Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Prima prova in itinere. Novembre 2017 A.A. 2017/2018. Prof. M. Bramanti Tema A

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1 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Prima prova in itinere. Novembre 2017 A.A. 2017/2018. Prof. M. Bramanti Tema A Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Dom 1 Dom 2 Dom 3 Es 1 Es 2 Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta) A. 6 punti). Si dia la definizione di spazio metrico, successione di Cauchy, spazio metrico completo, spazio vettoriale normato, spazio di Banach. Si facciano esempi di spazi di funzioni con le seguenti caratteristiche: -uno spazio vettoriale normato e uno spazio vettoriale che non ha una norma naturale; -uno spazio metrico che non è uno spazio vettoriale; -uno spazio vettoriale normato completo e uno non completo. B. 6 punti). Dopo aver dato la definizione di derivabilità e derivata per una funzione complessa di variabile complessa, enunciare e dimostrare le condizioni di Cauchy-iemann. Enunciare con precisione e dimostrare le conseguenze delle condizioni di C.. sulle funzioni con parte reale o immaginaria costante. C. 6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di analiticità delle funzioni olomorfe e la formula integrale di Cauchy per le derivate. Mostrare come da questo si deduce il fatto che una funzione C 2 e armonica in un aperto è infinitamente derivabile. D. 6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sull insieme degli zeri di una funzione analitica in un aperto. Mostrare come da questo si deduce il principio di identità delle funzioni analitiche, e illustrarne qualche conseguenza vista nel corso. 1

2 Svolgere i seguenti esercizi 1. 5 punti). Determinare l armonica coniugata v x, y) della seguente funzione u x, y), armonica in tutto il piano: u x, y) = y cos x Ch y x sin x Sh y. Quindi, riconoscere la funzione f x + iy) = u x, y)+iv x, y) come funzione della variabile complessa z = x + iy e non solo come funzione di x, y) punti). Calcolare il seguente integrale nel campo complesso, giustificando il procedimento seguito: γ + 2 0) z z + z 3) dz dove γ 2 + 0) denota la semicirconferenza di centro 0 e raggio 2 posta nel semipiano Im z > 0 e percorsa in verso antiorario punti). Calcolare il seguente integrale col metodo dei residui, giustificando brevemente il procedimento seguito. x 2 2 dx per k > x + 10) 2

3 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Prima prova in itinere. Novembre 2017 A.A. 2017/2018. Prof. M. Bramanti Tema B Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Dom 1 Dom 2 Dom 3 Es 1 Es 2 Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta) A. 6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. B. 6 punti). Dopo aver richiamato la definizione delle funzioni trascendenti elementari nel campo complesso e z, sin z, cos z: a. dimostrare che si tratta di funzioni olomorfe in tutto il piano complesso; b. ricavare la formula per la derivata di sin z; c. ricavare le identità che legano tra loro le funzioni e z, sin z, cos z; d. mostrare come dalle precedenti identità si possono calcolare parte reale, parte immaginaria e modulo delle funzione sin z come funzione di x, y mostrando in particolare che la funzione è illimitata. C. 6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di Cauchy dell integrale nullo, definendo accuratamente tutti i concetti coinvolti. Spiegare poi cosa significa, nel calcolo di un integrale lungo un circuito, che due circuiti sono equivalenti. D. 6 punti). Dopo aver richiamato la definizione di singolarità isolata di una funzione olomorfa, singolarità eliminabile, polo di ordine n, singolarità essenziale, enunciare e dimostrare il teorema di classificazione delle singolarità isolate mediante la serie bilatera. 3

4 Svolgere i seguenti esercizi 1. 5 punti). Determinare l armonica coniugata v x, y) della seguente funzione u x, y), armonica in tutto il piano: u x, y) = y cos x Ch y x sin x Sh y. Quindi, riconoscere la funzione f x + iy) = u x, y)+iv x, y) come funzione della variabile complessa z = x + iy e non solo come funzione di x, y) punti). Calcolare il seguente integrale nel campo complesso, giustificando il procedimento seguito: γ + 2 0) z z + z 3) dz dove γ 2 + 0) denota la semicirconferenza di centro 0 e raggio 2 posta nel semipiano Im z > 0 e percorsa in verso antiorario punti). Calcolare il seguente integrale col metodo dei residui, giustificando brevemente il procedimento seguito. x 2 2 dx per k > x + 10) 4

5 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Prima prova in itinere. Novembre 2016 A.A. 2016/2017. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema A Dom 1 Dom 2 Dom 3 Es 1 Es 2 Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta) A. 6 punti). Si dia la definizione di spazio metrico, successione di Cauchy, spazio metrico completo, spazio vettoriale normato, spazio di Banach. Si facciano esempi di spazi di funzioni con le seguenti caratteristiche: -uno spazio vettoriale normato e uno spazio vettoriale che non ha una norma naturale; -uno spazio metrico che non è uno spazio vettoriale; -uno spazio vettoriale normato completo e uno non completo. isposta: v. libro di testo, 1.1. B. 6 punti). Dopo aver dato la definizione di derivabilità e derivata per una funzione complessa di variabile complessa, enunciare e dimostrare le condizioni di Cauchy-iemann. Enunciare con precisione e dimostrare le conseguenze delle condizioni di C.. sulle funzioni con parte reale o immaginaria costante. isposta: v. libro di testo, 6.2 C. 6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di analiticità delle funzioni olomorfe e la formula integrale di Cauchy per le derivate. Mostrare come da questo si deduce il fatto che una funzione armonica in un aperto è infinitamente derivabile. isposta: v. libro di testo, D. 6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sull insieme degli zeri di una funzione analitica in un aperto. Mostrare come da questo si deduce il principio di identità delle funzioni analitiche, e illustrarne qualche conseguenza vista nel corso. isposta: v. libro di testo,

