Cubiche e affinità nelpiano

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1 Cubiche e affinità neliano Francesco Daddi Marzo 2009 Vogliamo dimostrare che, assegnata una qualsiasi coia di funzioni cubiche, esiste un affinità che trasforma l una nell altra. E ossibile collegare questo fatto con la scelta di un oortuno sistema di riferimento cartesiano. 1 Riduzione alla forma canonica Data la funzione cubica y = ax 3 + bx 2 + cx+ d con a 0, 1 cerchiamo una trasformazione affine ϕ del tio { x = x + h y = λx + μy + k 2 tale che la cubica 1 sia trasformata nella cubica fondamentale, la cui equazione è detta anche forma canonica: y =x 3. 3 Sostituendo le formule 2 nell equazione 3 troviamo ricavando la y otteniamo: λx + μy + k =x + h 3 y = 1 μ x3 + 3 h μ x2 + 3 h2 λ x + h3 k μ μ uguagliando termine a termine con la 1 si ottiene un sistema che uò essere risolto con la tecnica a cascata vengono calcolati nell ordine μ, h, λ, k: 1 μ = a μ = 1 a 3 h μ = b 3 h 2 λ = c μ h 3 k = d μ h = b λ = b2 c 2 k = b3 27 a 2 d 27 a 3 in definitiva le equazioni dell affinità sonoleseguenti: x = x + b y = b2 c x a y + b3 27 a 2 d 27 a

2 2 Dalla forma canonica alla forma generale 2 Osservazione 1. Poiché il unto F di flesso della cubica y = ax 3 + bx 2 + cx+ d ha coordinate F = b ; 2 b 3 27 a bc 2 + d, 6 dalle formule 5 deduciamo che l immagine di F mediante l affinità ϕ è l origine delle coordinate. Esemio 2. Determiniamo le equazioni dell affinità ϕ che trasforma la cubica y = x x x+55 nella cubica y =x 3. Figura 1: L affinità ϕ trasforma la cubica di equazione y = x 3 +12x 2 +45x+55 nella cubica y =x 3. Dalle formule 5 ricaviamo direttamente le equazioni dell affinità: { x = x 4 y =3x + y +9. Per quanto detto nell osservazione 1, l immagine del unto di flesso della cubica, ovvero il unto F = 4; 3, è l origine delle coordinate si veda la figura 1. 2 Dalla forma canonica alla forma generale Cerchiamo ora le equazioni dell affinità ψ che trasforma la cubica y = x 3 nella cubica y = ax 3 + bx 2 + cx + d. Basta considerare la trasformazione inversa dell affinità 5 mettendo x

3 3Affinitànelcasogenerale 3 e y al osto, risettivamente, di x e y: x = x b ψ : y = c b2 x + ay + 2 b3 27 a bc 2 + d. 7 Osservazione 3. E facile verificare che l immagine mediante l affinità ψ dell origine è il unto di flesso F, le cui coordinate sono date dalla formula 6. Esemio 4. Determiniamo la trasformazione affine ψ che trasforma la cubica y =x 3 nella cubica di equazione y =2x 3 36 x x 418. Sostituendo i valori nelle formule 7 otteniamo: ψ : { x = x +6 y = 3 x +2y 4 ; Figura 2: L affinità ψ trasforma la cubica y =x 3 nella cubica di equazione y =2x 3 36 x x 418. si osservi che l immagine dell origine è rorio il unto di flesso della curva, ovvero il unto F di coordinate 6 ; 4. 3 Affinitànelcasogenerale Determiniamo ora le equazioni dell affinità f che trasforma la cubica C 1 : y = a 1 x 3 + b 1 x 2 + c 1 x + d 1 nella cubica C 2 : y = a 2 x 3 + b 2 x 2 + c 2 x + d 2. Sfruttiamo i risultati già ottenuti:

4 3Affinitànelcasogenerale 4 con l affinità ϕ le cui equazioni sono date dalla 5 con a 1,b 1,c 1,d 1 al osto di a, b, c, d lacurva C 1 viene trasformata nella cubica ϕc 1 aventeequazioney =x 3 ; alicando l affinità ψ le cui equazioni sono date dalla 7 con a 2,b 2,c 2,d 2 al osto di a, b, c, d alla cubica ϕc 1 otteniamo la cubica C 2. In definitiva la trasformazione affine f che risolve il nostro roblema si ottiene considerando la comosizione, nell ordine, delle affinità ϕ e ψ: La figura 3 illustra il rocedimento da seguire. f = ψ ϕ. 8 Figura 3: Trasformazioni affini di cubiche nel caso generale. Mettendo assieme le trasformazioni 5 e 7 si ottiengono le equazioni dell affinità nel caso generale: x = x + b 1 b f : y = 3a2 1a 2 c 2 a 2 2a 1 c 1 +a 2 2b 2 1 a 2 1b a x + a 9 2 y + τ 2 a 1 dove τ èlaquantità τ = 9 c 2b 1 a 2 1 a2 2 9 b 2c 2 a 3 1 a 2 3 b 2 2 b 1a 2 1 a 2 +2b 3 2 a3 1 + a3 2 b d 2a 3 1 a a3 2 d 1a a 3 1 a2 2.

