UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO Svolgimento della prova scritta - fuori corso - di Matematica II 11 Novembre 2010

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO della rova scritta - fuori corso - di Matematica II Novembre Esercizio In R si considerino i seguenti sottosazi vettoriali: V = (x; y; z) R j x y z = x z =, W = (x; y; z) R j x y z = a. calcolare la dimensione e una base di V? ; b. la dimensione e una base di V W ; c. dire se u = (; ; ) V? e in tal caso calcolare le comonenti di u risetto alla base trovata al unto a). a. Osserviamo che il sistema raresentativo di V uò anche essere scritto come (; ; ) (x; y; z) = V : (; ; ) (x; y; z) = Ne segue che i vettori dei coe cienti aartengono a V? ed, essendo non roorzionali tra loro, sono linearmente indiendenti e quindi rorio una base. b. Ricordando che V W = hb V [ B W i, andiamo a calcolare una base di V e una di W.Abbiamo già osservato al unto recedente che il rango della matrice dei coe cienti del sistema raresentativo di V è, ne segue che dim V = = e ossiamo considerare il sistema lineare ridotto x y = z =) V = f(z; z; z) jz Rg x = z er cui B V = f(; ; )g.dal sistema raresentativo di W, otteniamo immediatamente W = f(y z; y; z)!y; z Rg da cui B W = f(; ; ) ; ( ; ; )g. Osservando che = 6= otteniamo che B vw = B V [ B W. c. Osservando che concludiamo che u = V?. = 6=

2 Esercizio Data l endomor smo f di R, la cui matrice raresentativa è data da: A A ;. (a) calcolare la dimensione e una base di ker f ; (b) calcolare la dimensione e una base ortonormale di Im f; (c) dire se l endomor smo dato è diagonalizzabile su R e su C. a. Il nucleo di f è raresentato x y z A Osservando che det A = e che ja ;;; j 6=, abbiamo A y z = x ker f : z = x =) ker f = f(x; x; x) jx Rg da cui si ricava che dim ker f = e una sua base è f(; ; )g : b. L immagine di f è generato dalle colonne di A e una base è data dalle colonne linearmente indiendenti, quindi er quanto osservato al unto a), abbiamo che dim Im f = e una sua base è f( ; ; ) ; (; ; )g. Alichiamo a questa il rocedimento di Gram-Schmidt e otteniamoc ( ; ; ) u = j( ; ; )j = ; ; v = (; ; ) (; ; ) ; ; ; ; = = (; ; ) ; ; = = (; ; ) ; ; = = ; ; v = v jv j = 6 ; 6 ; 6 quindi una base ortonormale è data da fu; vg.

3 c. Calcoliamo gli autovalori di A attraverso l equazione caratteristica ja hij = h h 5h quindi A ossiede un solo autovalore reale h =, ne segue che A non è diagonalizzabile su R (er il teorema rinciale di caratterizzazione della diagonalizzazione), ma ha tre autovalori comlessi ; i ; i, quindi è diagonalizzabile su C (er la condizione su ciente della diagonalizzabilità). Esercizio Studiare la convergenza e, se ossibile, calcolare la somma della seguente serie numerica: X n= n sin (n 4) : Veri chiamo se la serie soddisfa la condizione necessaria di convergenza: sin n lim n! (n 4) = : A questo unto osserviamo che in base al criterio del confronto asintotico risulta: n sin (n 4) n ; ossia la serie di artenza confrontata con quella armonica generalizzata converge. Esercizio 4 Determinare i unti di massimo e minimo relativi della funzione f(x; y) = f(x; y) = e xy (x y): Calcoliamo il gradiente della funzione rf(x; (x; = e xy y xy ; e xy x yx : Imoniamo che il gradiente sia nullo allo scoo di calcolare i unti stazionari della funzione: y xy = x yx =

4 che risultano risettivamente A( ; ); B( ; ): Calcolando l hessiano risulta che entrambi i unti sono di sella Esercizio 5 Risolvere i seguenti roblemi: a. Determinare l integrale generale della seguente equazione di erenziale: y y 5y 5y = 8xe x e cos 5x b. Determinare l integrale generale della seguente equazione di erenziale: y(y ) x(y ) 8y = a. Calcolare l integrale generale della equazione di erenziale seguente: y y 5y 5y = 8xe x e cos 5x; consideriamo l equazione omogenea associata: y y 5y 5y = da cui l equazione caratteristica risulta: 5 5 = le cui soluzioni sono ; = i 5; = ; di conseguenza la soluzione della omogenea sarà: y o (x) = C e x C cos 5x C sin 5x: A questo unto occorre individuare la soluzione articolare, che sarà del tio: y (x) = x(ax B)e x C cos 5x D sin 5x calcoliamone le derivate: y (x) = Be x 5C sin 5x 5D cos 5x Axe x Bxe x Ax e x y (x) = Ae x 5C cos 5x 6Be x 5D sin 5x Axe x 9Bxe x 9Ax e x y (x) = 8Ae x 7Be x 5C sin 5x 5D cos 5x 54Axe x 7Bxe x 7Ax e x da cui segue 4

