Corso di Elementi di Analisi Funzionale e Trasformate A.A. 2016/2017 Domande-tipo di teoria sull intero programma

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1 Corso di Elementi di Analisi Funzionale e Trasformate A.A. 2016/2017 Domande-tipo di teoria sull intero programma Marco Bramanti Politecnico di Milano June 22, 2017 Cap. 1. Elementi di analisi funzionale 1. Dopo aver richiamato la definizione di convergenza puntuale e uniforme per una successione di funzioni a valori reali, enunciare e dimostrare il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Quindi dimostrare che lo spazio C 0 ([a, b]) è di Banach. 2. Per una successione di funzioni f n : Ω R, con Ω R n, definire le nozioni di convergenza puntuale e convergenza uniforme. Enunciare quindi (senza dimostrazione) i vari teoremi studiati che, sotto opportune ipotesi che coinvolgono il concetto di convergenza uniforme, garantiscono che certe proprietà di f n si trasferiscono al limite f. Mostrare quindi con esempi che, se viene a cadere l ipotesi di convergenza uniforme, le conclusioni dei precedenti teoremi possono venire a cadere. 3. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. 4. Enunciare con precisione il teorema sulla derivabilità del limite di una successione di funzioni derivabili. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. Quindi, utilizzando il teorema precedente, dimostrare la completezza dello spazio C 1 ([a, b]) con la norma opportuna. Cap. 2. Teoria della misura e dell integrazione 1. Sia (Ω, M, µ) uno spazio di misura. Si spieghi cosa significa, cioè si dica cosa sono Ω, M, µ, definendo in dettaglio i concetti coinvolti di sigma algebra e misura. Fare poi diversi esempi di spazi di misura. 1

2 2. Enunciare dettagliatamente il teorema che afferma l esistenza della misura di Lebsegue in R n e le sue proprietà. 3. In un generico spazio di misura (Ω, M, µ), illustrare come si definisce l integrale, prima per una funzione misurabile positiva e poi per una funzione di segno qualunque o a valori complessi. Richiamare le definizioni dei principali concetti coinvolti. Enunciare quindi le proprietà elementari dell integrale in questo contesto (linearità, monotonia...). 4. Enunciare il teorema della convergenza monotona il teorema della convergenza dominata per l integrale di Lebesgue e fare esempi di applicazioni. Enunciare quindi i teoremi di integrazione per serie che valgono per l integrale di Lebesgue. 5. Confronto tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue: enunciare il teorema che dà una condizione necessaria e suffi ciente affi nché una funzione sia Riemann integrabile; enunciare il teorema che afferma la relazione tra integrabilità secondo Riemann (in senso proprio, non generalizzato) e secondo Lebsegue. Mostrare con un contresempio che l implicazione inversa non vale. Infine, discutere la relazione tra integrale di Lebesgue e integrale di Riemann generalizzato. 6. Nel contesto della teoria dell integrale di Lebesgue, si enuncino con precisione il teorema di derivazione sotto il segno di integrale per un integrale dipendente da un parametro, cioè una funzione del tipo F (x) = f (x, y) dy, Ω e il teorema sulla continuità di un integrale dipendente da un parametro, e si dimostri il teorema di derivazione. 7. Si enunci con precisione il teorema di Fubini-Tonelli che consente di trattare gli integrali doppi nella teoria di Lebesgue. Si discuta poi qualche applicazione di questo teorema che si è incontrata nel corso. 8. Si definisca cosa si intende per convoluzione di due funzioni in R n e si enunci e dimostri un risultato preciso che riguarda la convoluzione di due funzioni L 1 (R n ). Si enunci poi il risultato analogo che estende il precedente a spazi L p. Infine, si dica come si esprime la convoluzione di due funzioni f, g : R R che si annullano per x < 0, e sotto quali ipotesi è ben definito. 9. Definire gli spazi L p (Ω) su uno spazio di misura astratto, per p [1, ) e illustrarne le principali proprietà studiate (in particolare, ma non solo, la disuguaglianza di Hölder). 10. Definire gli spazi L p (Ω) su uno spazio di misura astratto, per p [1, ]. Quindi illustrare le relazioni di inclusione che valgono tra spazi L p (Ω) quando Ω ha misura finita, dimostrandole. Cap. 3. Operatori e funzionali lineari continui 1. Operatori lineari continui tra due spazi vettoriali normati: si enunci con precisione il teorema che sta alla base della definizione di operatore lineare 2

