Appunti integrativi per il Corso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 2015/2016

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1 Appunti integrativi per il Corso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 2015/2016 Marco Bramanti Politecnico di Milano October 14, Alcune applicazioni siche e geometriche del concetto di funzione olomorfa 1.1 Signi cati sici delle funzioni olomorfe A. Coniugata di una funzione olomorfa e campi irrotazionali solenoidali Se A C è un aperto connesso e f : A! C è olomorfa, allora scrivendo si ha la corrispondenza: f (x + iy) = u (x; y) + iv (x; y) funzioni f olomorfe $ campi vettoriali piani F : A! R 2 F = (u; v) con jacobiana ux u JF = y ux v = x v y u x (l identità tra le due matrici segue dalle condizioni di Cauchy-Riemann). Calcoliamo rotore e divergenza del campo F : r F = k (v x u y ) r F = u x + v y Se cambiassimo il segno di una sola delle due componenti di F, rotore e divergenza si annullerebbero entrambi. In altre parole: Proposizione 1 La coniugata di una funzione f olomorfa rappresenta un campo vettoriale irrotazionale e solenoidale, ossia: se v x f (x + iy) = u (x; y) + iv (x; y) è olomorfa in A, allora il campo F = (u; v) è irrotazionale e solenoidale in A. v x 1

2 Per dimostrarlo basta rifare il calcolo precedente con (u; condizioni di Cauchy-Riemann. v) ; usando le Esempio 2 Un campo elettrostatico piano obbedisce alla legge E = kq r jrj 2 (proporzionale a 1=r anziché 1=r 2 ). Questo è in prima approssimazione il campo generato su un piano da una distribuzione di carica che è uniforme lungo la direzione ortogonale al piano 1. Ad esempio, nel piano xy, q è una carica distribuita uniformemente lungo l asse z: In notazione complessa, r = e i# E = kq ei# 2 1 = kq e i# = kq 1 z : Quindi il campo elettrostatico è la coniugata della funzione 1=z; olomorfa in C. Difatti in C il campo è irrotazionale (perché conservativo) e solenoidale (assenza di cariche fuori dall origine). La scrittura complessa del campo elettrostatico piano generato da una carica in z 0 ; kq E = (z z 0 ) può essere utile per certi calcoli. Si veda ad esempio in anghì, 18.6, il calcolo del campo di dipolo o quadripolo. B. Moto stazionario piano di un liquido incomprimibile non vorticoso Consideriamo ora il campo di velocità piano v di un liquido incomprimibile e privo di vortici. Posto v= (v 1 ; v 2 ), le condizioni di rotore nullo e divergenza nulla 2 = 0: Poiché v è irrotazionale, in ogni apero A semplicemente connesso è gradiente di un potenziale di velocità ; ossia ( v v : (1) 1 Se integriamo lungo l asse z il campo E (tridimensionale e proporzionale a 1=r 2 ) esercitato in (x; y; 0) da una distribuzione di carica uniforme posta lungo l asse z, troviamo un campo piano proporzionale a 1=r: 2

3 D altro canto la condizione di @y = 0 si può anche leggere dicendo che anche il campo ( v 2 ; v 1 ) è irrotazionale e dunque è gradiente di un potenziale ; ( Le (1)-(2) dicono che: v v : (2) r r = 0 e che ; sono legate tra loro dalle @y = il che signi ca che la funzione di variabile complessa f (x + iy) = (x; y) + i (x; y) è olomorfa. Osserviamo che il campo di velocità è ortogonale a r e parallelo a r, perciò si dice funzione di corrente del campo di velocità. Abbiamo quindi dimostrato la seguente Proposizione 3 Nel moto stazionario piano di un liquido incomprimibile e non vorticoso, il potenziale di velocità e la funzione di corrente sono la parte reale e parte immaginaria di una funzione olomorfa. C. Funzioni armoniche Ricordiamo che una funzione u : A! R di classe C 2 (A) (A aperto di R n ) si dice armonica in A se soddisfa l equazione di Laplace nx j=1 u = 0 in A; 2 2 j = 0: Ricordiamo alcuni dei signi cati sici di quest equazione a derivate parziali. A seconda dei casi, la dimensione spaziale può essere n = 2 o Il potenziale elettrostatico u nei punti dello spazio privi di carica soddisfa u = 0: 2. Il potenziale gravitazionale u nei punti dello spazio privi di massa soddisfa u = 0: 3. La temperatura u interna a un corpo omogeneo, in condizioni di equilibrio termico, nelle regioni del corpo prive di pozzi o sorgenti di calore soddisfa u = 0: 4. La concentrazione u di una sostanza disciolta in un mezzo omogeneo, in condizioni di equilibrio chimico, nelle regioni del mezzo prive di pozzi o sorgenti di quella sostanza soddisfa u = 0: 5. Una membrana omogenea elastica ssata lungo il bordo, in condizioni di equilibrio è il gra co di una funzione u (x; y) che soddisfa u = 0: 3

