Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Seconda prova in itinere. Gennaio 2018 A.A. 2017/2018. Prof. M. Bramanti Tema A

Transcript

1 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Seconda prova in itinere. Gennaio 18 A.A. 17/18. Prof. M. Bramanti Tema A Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Dom 1 Dom Dom 3 Es 1 Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria (rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta A. (6 punti. Sia (Ω, M, µ uno spazio di misura. Si spieghi cosa significa, con i seguenti passi: dare la definizione di σ-algebra e farne qualche esempio; dare la definizione di misura e farne qualche esempio. (Gli esempi possono utilizzare anche argomenti del corso visti successivamente alle prime definizioni, come la misura di Lebesgue o le misure con peso. Enunciare quindi con precisione il teorema di esistenza della misura di Lebesgue in R n, che ne precisa la definizione e le proprietà. B. (6 punti. Mostrare come si risolve mediante la trasformata di Fourier il problema di Dirichlet per l equazione di Laplace sul semipiano y > : { u x + u y = per x R, y > u (x, = f (x per x R. Non si richiede di discutere le ipotesi di validità della formula ottenuta, ma di mostrare in dettaglio come si ottiene la formula, citando con precisione le varie proprietà della trasformata di Fourier che si utilizzano. C. (6 punti. Dopo aver ricordato la definizione di trasformata di Laplace e ascissa di convergenza, enunciare con precisione e dimostrare le proprietà che riguardano la L-trasformata della primitiva di una funzione, della derivata e derivata n-esima di una funzione. Ricavare da quest ultima la proprietà che riguarda la velocità con cui la trasformata di Laplace tende a zero all infinito. D. (6 punti. Dopo aver dato la definizione di sistema ortonormale (finito o numerabile in uno spazio di Hilbert, e enunciato il teorema delle proiezioni in spazi di Hilbert (senza dimostrazione, enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Bessel e il lemma di Riemann-Lebesgue. 1

2 Svolgere i seguenti esercizi 1. (5 punti. Sia f (x = x3 x a. Quali proprietà della trasformata di Fourier f si possono prevedere, in base alle proprietà di questa funzione f? Rispondere sui seguenti punti: f eventualmente reale o immaginaria, eventualmente simmetrica pari o dispari, spazi funzionali a cui appartiene f, sua regolarità, velocità di convergenza a zero. b. Calcolare f col metodo dei residui.. (5 punti. Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, determinare la corrente i (t nel circuito descritto dalla seguente equazione integro-differenziale: Li (t + 1 C ( q + t i (τ dτ = v (t dove i ( =, q =., L =, C =.5. Si richiede di: a. Risolvere prima l equazione per v (t generica (ma tutti gli altri parametri e condizioni iniziali aventi i valori specificati. b. Si consideri ora il caso { 1 per t (, v (t = altrimenti. Prevedere, prima di risolvere l equazione, in base alla regolarità del dato v (t e alla struttura dell equazione, la regolarità che si attende per i (t. Quindi ottenere la soluzione esplicita i (t corrispondente a questo dato. 3. (5 punti. Ortonormalizzare nello spazio L ((, π, sin xdx le funzioni 1, x. [Suggerimento: calcolare per prima cosa gli integrali I k = xk sin xdx per k =, 1, ]. Quindi determinare la retta che meglio approssima della funzione cos x nella norma L ((, π, sin xdx. [Suggerimento: calcolare per prima cosa gli integrali J k = xk cos x sin xdx per k =, 1].