3 continuo, si dia quindi questa definizione e la definizione di norma di un operatore. Si faccia qualche esempio di operatore lineare continuo tra spazi di funzioni. 2. Si dia la definizione di funzionale lineare continuo su uno spazio vettoriale normato, norma di un funzionale lineare continuo, spazio duale di uno spazio vettoriale normato. Si faccia qualche esempio di funzionale lineare continuo sugli spazi di funzioni incontrati nel corso e si faccia un esempio incontrato nel corso di caratterizzazione dello spazio duale di un certo spazio vettoriale normato. Cap. 4. Spazi di Hilbert, metodi di ortogonalità e problemi di Sturm-Liouville 1. Dopo aver dato la definizione di spazio vettoriale con prodotto scalare e norma indotta dal prodotto scalare, enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, la disuguaglianza triangolare per la norma e l uguaglianza del parallelogramma. 2. Enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora negli spazi vettoriali con prodotto scalare per un numero finito di vettori. Quindi enunciare e dimostrare la versione di teorema di Pitagora che vale in uno spazio di Hilbert per una successione di vettori. 4. Dare la definizione di sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert e spiegare cos è e a cosa serve il procedimento di ortonormalizzazione di Gram- Schmidt. Dire come si ottengono i polinomi di Legendre, Laguerre e Hermite ortonormalizzando le potenze in opportuni spazi di Hilbert, e illustrare in dettaglio questo procedimento in uno dei tre casi, per le potenze 1, x, x Dopo aver richiamato la definizione di spazio di Hilbert, enunciare e dimostrare il teorema della proiezione su un sottospazio finito dimensionale di uno spazio di Hilbert. 6. Dopo aver dato la definizione di sistema ortonormale (finito o numerabile) in uno spazio di Hilbert, enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Bessel. 7. Dopo aver dato la definizione di sistema ortonormale completo (s.o.n.c.) in uno spazio di Hilbert, enunciare e dimostrare il teorema che riguarda la trasformata e le serie di Fourier in spazi di Hilbert, rispetto a un s.o.n.c. 8. Dare la definizione di problema di Sturm-Liouville regolare e enunciare il teorema relativo ai suoi autovalori e autofunzioni, dimostrando le due affermazioni riguardanti la positività degli autovalori e l ortogonalità delle autofunzioni. Cap. 5. La trasformata di Fourier in R n 1. Dare la definizione di trasformata di Fourier di una funzione L 1 (R n ) e enunciare con precisione le sue proprietà che riguardano: la trasformata come operatore lineare continuo tra opportuni spazi; trasformata della derivata; derivata 3

4 della trasformata; trasformata della convoluzione; trasformata e dilatazioni. Dimostrare quindi due delle precedenti proprietà. 2. Dare la definizione di trasformata di Fourier di una funzione L 1 (R n ). Dimostrare che è un operatore lineare continuo tra opportuni spazi di funzioni. Enunciare con precisione il teorema di inversione per la trasformata di Fourier su L 1 (R n ) e fare esempi e contresempi di funzioni L 1 (R) per cui si può o non si può applicare. 3. Mostrare come si risolve mediante la trasformata di Fourier il problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione del calore in tutto lo spazio R n : { ut D u = 0 per x R n, t > 0 u (0, x) = f (x) per x R n con D costante positiva. Non si richiede di discutere le ipotesi di validità della formula ottenuta, ma di mostrare in dettaglio come si ottiene la formula. 4. Dopo aver definito lo spazio S (R n ) delle funzioni a decrescenza rapida, enunciare le proprietà di questo spazio rilevanti dal punto di vista della teoria della trasformata di Fourier. 5. La trasformata di Fourier in L 2 : dopo aver definito lo spazio S (R n ) delle funzioni a decrescenza rapida e averne enunciato le proprietà, mostrare come sfruttando queste proprietà è possibile definire la trasformata di Fourier di una funzione L 2 (R n ). 6. La trasformata di Fourier in L 2 : dopo aver richiamato la definizione di trasformata di Fourier per una funzione L 2 (R n ), enunciare con precisione le principali proprietà. Cap. 6. Trasformata di Laplace e applicazioni 1. Dare la definizione di funzione L-trasformabile, ascissa di convergenza, semipiano di convergenza, trasformata di Laplace. Quindi, mostrare la relazione fra trasformata di Laplace e trasformata di Fourier, ricavando formalmente (cioè senza dimostrazione rigorosa) una formula di antitrasformazione per la trasformata di Laplace. 2. Dopo aver ricordato la definizione di trasformata di Laplace e ascissa di convergenza, enunciare con precisione e dimostrare le proprietà della trasformata di Laplace di una funzione (comportamento all infinito, derivabilità, formula delle derivate della trasformata). 3. Dopo aver ricordato la definizione di trasformata di Laplace e ascissa di convergenza, enunciare con precisione e dimostrare le proprietà che riguardano la L-trasformata della primitiva di una funzione, della derivata e derivata n- esima di una funzione. 4. Dopo aver ricordato la definizione di trasformata di Laplace e ascissa di convergenza, enunciare con precisione e dimostrare le proprietà che riguardano la L-trasformata della convoluzione, la formula del t-shift e dell s-shift per la L-trasformata. 4