6 Svolgere i seguenti esercizi 1. 5 punti). Determinare l armonica coniugata v x, y) della seguente funzione u x, y), armonica in tutto il piano: u x, y) = y cos x Ch y x sin x Sh y. Quindi, riconoscere la funzione f x + iy) = u x, y)+iv x, y) come funzione della variabile complessa z = x + iy e non solo come funzione di x, y). In base alle equazioni di Cauchy-iemann dobbiamo cercare v x, y) per cui sia: { vx = u y v y = u x. v x x, y) = u y = cos x y y Ch y) + x sin x y Sh y) = cos x Ch y + y Sh y) + x sin x Ch y. v x, y) = [ cos x Ch y + y Sh y) + x sin x Ch y] dx = sin x Ch y + y Sh y) + Ch y x sin xdx = sin x Ch y + y Sh y) + Ch y x cos x + sin x) + g y) = sin x) y Sh y x cos x Ch y + g y) v y x, y) = sin x) Sh y + y Ch y) x cos x Sh y + g y) u x x, y) = sin x) y Ch y sin x + x cos x) Sh y v y x, y) = u x x, y) = g y) = 0, perciò l armonica coniugata è v x, y) = sin x) y Sh y x cos x Ch y + c e la funzione olomorfa è a meno di costante additiva) f x + iy) = y cos x Ch y x sin x Sh y + i [ sin x) y Sh y x cos x Ch y]. Per y = 0 si ha f x) = i [ x cos x] per ogni x perciò per il principio di identità delle funzioni analitiche, f z) = iz cos z per ogni z C punti). Calcolare il seguente integrale nel campo complesso, giustificando il procedimento seguito: γ + 2 0) z z + z 3) dz 6

7 dove γ 2 + 0) denota la semicirconferenza di centro 0 e raggio 2 posta nel semipiano Im z > 0 e percorsa in verso antiorario. Si ha: Quindi z z + z 3) = z) 2 + z 2 z 2 z z + z 3) dz = z) 2 dz + z 2 z 2 dz γ + 2 0) γ + 2 0) γ + 2 0) = z) 2 dz + 4 z 2 dz I 1 + I 2. γ + 2 0) γ + 2 0) Calcoliamo il primo integrale in base alla definizione e il secondo usando il teorema fondamentale del calcolo nel piano complesso. γ + 2 0) : z = 2eit, t [0, π] ; z) 2 = 4e 2it ; dz = 2ie it dt; I 1 = π 0 4e 2it 2ie it dt = 8i π 0 [ e e it it dt = 8i i ] π 0 = 8 2) = 16. Mentre, poiché γ + 2 0) ha estremi 2, 2 rispettivamente, L integrale di partenza vale [ z 3 I 2 = 4 3 ] 2 2 = 64 3 I = = punti). Calcolare il seguente integrale col metodo dei residui, giustificando brevemente il procedimento seguito. x 2 2 dx per k > x + 10) z 2 + 2z + 10 = 0 per z = 1 ± 3i, e poli del second ordine per la funzione f z) = ikz. Poiché l integranda è z 2 +2z+10) 2 del tipo x) con x) quoziente di polinomi con denominatore mai nullo per x reale e x) tende a zero all infinito, per il teorema dei residui e il lemma del grande cerchio si ha, per k > 0: x 2 2 dx = 2πi es f z), 1 + 3i). + 2x + 10) 7

8 Trattandosi di un polo del 2 ordine, il residuo si calcola così: es f z), 1 + 3i) = e ikz = z i) 2 = ) ) z + 1 3i) 2 f z) = z + 1 3i) 2 e ikz z 2 + 2z + 10) 2 ) = eikz ik z i) 2 2 z i) z i) 4 e ikz ik z i) 2) z i) 3 = e ik 3k 6k 2) 6 3 i e ) x 2 + 2x + 10) 2 dx = 2πi e ik 3k 6k + 2) 6 3 i = e ik 1+3i) ik 6i) 2) 6i) 3 = π 54 e 3k 3k + 1) cos k i sin k). ) ) = π e ik 3k 3k + 1) 4 = π e ik 3k 3k + 1) 8