3 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Seconda prova in itinere. Gennaio 18 A.A. 17/18. Prof. M. Bramanti Tema B Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Dom 1 Dom Dom 3 Es 1 Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria (rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta A. (6 punti. Nel contesto della teoria dell integrale di Lebesgue, si enuncino con precisione il teorema di derivazione sotto il segno di integrale per un integrale dipendente da un parametro, cioè una funzione del tipo F (x = f (x, y dy, Ω e il teorema sulla continuità di un integrale dipendente da un parametro, e li si dimostrino. Si accenni brevemente a qualche applicazione di questi risultati che si è incontrata nel corso. B. (6 punti. La trasformata di Fourier in L (R n : dopo aver definito lo spazio S (R n delle funzioni a decrescenza rapida e averne enunciato le proprietà (senza dimostrazione, mostrare come sfruttando queste proprietà è possibile definire la trasformata di Fourier di una funzione L (R n. C. (6 punti. Dopo aver ricordato la definizione di trasformata di Laplace e ascissa di convergenza, enunciare con precisione e dimostrare le proprietà che riguardano la L-trasformata della convoluzione, la formula del t-shift e dell sshift per la L-trasformata. D. (6 punti. Enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora negli spazi vettoriali con prodotto scalare per un numero finito di vettori. Quindi enunciare e dimostrare la versione di teorema di Pitagora che vale in uno spazio di Hilbert per una successione di vettori. 3

4 Svolgere i seguenti esercizi 1. (5 punti. Sia f (x = x3 x a. Quali proprietà della trasformata di Fourier f si possono prevedere, in base alle proprietà di questa funzione f? Rispondere sui seguenti punti: f eventualmente reale o immaginaria, eventualmente simmetrica pari o dispari, spazi funzionali a cui appartiene f, sua regolarità, velocità di convergenza a zero. b. Calcolare f col metodo dei residui.. (5 punti. Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, determinare la corrente i (t nel circuito descritto dalla seguente equazione integro-differenziale: Li (t + 1 C ( q + t i (τ dτ = v (t dove i ( =, q =., L =, C =.5. Si richiede di: a. Risolvere prima l equazione per v (t generica (ma tutti gli altri parametri e condizioni iniziali aventi i valori specificati. b. Si consideri ora il caso { 1 per t (, v (t = altrimenti. Prevedere, prima di risolvere l equazione, in base alla regolarità del dato v (t e alla struttura dell equazione, la regolarità che si attende per i (t. Quindi ottenere la soluzione esplicita i (t corrispondente a questo dato. 3. (5 punti. Ortonormalizzare nello spazio L ((, π, sin xdx le funzioni 1, x. [Suggerimento: calcolare per prima cosa gli integrali I k = xk sin xdx per k =, 1, ]. Quindi determinare la retta che meglio approssima della funzione cos x nella norma L ((, π, sin xdx. [Suggerimento: calcolare per prima cosa gli integrali J k = xk cos x sin xdx per k =, 1]. 4

5 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Seconda prova in itinere. Gennaio 18 A.A. 17/18. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema A Dom 1 Dom Dom 3 Es 1 Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria (rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta A. (6 punti. Sia (Ω, M, µ uno spazio di misura. Si spieghi cosa significa, con i seguenti passi: dare la definizione di σ-algebra e farne qualche esempio; dare la definizione di misura e farne qualche esempio. (Gli esempi possono utilizzare anche argomenti del corso visti successivamente alle prime definizioni, come la misura di Lebesgue o le misure con peso. Enunciare quindi con precisione il teorema di esistenza della misura di Lebesgue in R n, che ne precisa la definizione e le proprietà. Risposta: v. libro di testo,.. B. (6 punti. Mostrare come si risolve mediante la trasformata di Fourier il problema di Dirichlet per l equazione di Laplace sul semipiano y > : { u x + u y = per x R, y > u (x, = f (x per x R. Non si richiede di discutere le ipotesi di validità della formula ottenuta, ma di mostrare in dettaglio come si ottiene la formula, citando con precisione le varie proprietà della trasformata di Fourier che si utilizzano. Risposta: v. libro di testo, C. (6 punti. Dopo aver ricordato la definizione di trasformata di Laplace e ascissa di convergenza, enunciare con precisione e dimostrare le proprietà che riguardano la L-trasformata della primitiva di una funzione, della derivata e derivata n-esima di una funzione. Ricavare da quest ultima la proprietà che riguarda la velocità con cui la trasformata di Laplace tende a zero all infinito. Risposta: v. libro di testo, 8.. D. (6 punti. Dopo aver dato la definizione di sistema ortonormale (finito o numerabile in uno spazio di Hilbert, e enunciato il teorema delle proiezioni in spazi di Hilbert (senza dimostrazione, enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Bessel e il lemma di Riemann-Lebesgue. Risposta: v. libro di testo,