5 Cap. 7. Teoria delle distribuzioni 1. Lo spazio di distribuzioni D (Ω) (con Ω aperto di R n o tutto R n ): definirlo, fare esempi di classi di distribuzioni, dimostrando che quelle definite sono effettivamente distribuzioni. Mostrare in particolare in che senso il concetto di distribuzione generalizza quello di funzione e quello di misura. 2. Derivata di una distribuzione D (R). Arrivare alla definizione di questo concetto in modo che nel caso particolare di distribuzioni indotte da funzioni C 1 la derivata distribuzionale coincida con la derivata classica e dimostrare che la derivata di una distribuzione è effettivamente una distribuzione. Mostrare poi come dalla definizione segue la formula di calcolo per la derivata n-esima di una distribuzione. 3. Dopo aver richiamato la definizione di derivata di una distribuzione in D (R), ricavare (con i calcoli dettagliati) la derivata distribuzionale delle funzioni x e u (x) (gradino) in D (R). Enunciare poi con precisione il teorema che mostra come si calcola la derivata distribuzionale di una funzione regolare a tratti che presenta qualche punto angoloso, oppure di cuspide, oppure di discontinuità a salto. 4. Le operazioni di traslazione, dilatazione, riflessione, moltiplicazione per una funzione, di una distribuzione in D (R): mostrare come si arriva alle definizioni di queste operazioni in modo che siano un estensione degli analoghi concetti per le funzioni. Esemplificare poi queste operazioni nel caso della distribuzione T = δ x0 con x 0 R. 5. Le formule di derivazione per la traslata, dilatata, riflessa di una distribuzione T e per il prodotto gt con g funzione regolare: enunciarle e dimostrarle. 6. Discutere il problema di definire la convoluzione di due distribuzioni in modo da estendere la definizione di convoluzione di funzioni e mostrare come si arriva alla definizione di distribuzione a supporto compatto e di convoluzione di distribuzioni, sotto opportune ipotesi. Fare esempi di classi di distribuzioni a supporto compatto. Enunciare e dimostrare il teorema sulla derivata della convoluzione distribuzionale e sulla convoluzione di una distribuzione con la δ di Dirac. 7. Discutere il problema di definire la trasformata di Fourier di una distribuzione e mostrare come si arriva a restringere l insieme delle distribuzioni. Dare la definizione di convergenza nello spazio di Schwartz delle funzioni a decrescenza rapida e la definizione di distribuzione temperata. Fare esempi di classi di distribuzioni temperate. Dare la definizione di trasformata di Fourier di una distribuzione temperata, mostrando che questa è a sua volta una distribuzione temperata. 8. Dopo aver richiamato la definizione di distribuzione temperata e trasformata di Fourier di una distribuzione temperata, enunciare il teorema sulle proprietà della trasformata di Fourier sullo spazio S (R n ) : trasformata della traslata, dilatata, del prodotto per un esponenziale complesso, della derivata; derivata della trasformata; trasformata di una successione o serie di distribuzioni temperate. In particolare, dimostrare le due relazioni che riguardano la trasfor- 5

6 mata della derivata e la derivata della trasformata. 9. Dopo aver richiamato la definizione di distribuzione temperata e trasformata di Fourier di una distribuzione temperata, mostrare (con i calcoli dettagliati) come si calcolano le trasformate di Fourier di: delta di Dirac, esponenziale complesso, funzioni seno e coseno, funzione x k. Cap. 8. Applicazioni alla teoria dei filtri 1. Introdurre il concetto di filtro, dopo aver richiamato il concetto di sistema, le proprietà rilevanti che un sistema può avere o non avere (coinvolte nella definizione di filtro), definendo con cura il quadro funzionale richiesto per ognuna delle proprietà. Quindi, enunciare il teorema fondamentale dei filtri. 2. Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale dei filtri, dopo aver richiamato le definizioni dei concetti coinvolti. 3. Dare la definizione di filtro causale (o realizzabile), filtro ideale passabasso o passa-alto, mostrare che questi filtri ideali non sono realizzabili. 4. Mostrare che, in un circuito RC, il sistema che associa alla tensione di ingresso x (t) la tensione V (t) ai capi del condensatore, che soddisfa l equazione RCV (t) + V (t) = x (t), è un filtro realizzabile passa-basso, spiegando cosa significa. 5. Mostrare che, in un circuito RC, il sistema che associa alla tensione di ingresso x (t) la tensione V (t) ai capi della resistenza, che soddisfa l equazione V (t) + V (t) RC = x (t) è un filtro realizzabile passa-alto, spiegando cosa significa. 6