Esercizi 1. Numeri complessi e polinomi

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1 Esercizi 1 08\0\016 Numeri complessi e polinomi David Barbato Esercizio 1. Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi: a) z = 1 + i)1 i) b) z = 1 +i c) z = 6 i d) z = +i i e) z = 1+i 1 i)i ) Esercizio. Determinare modulo ed argomento dei seguenti numeri complessi: a) z = + i b) z = i c) z = i d) z = 1 i Esercizio. Determinare la forma algebrica dei seguenti numeri complessi a partire dal modulo e dall argomento: a) z = 1, Argz) = π 6 b) z =, Argz) = 4 π c) z =, Argz) = 0 d) z = 4, Argz) = π e) z = 5, Argz) = 5 π f) z = 1, Argz) = 15 π g) z =, Argz) = 11π Indichiamo ora con arctan la funzione arcotangente, funzione inversa della funzione tangente nell intervallo π, + π ). Esercizio 4. Determinarne modulo e argomento dei seguenti numeri. Determinare l argomento tramite la funzione arcotangente. Per esempio Arg11+ 7i) = arctan 7 7 ), Arg 11 7i) = arctan ) + π) a) z = 4 + i b) z = 5 1i c) z = 6i 8 d) z = 15 8i 1

2 Esercizio 5. Risolvere le seguenti equazioni. Utilizzare la sostituzione z = a + bi con a e b reali.) a) z = 4i b) z = 16 0i c) z = 8 6i Esercizio { 6. Trovare le soluzioni dei seguenti sistemi. 5 z a) = 4z 5 z { z z = i z + z = i b) z z = 0 Esercizio 7. a) Dimostrare che: cos015π) + i sin015π) = 1 b) Sia z = cos π) + i sin π ) calcolare z c) Sia z = cos π) + i sin π) calcolare z 7 ) 7) d) Sia z = + 1 i calcolare z19 e) Sia z = i calcolare z7 79 f) Sia z = cos 1 π) + i sinπ) calcolare z015 Esercizio 8. a) Determinare le soluzioni di z 5 = i b) Determinare le soluzioni di z = 1 c) Determinare le soluzioni di z = 16+88i sapendo che una delle tre radici è 4 + i. Utilizzare il risultato del quesito b) d) Determinare la soluzione di z 1 = 1 con parte immaginaria massima. Esercizio 9. Calcolare le radici dei seguenti polinomi. Utilizzare eventualmente i risultati dell esercizio 5 a) pz) = z + 1 i)z i b) pz) = z 41 + i)z + 8i 1 Esercizio 10. Trovare le radici e decomporre in fattori di primo grado i seguenti polinomi. a) pz) = z 5 z b) pz) = z 4 z 4 c) pz) = z 5 + z i)z 4 + i)z i)z i

3 Esercizio 11 Appello 1A ese ). Trovare le radici in C) e decomporre in fattori di primo grado il seguente polinomio: pz) = z z 01 6z 011 Esercizio 1 Appello 1B ese ). Trovare le radici in C) e decomporre in fattori di primo grado il seguente polinomio: pz) = z 015 i)z i)z 01 Esercizio 1 Appello 1C ese ). Trovare le radici in C) e decomporre in fattori di primo grado i seguenti polinomi: a) pz) = z 1 b) pz) = z i Esercizio 14 Appello 1D ese ). Sia z = 1 + i), calcolare z015 Esercizio 15 Appello A ese ). Trovare le radici in C) e decomporre in fattori di primo grado i seguenti polinomi: a) pz) = z 4 1 b) pz) = z i Esercizio 16 Appello B ese ). Trovare le radici in C) e decomporre in fattori di primo grado il seguente polinomio: pz) = z 1 + z 8 z 4 1 Esercizio 17 Appello C ese ). Sia z = i), trovare a, b R tali che a + bi = z 015. Esercizio 18 Appello D ese ). Trovare le radici in C) e decomporre in fattori di primo grado i seguenti polinomi: a) pz) = z 4 1 b) pz) = z i

4 Esercizio 19 Appello A ese ). Determinare le radici di z i = 0 sapendo che una delle radici è z 1 = + i Esercizio 0 Appello B ese ). Determinare le radici di z i = 0 sapendo che una delle radici è z 1 = i Esercizio 1 Appello ese ). Trovare le radici in C) e decomporre in fattori il seguente polinomio: pz) = z z z 01 4

5 Soluzioni Esercizio 1 a) i b) i c) 4 6i d) i e) i Esercizio a) z =, argz) = π 4. b) z = 4, argz) = 5 6 π. c) z = 6, argz) = 4 π. d) z =, argz) = 7 4 π. Esercizio a) z = + 1 i. b) z = + i. c) z =. d) 4i. e) z = 5 15 i. f) z = i. g) z =. Esercizio 4 a) z = 5, argz) = arctan ). b) z = 1, argz) = 4 arctan 1). c) z = 10, argz) = arctan ) + π. d) z = 17, 5 4 argz) = arctan 8 ) + π. 15 Esercizio 5 a) z 1 = 1 + i, z = 1 i. b) z 1 = 5 i, z = i 5. c) z 1 = i, z = i. Esercizio 6 a) z 1 = + i, z = 1 + i. b) Nessuna soluzione. Esercizio 7 a) 015π = π 1007+π dunque cos015π)+i sin015π) = cosπ)+i sinπ) = 1. b) z 015 = cos π) + i sin π) infine poichè π = π π allora si ha: z 015 = cos 15π) + i sin 15 π). 8 8 c) z 7 ) 7) 7 = z 4 = d) 1 i e) 4 4i f) 0 e 4 πi ) 4 = e πi = e πi πi = e 5 4 πi = i. Esercizio 8 a) In forma esponenziale si ha z = ρe θi e dunque z 5 = ρ 5 e 5θi mentre vale i = 5 e π +kπ)i per ogni k Z. Dunque ρ = e 5θ = π + kπ ovvero θ = π + kπ 5 = π 10 + kπ 5 e z = e π 10 + kπ 5 )i Per la periodicità dell esponenziale complesso ci sono 5 soluzioni distinte che si possono ottenere con le sostituzioni k = 0, 1,,, 4. Da cui si ottiene: z 1 = e 1 10 πi, z = e 5 10 πi = e π i = i, z = e 9 10 πi, z 4 = e 1 10 πi, z 5 = e πi, 5