4 La teoria delle funzioni olomorfe ha profondi legami con la teoria delle funzioni armoniche in due variabili. Infatti, vale anzitutto la seguente Proposizione 4 Sia f : A! C olomorfa in un aperto A, e supponiamo 2 che f sia di classe C 2 (A). Allora la sua parte reale e immaginaria sono funzioni armoniche in A. Dimostrazione. Scriviamo f = u + iv: Le condizioni di Cauchy-Riemann dicono che ux = v y u y = v x Derivando ambo i membri della prima equazione rispetto a x, della seconda rispetto a y, e sommando membro a membro, si ha: u xx + u yy = v yx v xy = 0 per il teorema di Schwartz sull uguaglianza delle derivate seconde miste di una funzione C 2. Dunque u è armonica. Se invece deriviamo ambo i membri della prima equazione rispetto a y, della seconda rispetto a x, e sottraiamo membro a membro, otteniamo che v è armonica. Esempio 5 Sia f (z) = z 3 olomorfa. Calcoliamo u; v parti reale e immaginaria e veri chiamo che sono funzioni armoniche. Ora, z 3 = (x + iy) 3 = x 3 + 3ix 2 y 3xy 2 iy 3 ; da cui u (x; y) = x 3 3xy 2 v (x; y) = 3x 2 y y 3 : u = u xx + u yy = x 3 3xy 2 xx + x3 3xy 2 yy = 3x 2 3y 2 + ( 6xy) x y = 6x 6x = 0; v = 3x 2 y y 3 xx + 3x2 y y 3 yy = (6xy) x + 3x 2 3y 2 = 6y 6y = 0: y Esempio 6 (Armoniche elementari) Generalizzando l esempio precedente, notiamo che, in base alla proposizione, le funzioni u n (x; y) = Re (z n ) = Re (x + iy) n v n (x; y) = Im (z n ) = Im (x + iy) n sono armoniche nel piano per n = 0; 1; 2; 3:::. Si capisce dall espressione analitica che sono polinomi omogenei di grado n in x; y. Si chiamano armoniche 2 Quest ipotesi è in realtà super ua perché, come vedremo più avanti nello sviluppo della teoria, una funzione olomorfa è automaticamente C 2 : Per il momento la facciamo per sottolineare che cosa in e etti ci serve. 4

5 elementari nel piano. E facile scriverle in forma polare, cioè in funzione di ; # in quanto per le formule di De Moivre si ha u n (x; y) = Re (z n ) = Re e i# n = Re n e ni# = n cos (n#) v n (x; y) = Im (z n ) = n sin (n#) : Queste funzioni sono importanti ad esempio perché, se si risolve mediante separazione di variabili il problema di Dirichlet per l equazione di Laplace sul cerchio, si trova che la soluzione si può esprimere per serie di armoniche elementari con opportuni coe cienti: la soluzione di u (; #) = 0 per < 1 si scrive u (1; #) = f (#) u (; #) = a X n (a n cos (n#) + b n sin (n#)) n=1 dove a n ; b n sono i coe cienti di Fourier di f in [0; 2]. Quindi: ogni funzione armonica sul cerchio e continua no al bordo si può scrivere come serie delle in nite armoniche elementari. Sapendo che parte reale e immaginaria di una funzione olomorfa sono funzioni armoniche, ci si può chiedere se valga in un certo senso il viceversa: data una funzione u armonica in A, esiste un altra funzione v armonica in A tale che u + iv sia olomorfa? Se una tale v esiste, si dirà armonica coniugata di u. Per capire il problema, partiamo ancora dalle condizioni di Cauchy-Riemann ux = v y u y = v x che ora dobbiamo pensare nella funzione incognita v, assegnata la u: Quindi si tratta di trovare una funzione v (x; y) che soddis rv = ( u y ; u x ) ; cioè dobbiamo trovare un potenziale v del campo ( u y ; u x ). Questo d altro canto è irrotazionale, perché ( u y ) y = (u x ) x proprio perché per ipotesi u è armonica. Dunque localmente (o in tutto A se questo è semplicemente connesso) il potenziale esiste, ed è determinato a meno di costante additiva. Vale perciò la seguente: Proposizione 7 Data una funzione u (x; y) armonica in un aperto semplicemente connesso A, esiste una funzione v armonica in A e tale che u + iv è olomorfa in A. Tale funzione v è univocamante determinata a meno di costante additiva, e si dice armonica coniugata di u. 5

