Soluzioni. Notiamo preliminarmente che tale soluzione continua esiste, in quanto le condizioni iniziali ed al bordo sono tra di loro compatibili.

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1 Es. Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Politecnico di Milano - Ingegneria Energetica Metodi Analitici e Numerici (A) 4 Luglio 27 Cognome Nome Matricola Esercizio. Sia u = u(x, t) la soluzione continua del t u(x, xu(x, 2 t) =, in (, ) (, +), >< u(,t)=2te 2 t, in (, +), u(,t)= 2 te 2t +, in (, +), > u(x, ) = 3x 2 2x 3, in (, ). a. Mostrare che u(x, t) è non negativa; b. determinare una limitazione superiore per u(x, t). Soluzioni Notiamo preliminarmente che tale soluzione continua esiste, in quanto le condizioni iniziali ed al bordo sono tra di loro compatibili. a. In virtù del principio del massimo (minimo), è su ciente mostrare che u è non negativa sulla frontiera = {(,t)t }[{(,t)t }[{(x, ) x 2 [, ]}. Questo è immediato in quanto u(,t)=2te 2 t, u(,t)= 2 te 2t + e u(x, ) = 3x 2 2x 3. b. Utilizzando ancora il principio del massimo, abbiamo che max u(x, t) = max u(x, t). x2[,],t (x,t)2@q Dalle semplici limitazioni u(,t) apple u(, 2) = 4e, u(,t) apple u, = 2 4 e + e u(x, ) u(,x)=, si deduce u(x, t) apple max 4e, 4 e +, =4e, x 2 [, ], t.

2 Esercizio 2. Si consideri il problema di Neumann u(x, y) =, (x, y) 2 (, ) (, ), x x u(,y)=, y 2 (, ), y u(x, ) y u(x, ) = 2 cos 2 (2 x), x 2 (, ). a. Verificare la compatibilità delle condizioni al bordo; b. specificare se la soluzione di tale problema è unica; c. determinare una formula di rappresentazione per u(x, y). [Suggerimento può essere utile ricordare l identità trigonometrica cos 2 # = cos(2#)] Soluzioni a. Per verificare la compatibilità delle condizioni al bordo è necessario dimostrare la n ud x u(,y)dy x u(,y)dy y u(x, )dx y u(x, )dx =. Poichè i primi tre addendi sono nulli, dovremo verificare che anche l ultimo integrale vale zero. Utilizzando la relazione (vedi suggerimento) è immediato verificare che cos 2 (2 x) = cos(4 y u(x, )dx = 2 cos 2 (2 x) dx = cos(4 x)dx =. b. La soluzione del problema proposto non è unica. Se infatti u(x, y) risolve il problema, allora anche u(x, y)+c è soluzione, per ogni valore della costante additiva c 2 R. c. Utilizziamo la separazione di variabili. Cerchiamo una soluzione del problema della forma u(x, y) = (x) (y), con 6=, 2 C 2 ([, ]). Derivando tale funzione, grazie all equazione di Laplace si vede che e soddisfano le identità (x) (x) = (y) (y) = 2 R (incognita da determinare). Considerando l equazione per, si deduce che essa risolve il problema ai limiti < (x)+ (x) =, x 2 (, ), () = () = il quale ammette soluzioni non banali se, e solo se = n = 2 n 2 e in questi casi (x) = n (x) =c n cos( nx), x 2 (, ) (c n costante incognita da determinare).

3 Si noti che la soluzione (x) =c, corrispondente all autovalore = è costante. Per quanto riguarda, essa risolve il problema < (y) 2 n 2 (y) =, y 2 (, ), () =, che ammette come soluzioni (y) = n (y) =d n Ch( ny), y 2 (, ) (d n costante incognita da determinare). Quindi, una generica soluzione del problema ha la forma u(x, y) =C + +X n= C n cos( nx)ch( ny), (x, y) 2 (, ) (, ). Per determinare la costanti incognite C n = c n d n (n non considerata), per dedurre l identità ), utilizziamo la condizione y u(x, ) y u(,y)= +X n= nc n cos( nx)sh( n) = 2 cos 2 (2 x). Utilizzando ancora la relazione trigonometrica cos 2 (2 x) = cos(4 x) ed il teorema di ortogonalità <, n = m, cos(n x) cos(m x)dx =, n 6= m, abbiamo quindi che <, n =4, nc n Sh( n) =, n,n6= 4, () C 4 = 4 Sh(4 ) e C n = n,n6= 4. La soluzione del problema proposto sarà infine u(x, y) =C cos(4 x)ch(4 y), (x, y) 2 (, ) (, ). 4 Sh(4 ) Si noti che tale soluzione dipende dalla costante additiva C (cf. punto b).