6 b) z 1 = 1, z = 1 + i, z = 1 i c) z 1 = 4 + i, z = + ) + 1)i, z = + 1)i d) i Esercizio 9 a) z 1 = i, z = 1, b) z 1 = + i, z = 1 + i Esercizio 10 a) z 1 = 0, z = 1, z = i, z 4 = 1, z 5 = i, pz) = zz 1)z i)z +1)z +i) b) ponendo y = x si ottiene y 1 = 4 e y = 1 da cui si ricava pz) = z 4)z + 1) = z )z + )z i)z + 1), mentre le soluzioni sono: z 1 =, z =, z = i, z 4 = i, c) E chiaro che la disposizione dei coefficienti a due a due uguale permette di raccogliere un fattore z + 1 dunque pz) = z + 1)z i)z i Con la sostituzione y = z si ricava y 1 = + i e y = dunque pz) = z+1)z + i))z ) = z+1)z + i))z )z+ ) resta da decomporre il fattore z + i) ovvero bisogna risolvere l equazione z = + i). Calcolandone il modulo si ottiene + i = 4 quindi mettendo in evidenza il modulo l equazione diventa z = i) a questo punto diventa evidente che 1 + i = cos π ) + i sin π ) quindi z = ρ e θi = e π +kπ)i da cui si ricava ρ = e θ = π + kπ) dunque le due soluzioni sono z 1 = e π 6 i = + i e z = e 7 6 πi = i. pz) = z + 1)z + i))z + + i)z )z + ) Esercizio 11 Esercizio 1 Esercizio 1 Esercizio 14 Esercizio 15 a) Le radici sono ±1 e ±i. la decomposizione è pz) = z 1)z + 1)z 6

7 i)z + 1) b) Occorre risolvere: Z 4 = 1 + i. 1) Osserviamo che 1 + i = 1 e in particolare vale 1 + i = e πi quindi le soluzini di 1) avranno la forma z = e θi con e 4θi = e πi quindi 4θ = π + kπ k Z da cui ricaviamo le 4 soluzioni θ 1 = 1π, θ 6 = 4π, θ 6 = 7π e θ 6 4 = 10 π. Quindi 6 le radici sono: z 1 = + 1 i z = 1 + i z = 1 i z 4 = 1 i e vale pz) = z ) 1 i z + 1 ) ) i z i z 1 ) + i Esercizio 16 pz) = z 8 z 4 + 1) z 4 + 1) = z 8 1)z 4 + 1) = z 4 1)z 4 + 1) le radici di z 4 1 = 0 sono 1 e i. Per trovare le radici di z = 0 bisogna risolvere z 4 = 1, ponendo z = e θi si ha: e 4θi = e πi da cui si racava rapidamente θ 1 = π 4, θ = π 4, θ = 5π 4, θ 4 = 7π 4, quindi z 1 = 1 + i) z = pz) = z 1)z+1)z i)z+i) 1 + i) z = 1 i) z 4 = 1 i) z 1 + i ) z + 1 i ) z i ) z 1 i ) Esercizio 17 Prima di tutto osserviamo che vale i) = 1 e z = e π i. z 015 = e 015 πi = 7

8 poiché vale 015 = infine poiché allora si ha z 015 = e 741+ )πi = e 740πi+πi+ πi = e 740πi e πi e πi e 740πi = 1 e πi = 1 e πi = 1 + i allora si può concludere: z 015 = 1 1) 1 + i) = 1 1 i) Esercizio 18 a) Le radici sono ±1 e ±i. la decomposizione è pz) = z 1)z + 1)z i)z + 1) b) Analogamente a quanto visto nell esercizo 16 le radici sono: z 1 = 1 + i z = e vale pz) = z 1 ) i + 1 i z = 1 z + i z 4 = 1 i ) 1 i z + 1 ) ) + i z + 1 i Esercizio 19 Determinare le radici di z i = 0 sapendo che una delle radici è z 1 = + i Soluzione Bisogno risolvere l equazione z 4 = 7 + 4i sapendo che z 1 = + i è una soluzione ovvero sappiamo che z 4 1 = 7 + 4i. Sappiamo che le radici quarte dell unità sono {1, 1, i, 1} cioè vale 1 4 = 1) 4 = i 4 = i) 4 = 1. Dunque 1 z 1 ) 4 = 1 z 1 ) 4 = i z 1 ) 4 = i z 1 ) 4 = 7 + 4i quindi le soluzione dell equazione z 4 = 7 + 4i sono: z 1 = 1 + i) = + i z = 1 + i) = i z = i + i) = 1 + i z 4 = i + i) = 1 i Esercizio 0 8