6 Esempio 8 Sia u (x; y) = x 2 y 2, armonica in R 2 : (E facile in quest esempio così semplice indovinare subito la v, tuttavia seguiamo il procedimento generale per illustrarlo). Cerchiamo v tale che ux = v y u y = v x ossia vx = 2y v y = 2x: v x = 2y =) v (x; y) = 2xy + c (y) =) v y (x; y) = 2x + c 0 (y) = 2x per c 0 (y) = 0, cioè c = cost : e La funzione v (x; y) = 2xy (+c) : è olomorfa in C. f (x + iy) = u + iv = x 2 y 2 + 2ixy = (x + iy) 2 = z 2 Esempio 9 Sia u (x; y) = e x sin y, armonica in R 2 : Cerchiamo v tale che ux = v y u y = v x ossia vx = e x cos y v y = e x sin y: v x = e x cos y =) v (x; y) = e x cos y + c (y) =) v y (x; y) = e x sin y + c 0 (y) = e x sin y per c 0 (y) = 0, cioè c = cost : e La funzione v (x; y) = e x cos y (+c) : f (x + iy) = u + iv = e x sin y ie x cos y = ie x (cos x + i sin x) = ie z è olomorfa in C. 6

7 1.2 Signi cato geometrico delle funzioni olomorfe Abbiamo già visto che se A C è un aperto connesso e f : A! C è olomorfa, allora scrivendo f (x + iy) = u (x; y) + iv (x; y) alla funzione f si può associare la funzione F : A! R 2 F = (u; v) con jacobiana ux u JF = y ux v = x v y u x v x Anziché vedere F come campo vettoriale piano, vediamola ora come trasformazione di coordinate nel piano. Sappiamo che la condizione naturale da imporre a una trasformazione F : A! R 2 di classe C 1 a nché sia almeno localmente invertibile (quindi si possa vedere come cambio di variabili nel piano) è che la sua jacobiana abbia determinante diverso da zero. Se F proviene da una funzione olomorfa nel modo visto, si ha: ux v det JF = det x = (u u x ) 2 + (v x ) 2 x v x e ricordando che f 0 (x + iy) = u x (x; y) + iv x (x; y) ; risulta (u x ) 2 + (v x ) 2 = jf 0 j 2, ossia det JF (x; y) = jf 0 (x + iy)j 2 : E quindi naturale, da un punto di vista geometrico, studiare le funzioni olomorfe in un aperto connesso A per le quali risulti f 0 (z) 6= 0 in tutto A: De nizione 10 Si dice trasformazione conforme, o mappa conforme, in un aperto connesso A, una funzione f : A! C olomorfa in A e tale che f 0 (z) 6= 0 in tutto A. Per quanto già osservato, in base al teorema della funzione inversa, una trasformazione conforme è un di eomor smo locale, cioè ogni punto di A ha un intorno in cui essa è invertibile, con inversa ancora C 1. Si può anche dimostrare un teorema sulla derivata della funzione inversa (analogo a quello visto in analisi 1 per funzioni da R a R) per funzioni da C a C, perciò quest inversa, vista come funzioni di variabile complessa, risulta a sua volta olomorfa. Si può anche dire che una mappa conforme è localmente biunivoca e biolomorfa. Esempio 11 La funzione f (z) = z 2 è una trasformazione conforme in C (la derivata si annulla solo in zero). Notiamo che ogni punto z 0 6= 0 ha un intorno in cui la funzione è invertibile. L invertibilità tuttavia è solo locale. Ad esempio, consideriamo il punto z 0 = 1 e il suo intorno B 1=2 (1), che viene trasformato dalla f in un intorno V del punto 1. La f è biunivoca tra B 1=2 (1) e V, con inversa la funzione p z (radice principale), tuttavia esiste anche un intorno di 1 che viene mappato da f su V (con inversa la radice quadrata f 1 ), perciò l invertibilità è solo locale, non globale. v x 7

