Appunti integrativi per il Corso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 2015/2016

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Maurizio Savino
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1 Appunti integrativi per il Corso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 5/6 Marco Bramanti Politecnico di Milano October 8, 5 Applicazioni della prima formula integrale di Cauchy al problema di Dirichlet per il laplaciano Abbiamo visto che l equazione a derivate parziali u = (di Laplace) descrive molti fenomeni sici, tipicamente stazionari o di equilibrio di un sistema (potenziale gravitazionale o elettrostatico in assenza di sorgenti, temperatura all equilibrio, in assenza di sorgenti, forma di una membrana elastica in equilibrio, ecc.). Molti problemi sico-matematici descritti dall equazione precedente si possono modellizzare mediante un problema di Dirichlet, ossia imponendo che l equazione u = sia soddisfatta in un aperto connesso e che u soddis una certa condizione al contorno, detta condizione di Dirichlet: u = in A u = g Questo problema si dice problema di Dirichlet per l equazione di Laplace. Se A è un dominio del piano o dello spazio di geometria molto semplice (cerchio, rettangolo, semipiano, parallelepipedo, sfera, cilindro...), esistono metodi classici per ottenere formule risolutive esplicite, che assegnano la soluzione u in termini del dato g, mediante qualche serie o integrale. Vediamo come mediante la formula integrale di Cauchy sia possibile ottenere tali formule in due casi interessanti di domini piani: il cerchio e il semipiano (in un certo senso, i più semplici esempi di dominio limitato o illimitato del piano, rispettivamente). Entrambi questi risultati si potrebbero ottenere (e sono solitamente ottenuti) con altri metodi: nel caso del semipiano, mediante la trasformata di Fourier; nel caso del cerchio, mediante separazione di variabili e successiva trasformazione della formula risolutiva per serie in formula risolutiva integrale. La deduzione presentata qui è un interessante applicazione della teoria delle funzioni olomorfe alla teoria delle funzioni armoniche nel piano.

2 . Il problema di Dirichlet nel semipiano Vogliamo risolvere un problema di Dirichlet u (x; y) = per x ; y > u (x; ) = g (x) per x : Sia + il semipiano superiore di C, + = fz C : Im z > g e sia f : +! C olomorfa, continua no alla chiusura di + (cioè per Im z ) e limitata in +. Fissato un punto z +, sia > abbastanza grande da far sì che z sia interno al circuito formato dalla semicirconferenza r : z = e it ; t [; ] e dall intervallo I = [ ; ] sull asse reale. Per la prima formula integrale di Cauchy si ha: f (z) = i = i w z dw w z dw dove la seconda segue dal fatto che il punto coniugato z sta nel semipiano inferiore, quindi all esterno di. Sottraendo membro a membro si ha f (z) = dw i w z w z = z z i (w z) (w z) dw = z z i (w z) (w z) dw + I (w z) (w z) dw : Tutto ciò vale per z ssato e > abbastanza grande, quindi continua a valere passando al limite per! +: Mostriamo che l integrale sulla semicirconferenza tende a zero. Infatti se f è limitata in + si ha: (w z) (w z) dw max w (w z) (w z) ` ( ) c = c! per! +; dove si è usato il fatto che f è limitata in + e per z ssato, jwj = e grande è j(w z)(w z)j c : Dunque otteniamo f (z) = z z lim i!+ = z z i + I (w z) (w z) dw f (x) (x z) (x z) dx

3 che, ponendo z = X + iy si riscrive f (X + iy ) = iy i = Y + + f (x) (x X iy ) (x X + iy ) dx f (x) (x X) + Y dx: Notiamo che la f nel punto X +iy si ottiene come l integrale sull asse reale di f moltiplicata per un opportuno nucleo reale. Scrivendo f = u + iv si può allora separare parte reale e parte immaginaria e ottenere: u (X; Y ) = Y + u (x; ) (x X) + Y dx (e analoga formula di rappresentazione per v, che non ci interessa). Il tutto ammesso che questo integrale converga. Se dunque u è la soluzione del problema di Dirichlet u (x; y) = per x ; y > risulterà u (x; ) = g (y) per x u (X; Y ) = Y + g (x) (x X) + Y dx: Questa è la cosiddetta formula integrale di Poisson per il semipiano. Assegna la soluzione del problema di Dirichlet in termini del dato al bordo g, come convoluzione con il il nucleo di Poisson del semipiano: posto k Y (X) = Y X + Y, risulta u (X; Y ) = (k Y g) (X) = + k Y (X x) g (x) dx: Ci si può chiedere sotto quali ipotesi precise (su g) si possa a ermare che il problema di Dirichlet ha soluzione data da questa formula. Invece che ripercorrere i passi che ci hanno portati a ottenere la formula, conviene ragionare sul risultato nale e chiedersi: per quali g questo integrale esiste e assegna una funzione armonica nel semipiano e che tende a g per y! +? Se ad esempio g è continua e l integrale jg (x)j dx converge, si può dimostrare che le cose stanno proprio così. Si potrà discutere meglio questo problema utilizzando la teoria dell integrale di Lebesgue.. Il problema di Dirichlet nel cerchio Vogliamo ora risolvere un problema di Dirichlet u (; ) = per < ; [; ] u (; ) = g () per [; ] : 3

