Foglio N.1 Numeri Complessi. Ricordiamo che l insieme delle coppie reali

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1 Foglio N.1 Numeri Complessi Ricordiamo che l insieme delle coppie reali f( ) : 2 Rg che indichiamo con R 2, con le seguenti operazioni: Addizione: ( )+( ) =( + + ) Prodotto per uno scalare: ( ) =( ) 2 R risulta essere uno spazio vettoriale. Se in R 2 introduciamo la moltiplicazione: ( ) ( ) =( + ) la struttura algebrica R 2 +, che indichiamo con C, possiede le stesse proprietà dei numeri reali R in particolare: gode delle varie proprietà distribuitive rispetto all addizione e moltiplicazione; esistenza dell elemento neutro (1 0) rispetto alla moltiplicazione; esistenza dell elemento neutro (0 0) rispetto all addizione; esistenza dell elemento inverso rispetto alla moltiplicazione per ogni coppia ( ) diverso da (0 0) Notazione: 1=(10) =(01) in questo modo possiamo scrivere le coppie in altre parole ( ) = (1 0) + (0 1) = 1+ ( ) 2 R 2! + 2 C Se = + inumeri e prendono rispettivamente il nome di parte reale ed immaginaria del numero complesso in simboli: =Re(); =Im() 1

2 Osserviamo che 1 = Il numero reale q jj = Re 2 ()+Im 2 () prende il nome di modulo del numero complesso. Dalla de nizione di modulo otteniamo le seguenti proprietà: la diseguaglianza triangolare: la moltiplicazione: j + j jj + jj 2 C; j j = jj jj 2 C Da quest ultima proprietà ricaviamo che = jj 2 C 6= 0 jj inoltre per ogni numero naturale risulta: j j = jj Coordinate polari. Abbiamo la seguente corrispondenza: dove e ( ) 2 R 2! (jj ) 2 [0 +1[ ] ] 8 >< = >: = p ³ arccos ³ arccos se 0 se 0 inoltre un qualsiasi elemento ( ) appartenente all insieme [0 +1[ ] ] de nisce una coppia ( ) di R 2 : 8 < = cos () : = sin () 2

3 quindi l applicazione così de nita è biettiva con inversa data da: 1 ( ) =( cos () sin ()) Forma trigonometrica dei numeri complessi: Attraverso le coordinate polari possiamo scrivere un qualsiasi numero complesso della forma = + come = jj (cos ()+sin ()) l angolo prende il nome di argomento del numero complesso, insimboli Il coniugato del numero complesso è dato da ovviamente otteniamo: quindi Osserviamo che 8> < =arg() = + = arg () = arg() = jj (cos () sin ()) >: Re () = Im () = T.1] Se Re () 0 possiamo scrivere =arctan µ Im () Re () l a ermazione è ancora vera se Re () 0? T.2] Veri care il seguente fatto (formula di de Moivre): se = [cos ()+sin ()] per ogni 2 N risulta = [cos ()+ sin ()] mentre = [cos () sin ()]

4 T.] Risolvere le seguenti problematiche: 1. Dato un qualsiasi numero naturale determinaretuttiinumericomplessi (le Radici n-esime dell unità) tale che : =1 2. Dato un qualsiasi numero naturale ed un numero complesso, determinare tutti i numeri complessi (le Radici n-esime) tale che : = Forma esponenziale di un numero complesso. Il numero complesso () =cos()+ sin () 2 R gode delle seguenti proprietà: (0) = 1 ( +2) = () (1) = 2 Z () () = ( + ) () = () 2 R 2 Z Notiamo che la funzione 2 R! () 2 C possiede molte caratteristiche in comune con la funzione esponenziale reale 2 R! 2 R questo ci suggerisce di de nire l esponenziale complesso nel seguente modo: =cos()+ sin () 2 R Osserviamo che =1 2 R inoltre se risulta = e = = (+). 4