8 Le trasformazioni conformi hanno un interessante proprietà geometrica: conservano gli angoli. Più precisamente: Proposizione 12 Sia f : A! C una mappa conforme nell aperto A, sia z 0 2 A e siano 1 ; 2 due curve regolari passanti per z 0, le cui rette tangenti in z 0 formano un angolo #. Allora f trasforma le curve in due curve regolari 1; 2 le cui rette tangenti in f (z 0 ) formano lo stesso angolo #. Dimostrazione. Supponiamo che 1 ; 2 : ( ; )! A con 1 (0) = 2 (0) = z 0. I vettori velocità alle due curve in z 0 sono (in notazione complessa) e l angolo da esse formato è 0 1 (0) ; 0 2 (0) # = arg ( 0 2 (0)) arg ( 0 1 (0)) : Le curve trasformate sono 1; 2 : ( vettori velocità in f (z 0 ) dati da: ; )! A; j (t) = f ( (t)) (j = 1; 2), con 0 j (0) = f 0 ( j (0)) 0 j (0) = f 0 (z 0 ) 0 j (0) : Ricordiamo che per la regolarità delle curve risulta j 0 (0) 6= 0; mentre poiché f è conforme risulta f 0 (z 0 ) 6= 0. In base alle formule di De Moivre, il prodotto di due numeri complessi entrambi non nulli ha per argomento la somma degli argomenti, perciò l angolo formato da 1 0 (0) ; 2 0 (0) è arg ( 0 2 (0)) arg ( 0 1 (0)) = arg (f 0 (z 0 ) 0 2 (0)) arg (f 0 (z 0 ) 0 1 (0)) = [arg (f 0 (z 0 )) + arg ( 0 2 (0))] [arg (f 0 (z 0 )) + arg ( 0 1 (0))] = arg ( 0 2 (0)) arg ( 0 1 (0)) = #: 8

9 Una griglia e la sua immagine lungo una mappa conforme: le curve sono distorte ma restano ortogonali (gli angoli sono preservati). Una delle ragioni per cui le mappe conformi sono importanti è però legato all aspetto analitico più che geometrico: le mappe conformi conservano la proprietà di una funzioni di essere armonica. Teorema 13 Sia f : A! C una mappa conforme nell aperto A, biunivoca tra A e f (A), sia f 2 C 2 (A) 3, sia u : f (A)! R una funzione C 2 (f (A)) e sia U (x; y) = u (f (x; y)). (Stiamo vedendo la f come funzione da R 2 a R 2 ). Allora u è armonica in f (A) se e solo se U è armonica in A. In altre parole, una mappa conforme conserva la classe delle funzioni armoniche su un dominio. Dimostrazione. Se f (x + iy) = (x; y) + i (x; y) U (x; y) = u ( (x; y) ; (x; y)) ; 3 L ipotesi f 2 C 2 (A) in realtà è super ua: proveremo che ogni funzione olomorfa è C 2. Tuttavia a questo livello di sviluppo della teoria l ipotesi va segnalata. 9

10 si ha: U x = u x (; ) x + u y (; ) x U xx = u xx (; ) ( x ) 2 + u xy (; ) x x + u x (; ) xx + u xy (; ) x x + u yy (; ) ( x ) 2 + u y (; ) xx e analogamente U yy = u xx (; ) ( y ) 2 +u xy (; ) y y +u x (; ) yy +u xy (; ) y y +u yy (; ) ( y ) 2 +u y (; ) yy : Perciò U = u xx (; ) ( x ) 2 + 2u xy (; ) x x + u x (; ) xx + u yy (; ) ( x ) 2 + u y (; ) xx + u xx (; ) ( y ) 2 + 2u xy (; ) y y + u x (; ) yy + u yy (; ) ( y ) 2 + u y (; ) y che, ricordando le condizioni di Cauchy-Riemann su f, cioè x = y e jf 0 (z)j 2 = ( y = x ) 2 + ( x ) 2 x si può sempli care così: U = u xx (; ) jf 0 (z)j 2 + u yy (; ) jf 0 (z)j 2 + 2u xy (; ) [ x x + y y ] + u x (; ) + u y (; ) = u (; ) jf 0 (z)j 2 in quanto [ x x + y y ] = 0 per le condizioni di Cauchy-Riemann, e = = 0 perché parte reale e immaginaria di una funzione olomorfa sono armoniche. In de nitiva: U (x; y) = u ( (x; y) ; (x; y)) jf 0 (x + iy)j 2 : Poiché f è una mappa conforme, jf 0 (x + iy)j 2 6= 0 in tutto A. Se ne conclude che U = 0 in A se e solo se u = 0 in f (A). Il teorema precedente fornisce una possibile strategia per risolvere il problema di Dirichlet per il laplaciano in un dominio piano, u = 0 in u = g Supponiamo di sapere già come si risolve questo problema su un certo particolarmente semplice. Ad esempio, sono ben note le formule risolutive esplicite quando è un cerchio oppure un semipiano (le dimostreremo più avanti). E supponiamo di voler risolvere il problema su un diverso aperto connesso A. Possiamo allora cercare una mappa conforme f : A! f (A) = (biunivoca), continua no al bordo del dominio. Se u risolve il problema u = 0 in f (A) u = g (f (A)) ; (3) 10