4 (Dove il laplaciano si può esprimere in coordinate polari, u (; ) = u + u + u ). Sia B () il cerchio in C e la sua circonferenza; sia f : B ()! C olomorfa, continua no alla chiusura B (). Fissato un punto z B (), per la prima formula integrale di Cauchy si ha: f (z) = i w z dw: Come nel caso del semipiano, l idea è ora quella di scegliere un punto esterno al cerchio che sia in qualche senso geometrico un immagine speculare di z. Si utilizza in questo caso l inversione circolare, ossia la mappa z 7! z che trasforma biunivocamente l interno del cerchio nell esterno del cerchio (l origine va nel punto all in nito). Si noti che =z ha lo stesso argomento di z e modulo = jzj; in particolare, i punti della circonferenza non vengono spostati da questa mappa. Poiché il punto =z cade fuori dal cerchio si ha: = i w =z dw e sottraendo membro a membro si ha f (z) = i w z = z =z i w dw =z (w z) (w =z) dw: Poniamo ora z = e i# ; w = e i' e facciamo i conti: f e i# = ei# ei# i f e i' i e i' d' ( e i' e i# ) e i' ei# = e i# f e i' ( e i' e i# ) ( e i' e i# ) ei' d' = = = = f e i' e i(# ') e i(# ')d' f e i' ( cos (# ') + i sin (# ')) ( cos (# ') i sin (# ')) d' f e i' ( cos (# ')) + sin (# ') d' f e i' ( cos (# ') + d': ) () 4

5 Come nell esempio precedente, la cosa notevole della formula trovata è che il nucleo integrale k (; # ') = ( cos (# ') + ) ha valori reali. Questo signi ca che se scriviamo f = u + iv otteniamo due distinte formule di rappresentazione per u e v, i termini reali. Quella di u (l altra è analoga, non aggiunge niente) è u (; #) = u (; ') ( cos (# ') + d' () ) e vedendo u (armonica perché parte reale di una funzione olomorfa) come soluzione del problema di Dirichlet u (; ) = per < ; [; ] si ha u (; #) = = u (; ) = g () per [; ] g (') ( cos (# ') + ) d' k (; # ') g (') d' = (k (; ) g) (#) dov l ultimo integrale scritto si può vedere come convoluzione su [; ] tra il dato al bordo e il nucleo di Poisson sul cerchio, k (; ') = ( cos ' + ) : Abbiamo quindi determinato una formula risolutiva esplicita per il problema di Dirichlet sul cerchio per l equazione di Laplace. Per quanto riguarda le ipotesi di validità, valgono osservazioni analoghe a quelle fatte per la formula di Poisson sul semipiano. Si può dimostrare che se g C [; ] questa formula restituisce e ettivamente l unica soluzione del problema considerato. Questo fatto tuttavia non si deduce ripercorrendo i passi con cui la formula è stata ottenuta, ma con ragionamenti diversi che qui non a rontiamo. E interessante osservare cosa succede se nella () o nella () poniamo =, cioè valutiamo nell origine (centro del cerchio considerato) la funzione f o u, rispettivamente. Si trova: f () = u (; #) = f e i' d' = u (; ') d' f e i' d' 5

6 ossia: Il valore di una funzione olomorfa nel centro di un cerchio è la media integrale dei suoi valori sul bordo della circonferenza. Il valore di una funzione armonica nel centro di un cerchio è la media integrale dei suoi valori sul bordo della circonferenza. Questi enunciati sono noti come teorema della media per le funzioni olomorfe e teorema della media per le funzioni armoniche. Esprimono un importante proprietà geometrica del gra co di una funzione armonica (e quindi del gra co della parte reale e immaginaria di una funzione olomorfa), abbastanza intuitiva se si pensa ad alcuni dei sigi cati sici delle funzioni armoniche, ad esempio: in una membrana circolare in equilibrio, l altezza del centro è la media delle altezze dei punti del bordo. Lo studente interessato ad approfondire l argomento di queste note (in particolare: metodi per arrivare alle formule integrali di Poisson senza far uso della teoria delle funzioni olomorfe e discussione delle ipotesi minime sul dato al bordo per avere una e una sola soluzione del problema di Dirichlet, assegnata da queste formule) può consultare la Dispensa del Corso, 3. (per il cerchio) e 4. (per il semipiano). 6

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