4 Esercizio 3. Determinare la soluzione u = u(x, t) del problema t u(x, xu(x, 2 t) =3t 2 2xt + e t, in R (, +), u(x, ) =, in R. Verificare i risultati. Soluzioni Utilizziamo la formula risolutiva u(x, t) = t + p e 4 (x y) y + e dyd. Ricordando l uguaglianza abbiamo e t t + p e 4 + p ye 4 + e y2 + 4 dy = e (x y)2 t e dyd = (x y)2 t 4 dyd = (x y)2 4 dy = p 4, + p (x y)e y2 4 dyd e d = t 3 + e t t = x = x t + p 4 d t e y2 4 dyd apple ( 2 ) p e y2 4 4 t + + p 4 d = 2 xt2. ye y2 4 dyd Quindi, la soluzione u del problema proposto è u(x, t) =t 3 + e t xt 2.

5 Esercizio 4. Determinare la antitrasformata di Laplace della funzione F (s) = s3 +2s 2 s + s 4. Soluzioni In virtù della decomposizione F (s) = s s + + s s 2 +, e ricordando le antitrasformate delle funzioni elementari, abbiamo apple apple s L [F ](t) =L s (t) L s + (t)+l apple s s 2 + (t) = e t e t + cos t.

6 Es. Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Politecnico di Milano - Ingegneria Energetica Metodi Analitici e Numerici (B) 4 Luglio 27 Cognome Nome Matricola Esercizio. Sia u = u(x, t) la soluzione continua del t u(x, xu(x, 2 t) =, in (, ) (, +), >< u(,t)=2te 2 t, in (, +), u(,t)= 2 te 2t +, in (, +), > u(x, ) = 4x 3 3x 4, in (, ). a. Mostrare che u(x, t) è non negativa; b. determinare una limitazione superiore per u(x, t). Soluzioni Notiamo preliminarmente che tale soluzione continua esiste, in quanto le condizioni iniziali ed al bordo sono tra di loro compatibili. a. In virtù del principio del massimo (minimo), è su ciente mostrare che u è non negativa sulla frontiera = {(,t)t }[{(,t)t }[{(x, ) x 2 [, ]}. Questo è immediato in quanto u(,t)=2te 2 t, u(,t)= 2 te 2t + e u(x, ) = 4x 3 3x 4. b. Utilizzando ancora il principio del massimo, abbiamo che max u(x, t) = max u(x, t). x2[,],t (x,t)2@q Dalle semplici limitazioni u(,t) apple u(, 2) = 4e, u(,t) apple u, = 2 4 e + e u(x, ) u(,x)=, si deduce u(x, t) apple max 4e, 4 e +, =4e, x 2 [, ], t.

7 Esercizio 2. Si consideri il problema di Neumann u(x, y) =, (x, y) 2 (, ) (, ), x x u(,y) = 2 cos 2 (2 y), y 2 (, ), y u(x, ) y u(x, ) =, x 2 (, ). a. Verificare la compatibilità delle condizioni al bordo; b. specificare se la soluzione di tale problema è unica; c. determinare una formula di rappresentazione per u(x, y). [Suggerimento può essere utile ricordare l identità trignometrica cos 2 # = cos(2#)] Soluzioni a. Per verificare la compatibilità delle condizioni al bordo è necessario dimostrare la n ud x u(,y)dy x u(,y)dy y u(x, )dx y u(x, )dx =. Poichè gli ultimi tre addendi sono nulli, dovremo verificare che anche il primo integrale vale zero. Utilizzando la relazione (vedi suggerimento) è immediato verificare x u(,y)dy = cos 2 (2 y) = cos(4 y) 2 cos 2 (2 y) dy = cos(4 y)dy =. b. La soluzione del problema proposto non è unica. Se infatti u(x, y) risolve il problema, allora anche u(x, y)+c è soluzione, per ogni valore della costante additiva c 2 R. c. Utilizziamo la separazione di variabili. Cerchiamo una soluzione del problema della forma u(x, y) = (x) (y), con 6=, 2 C 2 ([, ]). Derivando tale funzione, grazie all equazione di Laplace si vede che e soddisfano le identità (x) (x) = (y) (y) = 2 R (incognita da determinare). Considerando l equazione per, si deduce che essa risolve il problema ai limiti < (y)+ (y) =, y 2 (, ), () = () = il quale ammette soluzioni non banali se, e solo se = n = 2 n 2 e in questi casi (y) = n (y) =c n cos( ny), x 2 (, ) (c n costante incognita da determinare).