9 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Prima prova in itinere. Novembre 2016 A.A. 2016/2017. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema B Dom 1 Dom 2 Dom 3 Es 1 Es 2 Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta) A. 6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. isposta: v. libro di testo, B. 6 punti). Dopo aver richiamato la definizione delle funzioni trascendenti elementari nel campo complesso e z, sin z, cos z: a. dimostrare che si tratta di funzioni olomorfe in tutto il piano complesso; b. ricavare la formula per la derivata di sin z; c. ricavare le identità che legano tra loro le funzioni e z, sin z, cos z; d. mostrare come dalle precedenti identità si possono calcolare parte reale, parte immaginaria e modulo delle funzione sin z come funzione di x, y mostrando in particolare che la funzione è illimitata. isposta: v. libro di testo, C. 6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di Cauchy dell integrale nullo, definendo accuratamente tutti i concetti coinvolti. Spiegare poi cosa significa, nel calcolo di un integrale lungo un circuito, che due circuiti sono equivalenti. isposta: v. libro di testo, D. 6 punti). Dopo aver richiamato la definizione di singolarità isolata di una funzione olomorfa, singolarità eliminabile, polo di ordine n, singolarità essenziale, enunciare e dimostrare il teorema di classificazione delle singolarità isolate mediante la serie bilatera. isposta: v. libro di testo,

10 Svolgere i seguenti esercizi 1. 5 punti). Determinare l armonica coniugata v x, y) della seguente funzione u x, y), armonica in tutto il piano: u x, y) = y cos x Ch y x sin x Sh y. Quindi, riconoscere la funzione f x + iy) = u x, y)+iv x, y) come funzione della variabile complessa z = x + iy e non solo come funzione di x, y). In base alle equazioni di Cauchy-iemann dobbiamo cercare v x, y) per cui sia: { vx = u y v y = u x. v x x, y) = u y = cos x y y Ch y) + x sin x y Sh y) = cos x Ch y + y Sh y) + x sin x Ch y. v x, y) = [ cos x Ch y + y Sh y) + x sin x Ch y] dx = sin x Ch y + y Sh y) + Ch y x sin xdx = sin x Ch y + y Sh y) + Ch y x cos x + sin x) + g y) = sin x) y Sh y x cos x Ch y + g y) v y x, y) = sin x) Sh y + y Ch y) x cos x Sh y + g y) u x x, y) = sin x) y Ch y sin x + x cos x) Sh y v y x, y) = u x x, y) = g y) = 0, perciò l armonica coniugata è v x, y) = sin x) y Sh y x cos x Ch y + c e la funzione olomorfa è a meno di costante additiva) f x + iy) = y cos x Ch y x sin x Sh y + i [ sin x) y Sh y x cos x Ch y]. Per y = 0 si ha f x) = i [ x cos x] per ogni x perciò per il principio di identità delle funzioni analitiche, f z) = iz cos z per ogni z C punti). Calcolare il seguente integrale nel campo complesso, giustificando il procedimento seguito: γ + 2 0) z z + z 3) dz 10

11 dove γ 2 + 0) denota la semicirconferenza di centro 0 e raggio 2 posta nel semipiano Im z > 0 e percorsa in verso antiorario. Si ha: Quindi z z + z 3) = z) 2 + z 2 z 2 z z + z 3) dz = z) 2 dz + z 2 z 2 dz γ + 2 0) γ + 2 0) γ + 2 0) = z) 2 dz + 4 z 2 dz I 1 + I 2. γ + 2 0) γ + 2 0) Calcoliamo il primo integrale in base alla definizione e il secondo usando il teorema fondamentale del calcolo nel piano complesso. γ + 2 0) : z = 2eit, t [0, π] ; z) 2 = 4e 2it ; dz = 2ie it dt; I 1 = π 0 4e 2it 2ie it dt = 8i π 0 [ e e it it dt = 8i i ] π 0 = 8 2) = 16. Mentre, poiché γ + 2 0) ha estremi 1, 1 rispettivamente, L integrale di partenza vale [ z 3 I 2 = 4 3 ] 1 1 = 8 3 I = = punti). Calcolare il seguente integrale col metodo dei residui, giustificando brevemente il procedimento seguito. x 2 2 dx per k > x + 10) z 2 + 2z + 10 = 0 per z = 1 ± 3i, e poli del second ordine per la funzione f z) = ikz. Poiché l integranda è z 2 +2z+10) 2 del tipo x) con x) quoziente di polinomi con denominatore mai nullo per x reale e x) tende a zero all infinito, per il teorema dei residui e il lemma del grande cerchio si ha, per k > 0: x 2 2 dx = 2πi es f z), 1 + 3i). + 2x + 10) 11

12 Trattandosi di un polo del 2 ordine, il residuo si calcola così: es f z), 1 + 3i) = e ikz = z i) 2 = ) ) z + 1 3i) 2 f z) = z + 1 3i) 2 e ikz z 2 + 2z + 10) 2 ) = eikz ik z i) 2 2 z i) z i) 4 e ikz ik z i) 2) z i) 3 = e ik 3k 6k 2) 6 3 i e ) x 2 + 2x + 10) 2 dx = 2πi e ik 3k 6k + 2) 6 3 i = e ik 1+3i) ik 6i) 2) 6i) 3 = π 54 e 3k 3k + 1) cos k i sin k). ) ) = π e ik 3k 3k + 1) 4 = π e ik 3k 3k + 1) 12