11 allora U (x; y) = u (f (x; y)) risolve il problema U = 0 in A U = h (4) con h (x; y) = u (f (x; y)) = g (f (x; y)) : Quindi si procede così: 1. Volendo risolvere il problema (4), si risolve prima il problema (3) con condizione al contorno g (x; y) = h f 1 (x; y) ; sia u tale soluzione. 2. Si de nisce poi U (x; y) = u (f (x; y)). Questa U è la soluzione cercata di (4). Esempio 14 Vogliamo risolvere il problema di Dirichlet esterno sul cerchio, ossia (in coordinate polari) U = 0 per > R U (R; #) = h (#) : Sappiamo che la soluzione del problema all interno del cerchio, cioè u = 0 per < R u (R; #) = g (#) è data da u (; #) = a X n (an cos (n#) + b n sin (n#)) R n=1 dove a n ; b n sono i coe cienti di Fourier di g in [0; 2]. Consideriamo la seguente mappa conforme che porta A = fjzj > Rg in f (A) = fjzj < Rg: f (z) = R2 z : Si noti che f è l inversa di se stessa: w = R 2 =z () z = R 2 =w: Il dato al bordo h va trasformato mediante f 1. Poiché arg (1=z) = arg (z) ; si ha I coe cienti di Fourier di g saranno: a g n = 1 = 1 b g n = 1 = 1 g (#) = h ( #) : g (#) cos (n#) d# = 1 h (#) cos ( n#) d# = 1 g (#) sin (n#) d# = 1 h (#) sin ( n#) d# = 1 h ( #) cos (n#) d# h (#) cos (n#) d# = a h n h ( #) sin (n#) d# h (#) sin (n#) d# = b h n 11

12 quindi la soluzione del problema trasformato è 1 u (; #) = ah X n a h R n cos (n#) b h n sin (n#) : n=1 Ora dobbiamo porre U (; #) = u (f (; #)). Poiché in coordinate polari la f si scrive si ha R 2 U (; #) = u ; # f (; #) = R2 e i# ; cioè jf (; #)j = R2 ; arg (f (; #)) = # = ah 0 1 = ah X n R n= X R 2 R n=1 n a h n cos (n#) + b h n sin (n#) ; a h n cos (n#) b h n sin ( n#) formula risolutiva per il problema di Dirichlet esterno sul cerchio. Data l utilità applicativa di saper risolvere esplicitamente il problema di Dirichlet su svariati domini del piano, si è sviluppata nei decenni la ricerca di un atlante di mappe conformi che portino il cerchio o il semipiano in vari domini. Si veda ad es. H. Kober, Dictionary of conformal representation, Dover Pub. Inc., Per una trattazione più contenuta, ma ricca di esempi signi cativi e applicazioni, si veda H. F. Weinberger. A rst course in partial di erential equations. Dover Pub. Inc., Ad esempio, sono note le mappe conformi che trasformano il cerchio in un poligono assegnato (anche se queste mappe non hanno una scrittura elementare ma coinvolgono funzioni integrali), perciò esistono formule esatte (teoricamente) per la risoluzione del problema di Dirichlet sui poligoni. Accanto a questi risultati concreti e speci ci, esiste poi un risultato generale astratto, che mostra come il problema della ricerca di una mappa conforme sia teoricamente sempre risolubile: Teorema 15 (della mappa di Riemann) Data un qualsiasi aperto semplicemente connesso del piano complesso che non sia tutto C, e dato un punto z 0 2, esiste una mappa conforme di nel disco unitario fjzj < 1g, biunivoca. Tale mappa è unica sotto le condizioni di normalizzazione: f (z 0 ) = 0 e f 0 (z 0 ) reale positivo. Per una dimostrazione si veda L. V. Ahlfors, Complex Analysis. International Student Edition, 1979, Chap.6. 12