Matematica II per Edili (5 cfu). Soluzioni. 12 Giugno 2006

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1 Matematica II per Edili ( cfu). Soluzioni. Giugno 6 Nome Matricola L esame dura ore. Il nome e il numero di matricola vanno scritti su ogni foglio. Non è consentito l uso di calcolatrici, libri, appunti o altro. Lo svolgimento degli esercizi va scritto sul presente fascicolo, che è l unico che dovrà essere consegnato. Ogni passaggio della soluzione dovrà essere giusti cato con brevi spiegazioni. Ogni esercizio vale punti, per poter essere ammessi all orale occorre totalizzare almeno punti tra i primi esercizi e punti tra gli ultimi esercizi.. Scrivere l equazione parametrica della retta r intersezione dei due piani x + y z = e x + y z = Determinare poi il piano contenente la retta r e perpendicolare al piano x + y + z =. Per determinare r occorre risolvere il sistema x + y z = x + y z = Sottraendo la seconda equazione dalla prima, otteniamo y = x = z + La retta ha dunque equazione parametrica x y z = Il fascio di piani contenenti r è + t (x + y z ) + (x + y z ) = ( + ) x + ( + ) y + ( ) z = + Imponendo la condizione di perpendicolarità tra i vettori normali ai due piani ( + ) + ( + ) + ( ) = + = ; otteniamo la soluzione = ; = Il piano cercato è quindi x + z =

2 . Veri care che B = f(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g è una base di R Determinare poi le coordinate del vettore (; ; ) nella base B Tre vettori di R formano una base se e solo se sono linearmente indipendenti, e questo avviene se e solo se la matrice A = ha determinante non nullo. Poiché det A = 7; B è una base. Le coordinate di (; ; ) nella base B sono i tre numeri (; ; ) tali A A A A ; cioè le soluzioni del sistema 8 < cioè (; ; ) + + = + = + = ;

3 Nome Matricola. Discutere, al variare di k, il seguente sistema e risolverlo quando ammette una o più soluzioni 8 < (k + ) x y + kz = y + z = x + (k + ) y + z = La matrice dei coe cienti è il cui minore di ordine, det il determinante det k + k k + = è non nullo. Il rango è quindi oppure. Occorre studiare k + k k + = k ( k) Dunque il rango della matrice dei coe cienti è per k = e per k = ; mentre è per gli altri valori di k. La matrice completa avrà quindi rango per k 6= e k 6= e in questo caso il sistema ha una soluzione. Se invece k =, la matrice completa è che ha rango perché la sottomatrice ha determinante 8 e quindi non nullo. Pertanto per k = il sistema non ha soluzioni. Se in ne k =, la matrice completa è che ha rango perché le due matrici per che orlano hanno determinante nullo la prima è la matrice dei coe cienti (che abbiamo già calcolato) e l altra è il cui determinante è. Pertanto, per k = il sistema ha = soluzioni. Le soluzioni per k 6= e k 6= sono 8 < x = k k y = z = k k ; mentre per k =, le soluzioni sono 8 < x = y = z = t t t

4 . Diagonalizzare, se possibile, la matrice A = 6 6 Il polinomio caratteristico è P () = det = ( ) ( ( ) + ) = ( ) ( ) 6 6 Gli autovalori sono quindi = con molteplicità algebrica m = e = con molteplicità algebrica m = L autovalore è semplice e quindi regolare. Per determinare la molteplicità geometrica di occorre determinare il numero di soluzioni del sistema 6 6 x y z = equivalente a x + y = Le soluzioni (autospazio) sono x y z = z + x e quindi anche è regolare, poiché ha molteplicità geometrica La matrice è diagonalizzabile. Ora dobbiamo trovare l autospazio relativo a. Risolviamo il sistema x y = 6 6 z cioè x + y = 6x + 6y z = Le soluzioni (autospazio) sono x y z = y La matrice si diagonalizza dunque nel modo seguente =

5 Nome Matricola. Calcolare l integrale di linea R f ds dove f (x; y) = x y e è il sostegno della curva r (t) = (t; sin t), con t [ ; ] Poiché r (t) = (; cos t) ;avremo ds = p + cos t dt Dunque Z f ds = Z t sin t p + cos tdt = poiché stiamo integrando una funzione dispari su un intervallo simmetrico rispetto all origine.

6 6. Determinare e rappresentare gra camente l insieme di de nizione ed il segno della funzione p f (x; y) = y x log (y + ) + x L insieme di de nizione è E = (x; y) y x e (x; y) 6= (; ) La funzione ha segno positivo in E + = E \ n(x; y) (y + ) + x > ; y < x o e segno negativo in E = n (x; y) < (y + ) + x < ; y < x o Gli zeri di f si trovano in E = n o (x; y) (y + ) + x = [ (x; y) y = x 6

7 Nome Matricola 7. Studiare i punti stazionari della funzione f (x; y) = x x xy + y Precisare inoltre se sono etremi assoluti. Per il teorema di Fermat, i punti stazionari sono le soluzioni del (x; y) = x x (x; y) = x + y = ; cioè A = (; ) ; B = (; ) e C = (; ) La matrice hessiana è x Hf (x; y) = y Poiché Hf (; ) = Hf (; ) = Hf (; ) = ; ; 8 ; si deduce che A è un punto di sella mentre B è un punto di minimo relativo. Lo studio di C è più delicato, perché la matrice hessiana ha determinante nullo. Studiamo il comportamento di f (x; y) f (; ) lungo la retta, passante per C = (; ), di equazione x = y. Si ha f ( y ; y) f (; ) = ( y ) ( y ) ( y ) y + y 6 = (y + ) Questa quantità ha segno postivo per y <, e segno negativo per y >. Segue che C è un punto di sella. Ci si potrebbe domandare da dove nasce la scelta della retta x = y. Ecco il motivo detto v = (v ; v ) un versore generico, de niamo al solito la restrizione di f alla retta passante per (; ) con vettore direttore v nel modo seguente Abbiamo visto a lezione che e quindi nel nostro caso g v (t) = f ( + tv ; + tv ) g v () = f xx (; ) v + f xy (; ) v v + f yy (; ) v ; g v () = v v v v = (v + v ) Questa derivata seconda è sempre negativa (e quindi (; ) è un punto di massimo relativo lungo la direzione (v ; v )), tranne quando v + v = Dunque l unica retta lungo la quale può non esserci un massimo relativo è quella passante per (; ) e con vettore direttore ( ; ), cioè x = y. In ne, poiché f (; y) = y tende a al tendere di y a, B non è minimo assoluto. 7

8 8. Calcolare il seguente integrale doppio Z Z D (x + y) dxdy dove D è il triangolo di vertici A = (; ), B = (; ) ; C = (; ). Il triangolo D si può scrivere come insieme x semplice come D = (x; y) y ; y x y + Dunque l integrale cercato è uguale a Z Z y+ y (x + y) dx! dy = Z y 7 8 y + dy = 8