6 Svolgere i seguenti esercizi 1. (5 punti. Sia f (x = x3 x a. Quali proprietà della trasformata di Fourier f si possono prevedere, in base alle proprietà di questa funzione f? Rispondere sui seguenti punti: f eventualmente reale o immaginaria, eventualmente simmetrica pari o dispari, spazi funzionali a cui appartiene f, sua regolarità, velocità di convergenza a zero. b. Calcolare f col metodo dei residui. a. La funzione f non è integrabile ma è L (R, è reale e dispari, infinitamente derivabile. Di conseguenza: f immaginaria è pura, dispari, all infinito tende a zero più rapidamente di ogni potenza, è L (R ma non necessariamente continua. Per la sua velocità di convergenza a zero, è anche f L 1 (R. Sapendo che è dispari, calcoliamo solo per ξ < (e poi simmetrizziamo dispari x f 3 (ξ = 1 + x 4 e πiξx dx per il metodo dei residui = πi Im z k > R ( z 3 Res 1 + z 4 e πiξz, z k e avendo la funzione 4 poli del prim ordine nei 4 punti semipiano Im z > sono e i π 4 = 1+i, e i 3π 4 = 1+i, 4 1, di cui i due nel f (ξ = πi = πi zk 3e πiξz k 4z 3 = πi Im z k > k ( ( ( e πiξ 1+i + e πiξ 1+i = πie πξ (e πiξ + e πiξ = πie ( πξ cos πξ Questo vale per ξ <. La simmetrizzata dispari è f (ξ = sgn (ξ πie π ξ cos Im z k > e πiξz k = ( πξ. 6

7 ( Grafico di Im f :. (5 punti. Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, determinare la corrente i (t nel circuito descritto dalla seguente equazione integro-differenziale: Li (t + 1 C ( q + t i (τ dτ = v (t dove i ( =, q =., L =, C =.5. Si richiede di: a. Risolvere prima l equazione per v (t generica (ma tutti gli altri parametri e condizioni iniziali aventi i valori specificati. b. Si consideri ora il caso { 1 per t (, v (t = altrimenti. Prevedere, prima di risolvere l equazione, in base alla regolarità del dato v (t e alla struttura dell equazione, la regolarità che si attende per i (t. Quindi ottenere la soluzione esplicita i (t corrispondente a questo dato. a. Ponendo I (s = L (i (t (s, V (s = L (v (t (s e trasformando l equazione differenziale tenendo conto delle condizioni iniziali si ha: L (si (s i ( + 1 ( q C s + I (s = V (s s LsI (s + 1 Cs (q + I (s = V (s ( I (s Ls + 1 = V (s q Cs Cs I (s = V (s Ls + 1 Cs q Cs (. Ls + 1 Cs 7

