Equazione di Keplero (eqz. nonlineari).

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1 Equazione di Keplero (eqz. nonlineari). Risolvere col metodo di Newton, col metodo di bisezione e di punto fisso l equazione di Keplero: E = M + e sin(e) dove e è l eccentricità del pianeta, M l anomalia media del pianeta ad un dato istante e E l anomalia eccentrica. Dati: e = 0.100, M = 5 gradi. Risolvere con una precisione di gradi. Attenzione: M, E sono in radianti! Alvise Sommariva Matlab: esercizi per casa. 1/ 13

2 Equazione di Keplero (eqz. nonlineari). Note. L equazione è in radianti, ma i dati sono in gradi. La funzione dipende dai parametri M, e. Se si usa inline, si osservi che possono essere descritti subito: >> % f ( x )=A x+sin (B x ) con A=2, B=3. >> f=inline ( 2 x+sin (3 x) ) f = Inline function : f(x) = 2 x+sin (3 x) >> Se si usa una function g.m: function y=g(x) M =... ; e=... ; y =... ; Se usiamo bisezione per calcolare gli zeri di g descritta in g.m [aa,bb,ko]=bisezione (a,b,tinv,tres,maxit, g ) ; Alvise Sommariva Matlab: esercizi per casa. 2/ 13

3 Sulla distanza Marte/Terra (interpolazione). Consideriamo la distanza di Marte dalla Terra dal 4 all 8 agosto 1969 a 0 h TD. I valori sono dati in unità astronomiche. 4 agosto agosto agosto agosto agosto Dalla tavola calcolare la distanza di Marte dalla Terra il 7 agosto 1969 a 4 h 21 m. Alvise Sommariva Matlab: esercizi per casa. 3/ 13

4 Sulle macchie solari. Consideriamo la tabella proposta dalla rivista belga Heelal del settembre 1978, che per ognuno dei venti massimi di macchie solari avvenuti tra il 1761 ed il 1969, propone intervallo di tempo x e la media mensile più alta y: x y x y Dalla tavola e dalla retta di miglior approssimazione y = a + b x dedurre se è vero che più lunga è la durata dell aumento da un minimo al prossimo massimo di attività solare, minore è, in generale, tale massimo. Eseguire grafico dei dati e della retta di miglior approssimazione. Alvise Sommariva Matlab: esercizi per casa. 4/ 13

5 Su un orbita ellittica. Nel file ellipse data.m sono salvati dei vettori di ascisse e ordinate che rappresentano un ellisse (del piano cartesiano xy) centrata nell origine, ma con piccole perturbazioni sui dati. Per ottenere un simile file, basta eseguire il codice function [x,y]=ellipse_data theta =0:0.1:2 pi ; a=3; b=5; x=a cos (theta ) +10ˆ( 2) rand ( length (theta),1) ; y=b sin (theta ) +10ˆ( 2) rand ( length (theta),1) ; od aprire un file precedentemente salvato function [x,y]=ellipse_data data =[ ]; x=data ( :,1) ; y=data ( :,2) ; Alvise Sommariva Matlab: esercizi per casa. 5/ 13

6 Su un orbita ellittica. Ricordato che l ellisse ha equazione ed equazione parametrica Ax 2 + By 2 = 1 (x,y) = (a cos (t),b sin(t)) calcolare con il metodo dei minimi quadrati A,B e di conseguenza a,b (qual e il legame tra A e a, B e b?). Di seguito eseguire il grafico dei dati e dell ellisse ottenuta con il metodo dei minimi quadrati. Suggerimento: nel grafico, usare punti test in [0,2π] e la rappresentazione parametrica. Alvise Sommariva Matlab: esercizi per casa. 6/ 13

7 Facoltativo: Su un orbita ellittica. Dopo la prima parte del problema si sono ottenuti dei valori a, b cosicchè l ellisse ha eqz. parametriche (x,y) = (a cos (t),b sin(t)), t [0,2π]. Siano t k = (k 1)h con h = 2π/20 e k = 1,...,21. Si calcolino le splines lineari e cubiche s x, s y interpolanti risp. {(t k,u(t k ))} k, {(t k,v(t k ))} k, con u, v le funzioni { u(t) = a cos (t) v(t) = b sin(t) Usare non solo splines not-a-knot ma anche splines vincolate (scegliere il vincolo!). Quindi, utilizzando 1000 nodi test equispaziati in [0,2π], eseguire il grafico dell ellisse (u(t),v(t)) e (s x (t),s y (t)). Confrontare i risultati ottenuti. Era possibile prevedere l errore fornito dalle splines lineari? Alvise Sommariva Matlab: esercizi per casa. 7/ 13

8 Quadratura numerica. Calcolare per n = 1,...,100 il valore approssimato S (1000) di I n = exp( 1) 1 0 x n exp (x)dx con la formula comp. di Cav.-Simpson su 1000 intv. equisp. Calcolare per n = 1,...,100 il valore approssimato S (2000) di I n = exp( 1) 1 0 x n exp (x)dx con la formula comp. di Cav.-Simpson su 2000 intv. equisp. Calcolare per n = 1,...,100 il valore di E n = S (2000) n S (1000) n. Confrontare il risultato con quello fornito da una particolare successione ricorsiva all indietro In. Eseguire il grafico degli err. ass. In S n (1000), In S n (2000). Alvise Sommariva Matlab: esercizi per casa. 8/ 13 n n

9 Cubatura numerica. Sia Ω = {(x,y,w,z) [0,1] 4,x + y + w + z 1}. Calcolare l integrale x cos (y) exp (w) z 10 dx dy dw dz Ω con il Metodo di Montecarlo avente 4 k nodi e quello di Sobol, basato su una sequenza con la stessa cardinalità. Com è fatto il dominio Ω? Alvise Sommariva Matlab: esercizi per casa. 9/ 13

10 Algebra lineare. Esercizio 1. In una tavoletta del 2000 A.C. si trova scritto: l area totale di due campi è 1800 sar, la rendita del primo è 2 silà di grano ogni 3 sar, la rendita del secondo è di un silà di grano ogni 2 sar. La rendita totale del primo eccede l altra di 500 silà. Determinare utilizzando la fattorizzazione LU con pivoting le dimensioni dei 2 campi e le rendite di ogni campo. Alvise Sommariva Matlab: esercizi per casa. 10/ 13

11 Algebra lineare. Esercizio 2. Si consideri la matrice di Hilbert 4 4 A = 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 e il vettore b = (1,0,0,0) T. Trovare la soluzione esatta del problema Ax = b analiticamente e quindi usando il metodo di eliminazione gaussiana con pivoting. Sono i risultati accurati? Suggerimento: usare il comando hilb per definire la matrice di Hilbert. Alvise Sommariva Matlab: esercizi per casa. 11/ 13

12 Metodi iterativi. Eseguire una routine iterstat che implementi, date due matrici M ed N, un metodo iterativo stazionario. Quale criterio di arresto si utilizzi x (k+1) x (k) < tol con tol tolleranza richiesta dall utente. Usare iterstat per definire due altre routines jacobi e gs che implementano il metodo di Jacobi e Gauss Seidel, per risolvere il problema Ax = b. Se necessario usare i comandi diag, tril e triu. Risolvere i due sistemi lineari precedentemente richiesti. Alvise Sommariva Matlab: esercizi per casa. 12/ 13