Corso di Laurea in Ingegneria dell Energia ANALISI MATEMATICA I. Prova scritta del 9 Giugno 2012 FILA 2

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1 Corso di Laurea in Ingegneria dell Energia ANALISI MATEMATICA I Prova scritta del 9 Giugno FILA Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera chiara e leggibile. Allegare il presente foglio allo scritto. () Dimostrare la seguente diseguaglianza < n, n >. () Data la funzione determinare: f(x) = x 4x, (a) campo di esistenza, comportamento agli estremi del c.e., eventuali asintoti; (b) eventuali punti di massimo o di minimo relativo, intervalli di monotonia; (c) intervalli di concavità o convessità. Tracciare un grafico approssimato di f. () Dimostrare che per ogni m N vale l identità cos (mx) dx = π (4) Risolvere il problema di Cauchy: u (t) u (t) + 5u(t) = te t, u() =, u () =.

2 RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI. () < n, n >. Svolgimento. Dimostriamo per induzione. Per n = è verificata perché + < <. Verifichiamo l induttività della proposizione. n+ = + n + < (per l ipotesi induttiva) n + n + < n +. La validità dell ultimo passaggio si dimostra nel modo seguente n + n + < n + n(n + ) + < (n + ) n(n + ) < n + 4n + 4n < 4n + + 4n <. () Data la funzione determinare: f(x) = x 4x, (a) campo di esistenza, comportamento agli estremi del c.e., eventuali asintoti; (b) eventuali punti di massimo o di minimo relativo, intervalli di monotonia; (c) intervalli di concavità o convessità. Tracciare un grafico approssimato di f. Svolgimento Campo di esistenza. Limiti all infinito. x x = x x = x. f(x) = x + x + x 6x x + 4x = x + f(x) = x 4x = +. x x + x x + 4x =.

3 Si osservi che in questo caso il ite non si presenta in forma indeterminata. Asintoti obliqui. f(x) m = x + x = x + x 4 = 4. q = x + f(x) ( 4)x = x + x + x + 4x =. Quindi l asintoto per x + è: y = ( 4)x. f(x) x x = x x 4 = 4. Nel passaggio sopra abbiamo utilizzato il fatto che se x < allora x = x. q = x f(x) + ( + 4)x = x x + x 4x =. Quindi l asintoto per per x : y = ( + 4)x. Studio della monotonia e dei massimi o minimi relativi mediante la derivata prima. f (x) = Risulta f (x) > per x > 4 x, ovvero x x 4. x x 69x > 8x 64. Da cui < x < 4 = x. Su questo intervallo la funzione è crescente. Inoltre la derivata prima è negativa negli intervalli ( ), e ( ) 4,+, su questi intervalli la funzione è decrescente. Il punto x = 4 è di massimo relativo. Studio della conevessità o concavità mediante la derivata seconda. f 69 (x) = (x ) x. ( ) ( ) Risulta che per ogni x,,+, la derivata seconda è negativa e quindi la funzione è convessa su ciascuna di queste semirette.

4 y x x x x () Dimostrare che per ogni m N{} vale l identità cos (mx) dx = π Svolgimento. Effettuiamo nell integrale il seguente cambio di variabile: mx = y, da cui dx = dy m. Mentre gli estremi diventano per x =, y =, e per x = π, y = mπ. Di conseguenza, tenuto conto delle formule di duplicazione del coseno, possiamo scrivere cos (mx) dx = m cos y dy = m + cos y dy = = m [y]mπ + m cos y dy = π + [sin y]mπ = π 4m. L ultimo passaggio é giustificato dalla periodicità della funzione seno: sinmπ = sin π =, per ogni m Z. (4) Risolvere il problema di Cauchy: u (t) u (t) + 5u(t) = te t, u() =, u () =. 4

5 Svolgimento Calcoliamo le radici del polinomio caratteristico associato risolvendo: λ λ + 5 =. Questo ammette come radice λ = 5 con molteplicità. Lo spazio delle soluzioni dell equazione omogenea è quindi V = {C e 5t + C te 5t, C, C C}. Cerchiamo una soluzione particolare della non omogenea del tipo u f (t) = (At + B)e t, con A, B R. Calcoliamo le sue derivate, u f (t) = (A + B + At)et, u f (t) = (A + B + At)et, e sostituiamole nell equazione (A + B + At)e t (A + B + At)e t + 5(At + B)e t = te t. Semplificando ed imponendo l eguaglianza tra il polinomio al primo e quello al secondo membro otteniamo il sistema 6A = 8A + 6B =, da cui A = 6, B =. Lo spazio delle soluzioni dell equazione è { ( V f = C e 5t + C te 5t + 6 t + ) } e t, C, C C. Imponiamo ora le condizioni iniziali dalle quali segue il sistema u() = C + =, u () = 5C + C = C + = 5C + C + =, In definitiva la soluzione del problema di Cauchy è u(t) = e5t + 6 te5t + C =, C = 6. ( 6 t + ) e t. 5