8 Ora 1 Ls + 1 Cs q Cs ( Ls + 1 = Cs = 1 L s s + 1 q ( ( 1 t = L L cos (s s + 1 = q 1/ s + 1 ( 1 I (s = L L cos i (t = 1 ( t L cos = 1 cos ( t v (t ( t v (t q sin ( ( q t = L sin (s v (t q ( t sin 5 sin ( t. ( t (s b. Essendo v (t discontinuo, dall equazione prevediamo che i sarà discontinua, cioè i (t sarà continua, derivabile a tratti ma probabilmente con un punto angoloso in t =. Calcoliamo 1 ( cos t t 5 = 5 ( v (t = 5 cos t χ (, (t ( cos (t τ cos dτ per t < ( (t τ dτ per t [ 5 1 ( ] t sin (t τ per t < = [ 5 1 ( ] sin (t τ per t [ 1 ( ] 5 sin t per t < = [ 1 ( 5 sin t 1 ( ] sin (t per t i (t = = ( 5 5 ( ( sin t ( sin t ( sin t 5 ( sin (t ( sin t 5 ( sin (t per t < per t per t < per t 8

9 3. (5 punti. Ortonormalizzare nello spazio L ((, π, sin xdx le funzioni 1, x. [Suggerimento: calcolare per prima cosa (iterativamente gli integrali I k = xk sin xdx per k =, 1,.]. Quindi determinare la retta che meglio approssima della funzione cos x nella norma L ((, π, sin xdx. [Suggerimento: calcolare per prima cosa gli integrali J k = xk cos x sin xdx per k =, 1]. Ora: I k = x k sin xdx I = sin xdx = [ cos x] π = I 1 = x sin xdx = [ x cos x] π + cos xdx = π I = x sin xdx = [ x cos x ] π + x cos xdx } = π + {[x sin x] π sin xdx = π 4. e = vers (1 1 = I = e = 1 9

10 e 1 = vers (x x, e e x, e = 1 I 1 = π ( e 1 = vers x π x π π ( = x π sin xdx = = ( π 4 π + π 4 = π 4 e 1 = x π. π 4 (x πx + π sin xdx = I πi 1 + π 4 4 I Ora la miglior approssimazione lineare di cos x è la proiezione di f (x = cos x sullo spazio generato da e, e 1 : Calcoliamo prima J k = J k = 1 J = J 1 = 1 f, e = f, e 1 = P f (x = f, e 1 e 1 + f, e e. x k cos x sin xdx per k =, 1. x k sin xdx x sin xdx = [ 1 cos x sin xdx = x π π 4 ] π x cos x π + 4 cos x sin xdx = P f (x = f, e 1 e 1 + f, e e = π 4 x π = π ( x π π 4 π 4 4 π 4. cos x dx = π ( J 1 π π 4 J = π 4 π 4 1

11 Grafico di P f (x sin x e cos x sin x: 11

12 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Seconda prova in itinere. Gennaio 18 A.A. 17/18. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema B Dom 1 Dom Dom 3 Es 1 Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria (rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta A. (6 punti. Nel contesto della teoria dell integrale di Lebesgue, si enuncino con precisione il teorema di derivazione sotto il segno di integrale per un integrale dipendente da un parametro, cioè una funzione del tipo F (x = f (x, y dy, Ω e il teorema sulla continuità di un integrale dipendente da un parametro, e li si dimostrino. Si accenni brevemente a qualche applicazione di questi risultati che si è incontrata nel corso. Risposta: v. libro di testo,.3.4. B. (6 punti. La trasformata di Fourier in L (R n : dopo aver definito lo spazio S (R n delle funzioni a decrescenza rapida e averne enunciato le proprietà (senza dimostrazione, mostrare come sfruttando queste proprietà è possibile definire la trasformata di Fourier di una funzione L (R n. Risposta: v. libro di testo, C. (6 punti. Dopo aver ricordato la definizione di trasformata di Laplace e ascissa di convergenza, enunciare con precisione e dimostrare le proprietà che riguardano la L-trasformata della convoluzione, la formula del t-shift e dell sshift per la L-trasformata. Risposta: v. libro di testo, 8.. D. (6 punti. Enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora negli spazi vettoriali con prodotto scalare per un numero finito di vettori. Quindi enunciare e dimostrare la versione di teorema di Pitagora che vale in uno spazio di Hilbert per una successione di vettori. Risposta: v. libro di testo,