5 4 Cambio di coordinate 5 Esemio 5. Cerchiamo l affinità che trasforma la cubica y = x 3 9 x 2 +2x + 4 nella cubica y = 2x 3 +6x 2 +2x 1. La rima affinità ϕ ha equazioni { x = x 3 y =25x + y mentre er quanto riguarda la seconda trasformazione ψ abbiamo ψ : { x = x +1 y =8x 2 y +5 ; 11 mettendo assieme le trasformazioni 10 e 11, ovvero calcolando le equazioni dell affinità f = ψ ϕ, abbiamo: { x = x 2 f : y = 42 x 2 y +43. Osserviamo che il unto di flesso F 1 =3, 44 della cubica C 1 ha er immagine il unto di flesso F 2 =1, 5 della cubica C 2. 4 Cambio di coordinate I coefficienti della trasformazione affine 7 ossono essere ottenuti in altro modo; vediamo come. Cerchiamo il sistema di coordinate X, Y in cui la cubica di equazione y = ax 3 + bx 2 + cx+ d ha equazione Y = X 3.LecoordinateX, Y sono legate alle coordinate x, y dalle formule x y = x0 y 0 + X 1 w + Y sostituendo nell equazione y = ax 3 + bx 2 + cx+ d abbiamo: risolvendo risetto a Y troviamo 0 y 0 + wx+ Y = ax + x bx + x cx + x 0 +d Y = a X3 + b +3ax 0 X 2 + x2 0 +2bx 0 + c w X + ax3 0 + bx2 0 + cx 0 + d y 0 12 uguagliando all equazione Y = X 3 otteniamo il sistema seguente: a =1 = a b +3ax 0 =0 x 0 = b x bx 0 + c w c b2 =0 w = ax bx2 0 + cx 0 + d y 0 =0 y 0 = 27 a2 d 9 abc +2b 3 27 a 2. 13

6 4 Cambio di coordinate 6 Si verifichi, come già detto, che i coefficienti sono uguali a quelli che comaiono nella 7. Cerchiamo di caire meglio la situazione geometrica: l origine x 0,y 0 del sistema di coordinate X, Y coincide con il unto di flesso si veda infatti la formula 6. Osserviamo inoltre che il vettore 1 ; w T è tangente alla curva rorio nel unto di flesso F ; infatti, la derivata della funzione cubica è dy dx =3ax2 +2bx + c ; e, se valutiamo la derivata nel unto di ascissa x = b, otteniamo: dy dx x= b =3a b 2 +2b b + c = c b2 = w. Esemio 6. Determinare il sistema di coordinate X, Y in cui la curva di equazione y =2x 3 18 x x 41 ha equazione Y = X 3. Alicando le formule 13 otteniamo si veda la figura 4: x = + X + Y. y Figura 4: Nel sistema di coordinate X, Y la cubica y =2x 3 18 x 2 +51x 41 ha equazione Y = X 3. I vettori disegnati sono rorio 1 ; 3 T e 0 ; 2 T. Osservazione 7. Le quantità x 0,y 0,w, ossono essere ottenute, in modo del tutto equivalente alle formule 13, anche nel modo seguente:

7 4 Cambio di coordinate 7 si determina le coordinate x F,y F del unto F di flesso della cubica e si one x 0 = x F y 0 = y F ; e si calcola la derivata della cubica er x = x F, ottenendo così il valore di w; si one = a. Esemio 8. Analizziamo la cubica y = 2 x 3 24 x 2 97 x 134; seguendo le istruzioni contenute nell osservazione 7 scoriamo che le coordinate X, Y sono legate alle coordinate x, y dalle relazioni: x = + X + Y ; y Figura 5: Cubica y = 2 x 3 24 x 2 97 x 134. Il unto B 3, 5 ha coordinate 1, 1 nel sistema di riferimento X, Y. Si osservi che il sistema di riferimento è orientato negativamente in quanto il determinante della matrice avente er colonne i vettori 1,w T e0, T è negativo: 1 0 det = 2 < Se scegliamo il sistema di coordinate che si ottiene cambiando il segno a in questo modo il sistema è orientato ositivamente la cubica avrà equazioney = X 3. Francesco Daddi Istituto Sueriore Carducci Volterra PI francesco.daddi@istruzione.it