5 T.4] (facoltativo) Studiare le proprietà algebriche dell insieme: n o 2 R () = = : 2 Z e dare una interpretazione geometrica dei suoi elementi nel piano complesso. T.5] Sia un numero complesso qualsiasi, determinare 2p 2 Teorema fondamentale dell algebra. Un polinomio a coe cienti complessi di grado è una applicazione del tipo () = con C 6=0 una radice del polinomio è un numero complesso tale che () =0 Il teorema fondamentale dell algebra a erma che ogni polinomio a coe cienti complessi di grado ammette esattamente -radici (non necessariamente tutte distinte tra loro) C e può essere scomposto nel prodotto di fattori come segue: () = ( 1 )( 2 ) ( ) Esempio: mentre 4 1=( 1) ( +1) ( ) ( + ) =( 1) ( 1) T.6] Veri care che le soluzioni dell equazione =0 con numeri complessi è data da 1 : 12 = + 2p 4 2 In quale caso otteniamo 1 = 2? 1 Notare che se 1 e 2 sono le due radice quadrate di 42C risulta 1 = 2 5

6 Successione di numeri complessi. Una successione di numeri complessi è una applicazione del tipo se indichiamo con 2 N! 2 C =Re( ) e =Im( ) possiamo scrivere = + la successione f g 2N ammette come ite il numero complesso = + seesolose!1 = e!1 = Quindi la successione complessa f g 2N converge ad un numero complesso se ssato comunque un numero 0, si può determinare in corrispondenza un indice 2 N, dipendenteda, tale che per ogni si abbia in simboli j j!1 = La successione f g 2N converge all in nito, in simboli!1 = 1 seesolose j j =+1!1 Quindi una successione complessa f g 2N converge all in nito se ssato comunque un numero 2 R, si può determinare in corrispondenza un indice 2 N, dipendente da, tale che per ogni si abbia j j Nota Bene 1 Osserviamo esplicitamente che nel caso complesso la nozione di successione divergente a 1 perde di signi cato. T.7] Veri care la seguente a ermazione: Se f g 2N una successione complessa abbiamo: 1. j j =0 () =0!1!1 6

7 2. 1 = 1 () =0!1!1 T.8] Sia un qualsiasi numero complesso con jj 1 veri care che [1!1 ]=1 L a ermazione è ancora vera se jj =1? F Ex. a] 1. Veri care le seguenti uguaglianze di numeri complessi: 8 ( + 4) 2 ( 4) 2 = µ 6 = Ã p! = 2 4. Ã 1 2 p 2! 800 = 1 p p 1 1 p 29 =4 Ex. b] Calcolare: p 1; s p ; 7

8 . 4. r ³ + p 2 ³ ³ ³ cos + sin ; r ³ 4 1+ p 4 Ex. c] Risolvere in campo complesso le seguenti equazioni: = p = =0 Ex. d] Veri care i seguenti iti di successioni complesse: !1 = 1 µ 1+ =!1 1 =!1 dove f g 2N è una successione reale in nitesima:!1 = Ex. e] Svolgere i seguenti esercizi: µ µ 1 sin + 1 =0!1 ³!1 2 µ Determinare il numero di soluzioni dell equazione 12 6 = jj6 2 C 8

9 2. Veri care che nel piano complesso l insieme n o 2 C : jj 2 =12 jj è costituito da una circonferenza.. Veri care che nel piano complesso l insieme n o 2 C : jj 2 =jj 2 è costituito da due circonferenze. 4. Determinare l estremo superiore dell insieme: ½ ¾ µ +1 Re : 2 N ; 5. Determinare l estremo superiore dell insieme: ¾ +1 ½ : 2 Cnfg ; 6. Determinare la cardinalità dell insieme ½ 2 C :Im 6= 0 ¾ 1 2 R ; 7. Determinare la cardinalità dell insieme n o 2 C : jj 4 = ; 8. Sia ½ ¾ = : 2 ]1 +1[ ½ C veri care che il punto =0è un punto di accumulazione dell insieme 2 \ R 9. Sia = : 2 R ª ½ C stabilire se il punto =0è un di accumulazione per l insieme: \ R 2 attenzione a non confodere questo insieme con l insieme ½ µ ¾ Re : 1 9

10 10. Sia un sottoinsieme non vuoto del piano complesso C esia un qualsiasi numero complesso, indichiamo con ( )=inffj j : 2 g la distanza dell insieme dal punto Fissiamo un numero complesso e consideriamo l insieme = p : 2 ª determinare la sua distanza dall origine: (0)=inffjj : 2 g Stabilire se il punto =1è di accumulazione per l insieme Re = fre : 2 g ½R 10