5 8Ae x 7Be x 5C sin 5x 5D cos 5x 54Axe x 7Bxe x 7Ax e x (Ae x 5C cos 5x 6Be x 5D sin 5x Axe x 9Bxe x 9Ax e x ) 5(Be x 5C sin 5x 5D cos 5x Axe x Bxe x Ax e x ) 5(x(Ax B)e x C cos 5x D sin 5x) = 6C cos 5x Ae x 4Be x C sin 5x D cos 5x 6D sin 5x 8Axe x = e cos 5x ossia: 8 >< >: 6C D = e C 6D = A 4B = 8A = 8 le cui soluzioni sono A = 7 ; B = 49 ; C = 68 e ; D = 6 e ; che sostituite nella soluzione articolare si ottiene la soluzione generale seguente: y(x) = C e x C cos 5xC sin 5xx( 7 x 49 )ex 68 cos 5x 6 e sin 5x: b. Calcolare l integrale generale della equazione di erenziale seguente: y(y ) x(y ) 8y = Innanzitutto, ossiamo riscrivere l equazione come segue: y (x y 8) = x y y = x y x y 8 le due rette non sono arallele, ma hanno il seguente unto in comune: x y = ) P (; ); x y 8 = da cui = x = y ) x = y = 5

6 che sostituendo nella equazione di erenziale assegnata, diviene: = ( ) ( ) ( ) 8 ; = dividendo tutto er ; otteniamo = osto z = ; si ha = z, er cui = z z ; z z = z z ; z = 4z z z di conseguenza trattandosi di una equazione a variabili searabili risulta: x 4 y 4z z z Z z 4z z dz = ln z 4 z dz = d = ln z 4 = z = x y Z d! = = x Esercizio 6: Si calcoli il valore del seguente integrale curvilineo Z y ds 6

7 lungo la curva (cicloide) di equazioni arametriche x = t sin t y = cos t relativamente all arco di base [ 6 ; 5 6 ]. Si ha ds = ( cos t)dt, quindi l integrale diventa Z 5=6 =6 ( cos t) ( cos t)dt = Z 5=6 =6 cos tdt = [ cos t] 5=6 =6 = 6; dove si usata la relazione sin t = sin t, valida nell intervallo considerato, dove sin t >. Esercizio 7: Assegnata nel iano la forma di erenziale lineare seguente!(x; y) = x 4 x y dx y 4 x y dy; se ne studino l insieme di de nizione, la chiusura e l esattezza, e se ne determinino, se il caso, le rimitive. Si determini oi il suo integrale lungo il segmento orientato di estremo iniziale A (; ) ed estremo nale B (; ). : L insieme di de nizione il triangolo di vertici OCD, con C (4; ) e D (; 4). La forma chiusa, @x = (4 x y) ; inoltre la forma esatta dato che il dominio semlicemente connesso. Le rimitive sono date da f(x; y) = x y 4 x y c: Il valore dell integrale nullo. Esercizio 8: Calcolare il seguente integrale suer ciale: Z yd dove S è la suer cie di equazioni y z = arctan x s (x; y) D D = (x; y) R : x y ; x ; y 7

8 : La formula er il calcolo dell integrale suer ciale è Z Z q I = g(x; y) jrfj dxdy dove g (x; y) = y e f (x; y) = z = arctan x y : y x In questo caso, essendo rf = x y ; x y, si ottiene: s D Z Z Z I = yd = D y s x y x y dxdy Questo integrale doio uò essere risolto utilizzando le coordinate olari: x = cos y = sin essendo D = (; ) : ; : Quindi Z Z I = d sin d = [ cos ] = = h i (5) () Esercizio 9: Calcolare il seguente integrale doio: Z Z e x y jxj dxdy dove il dominio D è il seguente : D D = (x; y) R : 4 x y 5; y : L integrale uò essere calcolato utilizzando le coordinate olari x = cos che trasformano l insieme D in D : y = sin D = (; ) R : 5; Quindi Z Z I = e x y jxj dxdy = D 8

9 Z Z = e j cos j dd = D Z 5 = 7e 5 e h [sin ] [ sin ] e Z jcos j d d = e " Z 5 i = e 7e Si osservi che l integrale R e d è svolto er arti, mentre er l integrale R jcos j d si tiene conto del segno della funzione f () = cos : cos d Z ( cos ) d # 9