e 2x xdx I 2 4 f L2,+ ),xdx) 2 e vers f ) 2e x f 2, e 2 e 3x xdx 2I e 2 vers f 2 f 2, e e ) vers e 2x 49 ) e x L 2,+ ),xdx) e 2x 4 9 e x ) 2 xdx e 4x 8 9 e 3x + ) ) 2 4 e 2x xdx 9 I 4 8 ) I 3 + I e 2x L2 e x,+ ),xdx) 4 9 e 2 vers e 2x 49 ) e x 36 e 2x 4 ) 7 9 e x punti). Si consideri il problema di Cauchy y + 2y 3y f t) y ) y ) 4

5 Usando il metodo della trasformata di Laplace, determinare la soluzione di questo problema per un generico termine noto f definito in, + ) e L- trasformabile. a. Applicando la trasformata di Laplace, indicando con Y e F le trasformate di y e f, si ha: s 2 Y s) sy ) y ) + 2 sy s) y )) 3Y s) F s) Antitrasformiamo G e H. Y s) s 2 + 2s 3 ) s 2 F s) Y s) F s) s 2 + 2s 3 + s + 2 s 2 + 2s 3 F s) G s) + H s). s 2 + 2s 3 a s + b s + 3 s a + b) + 3a b) { a + b 3a b G s) 4 g t) 4 et 4 e 3t 4a ; a 4 ; b 4 s 4 s + 3 L 4 et ) 4 e 3t s + 2 s 2 + 2s 3 a s + b s + 3 s a + b) + 3a b) s + 2 { a + b 3a b 2 H s) 3 4 h t) 3 4 et + 4 e 3t 4a 3; a 3 4 ; b 4 s s + 3 L 4 et + ) 4 e 3t 5

6 In definitiva: y t) g f) t) + h t) 3 4 et + 4 e 3t + 4 t e t τ e 3t τ)) f τ) dτ punti). Si consideri la distribuzione temperata S associata alla funzione f x) x3 + 2x 2 x 2 + e se ne calcoli la trasformata di Fourier nel senso delle distribuzioni temperate. Si scriva quindi, per una generica φ a decrescenza rapida, l espressione Ŝ, φ in modo esplicito, cioè senza coinvolgere φ. Riscriviamo anzitutto f x) x3 + 2x 2 x 2 + x + 2 x + 2 x 2 +. Ora la funzione f x) x + 2 è una distribuzione temperata ma non una funzione L o L 2 ), e si ha: F x + 2) 2πi δ + 2δ i 2π δ + 2δ mentre la funzione f 2 x) x+2 x 2 + sta in L2 R) e la sua trasformata di Fourier si può calcolare col metodo dei residui: F x + 2 ) x 2 ξ) x R x 2 + e 2πixξ dx ) 2πi Res z+2 z 2 + e 2πizξ, i se ξ < ) 2πi Res z+2 z 2 + e 2πizξ, i se ξ > { 2πi z+2 2z e 2πizξ) se ξ < zi 2πi z+2 2z e 2πizξ) se ξ > z i { π 2 + i) e 2πξ se ξ < π 2 i) e 2πξ πe 2π ξ 2 + i sgn ξ) se ξ > e in definitiva e Ŝ, φ Ŝ i 2π δ + 2δ + πe 2π ξ 2 + i sgn ξ) i 2π φ ) + 2φ ) + π R e 2π x 2 + i sgn x) φ x) dx. 6

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