8 Si noti che la soluzione (x) =c, corrispondente all autovalore = è costante. Per quanto riguarda, essa risolve il problema < (x) 2 n 2 (x) =, x 2 (, ), () =, che ammette come soluzioni (x) = n (x) =d n Ch( nx), x 2 (, ) (d n costante incognita da determinare). Quindi, una generica soluzione del problema ha la forma u(x, y) =C + +X n= C n Ch( nx) cos( ny), (x, y) 2 (, ) (, ). Per determinare la costanti incognite C n = c n d n (n non considerata), per dedurre l identità ), utilizziamo la condizione x u(,y) x u(,y)= +X n= nc n Sh( n) cos( ny) = 2 cos 2 (2 x). Utilizzando ancora la relazione trigonometrica cos 2 (2 x) = cos(4 x) ed il teorema di ortogonalità <, n = m, cos(n y) cos(m y)dy =, n 6= m, abbiamo quindi che <, n =4, nc n Sh( n) =, n,n6= 4, () C 4 = 4 Sh(4 ) e C n = n,n6= 4. La soluzione del problema proposto sarà infine u(x, y) =C + Ch(4 x) cos(4 y), (x, y) 2 (, ) (, ). 4 Sh(4 ) Si noti che tale soluzione dipende dalla costante additiva C (cf. punto b).

9 Esercizio 3. Determinare la soluzione u = u(x, t) del problema t u(x, xu(x, 2 t) =2xt 3t 2 e t, in R (, +), u(x, ) =, in R. Verificare i risultati. Soluzioni Utilizziamo la formula risolutiva u(x, t) = t + p e 4 (x y)2 4 2xt 3t 2 e t dyd. Ricordando l uguaglianza abbiamo e t t + p e 4 + p ye 4 + e y2 + 4 dy = e (x y)2 t e dyd = (x y)2 t 4 dyd = (x y)2 4 dy = p 4, + p (x y)e y2 4 dyd e d = t 3 + e t t = x = x t + p 4 d t e y2 4 dyd apple ( 2 ) p e y2 4 4 t + + p 4 d = 2 xt2. ye y2 4 dyd Quindi, la soluzione u del problema proposto è u(x, t) =xt 2 t 3 +e t.

10 Esercizio 4. Determinare la antitrasformata di Laplace della funzione F (s) = s2 +3 s 4. Soluzioni In virtù della decomposizione F (s) = s + s + + s 2 +, e ricordando le antitrasformate delle funzioni elementari, abbiamo L [F ](t) = L apple s (t)+l apple s + (t)+l apple s 2 + (t) = e t + e t +sint.

11 Es. Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Politecnico di Milano - Ingegneria Energetica Metodi Analitici e Numerici (A) 4 Luglio 27 Cognome Nome Matricola Esercizio. Sia u = u(x, t) la soluzione continua del t u(x, xu(x, 2 t) =, in (, ) (, +), >< u(,t)=2te 2 t, in (, +), u(,t)= 2 te 2t +, in (, +), > u(x, ) = 3x 2 2x 3, in (, ). a. Mostrare che u(x, t) è non negativa; b. determinare una limitazione superiore per u(x, t).

12 Esercizio 2. Si consideri il problema di Neumann u(x, y) =, (x, y) 2 (, ) (, ), x x u(,y)=, y 2 (, ), y u(x, ) y u(x, ) = 2 cos 2 (2 x), x 2 (, ). a. Verificare la compatibilità delle condizioni al bordo; b. specificare se la soluzione di tale problema è unica; c. determinare una formula di rappresentazione per u(x, y). [Suggerimento può essere utile ricordare l identità trignometrica cos 2 # = cos(2#)]

13 Esercizio 3. Determinare la soluzione u = u(x, t) del problema t u(x, xu(x, 2 t) =3t 2 2xt + e t, in R (, +), u(x, ) =, in R. Verificare i risultati.

14 Esercizio 4. Determinare la antitrasformata di Laplace della funzione F (s) = s3 +2s 2 s + s 4.

15 Es. Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Politecnico di Milano - Ingegneria Energetica Metodi Analitici e Numerici (B) 4 Luglio 27 Cognome Nome Matricola Esercizio. Sia u = u(x, t) la soluzione continua del t u(x, xu(x, 2 t) =, in (, ) (, +), >< u(,t)=2te 2 t, in (, +), u(,t)= 2 te 2t +, in (, +), > u(x, ) = 4x 3 3x 4, in (, ). a. Mostrare che u(x, t) è non negativa; b. determinare una limitazione superiore per u(x, t).

16 Esercizio 2. Si consideri il problema di Neumann u(x, y) =, (x, y) 2 (, ) (, ), x x u(,y) = 2 cos 2 (2 y), y 2 (, ), y u(x, ) y u(x, ) =, x 2 (, ). a. Verificare la compatibilità delle condizioni al bordo; b. specificare se la soluzione di tale problema è unica; c. determinare una formula di rappresentazione per u(x, y). [Suggerimento può essere utile ricordare l identità trignometrica cos 2 # = cos(2#)]

17 Esercizio 3. Determinare la soluzione u = u(x, t) del problema t u(x, xu(x, 2 t) =2xt 3t 2 e t, in R (, +), u(x, ) =, in R. Verificare i risultati.

18 Esercizio 4. Determinare la antitrasformata di Laplace della funzione F (s) = s2 +3 s 4.