Trovare il dominio delle seguenti funzioni: sin2 x + cos 2 x. 3 sin x 3 cos x s sin 2 x cos

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1 Trovare il dominio delle seguenti funzioni: sin x + cos x sin x cos x s sin x cos x sin x cos x cos x cos x ln fln (x 4x 5) 4g r 4 x ln(x 4x 5) x log 1 (x 1) log 10 sin x 1 ln (x + 1) + e sin x sin x + cos x sin x cos x Osserviamo che il numeratore è uguale a 1; infatti abbiamo sin x + cos x = 1

2 E la nostra funzione diventa sin x 1 cos x Dobbiamo uindi escludere uei valori er i uali il denominatore si annulla. Abbiamo uindi: sin x cos x 6= 0 ) sin x cos x 6= 0 ) sin x 6= cos x ) tan x 6= 1 ) x 6= arctan 1 = 6 ; + 6 ) x 6= 6 ; Riscriviamo il dominio er bene x h 0; [ 6 6 ; [ ; 6 Ovviamente stiamo studiando la funzione nell intervallo [0; ] s sin x sin x cos x cos x Devo imorre l argomento della radice 0 Per la seguente relazione sin x sin x cos x 0 cos x sin x + cos x = 1 ) cos x = 1 sin x il numeratore diventa sin x 1

3 e la diseuazione di artenza sin x 1 0 sin x cos x N 0, sin 1 x 1 0 ) sin x sin x ) aiutatevi con la circonferenza goniometrica saendo che arcsin 1 = ; 4 = 4 4 N 0 4 x x 7 4 D > 0, sin x cos x > 0 ) sin x cos x > 0 ) sin x > cos x:

4 I Osservazione: nel secondo uadrante della circonferenza goniomentrica avremo semre che sin x > cos x in uanto cos x avrà valori negativi mentre sin x avrà valori ositivi; nel uarto uadrante accadrà il contrario cioè sin x cos x in uanto sin x avrà valori negativi mentre cos x avrà valori ositivi. Quando invece sin x e cos x hanno segni uguali, cioè nel rimo e terzo uadrante, ossiamo tranuillamente usare la funzione tangente tan x; de nita come tan x sin x cos x : Abbiamo ) tan x > 1 nel rimo uadrante e tan x 1 nel terzo uadrante ) aiutatevi con la circonferenza goniometrica saendo che arctan 1 = ; + =

5 D > 0 6 x 7 6 Il dominio risulta essere uindi x h 0; [ 6 4 ; 7 4 [ 6 ; [ ; 4 che visualizziamo sulla circonferenza goniometrica

6 cos x cos x Per trovare il dominio della funzione dobbiamo imorre l argomento della radice 0 cos x cos x 0 Questa è una diseuazione di secondo grado in cos x: cos x cos x! 0 La soluzione è er valori esterni cos x 0; cos x Scritta così non è corretta erchè dobbiamo tener conto dell immagine della funzione cos 1 cos x 0; cos x 1 Trovando che arccos = ; 11 e aiutandoci con la circonferenza goniometrica abbiamo 6 6 x h 0; i [ 6 ; 11 [ ; 6 ln fln (x 4x 5) 4g

7 Dobbiamo imorre er trovare il dominio della funzione il seguente sistema 8 > >: ln fln (x 4x 5) 4g 0 ln (x 4x 5) 4 > 0 (x 4x 5) > 0 Ma la condizione ln fln (x 4x 5) 4g 0 è semre vera erchè un uadrato è semre 0: Il nostro sistema si riduce uindi al seguente 8 : ln (x 4x 5) > 4 (x 4x 5) > 0 La rima diseuazione la risolvo oichè conosco la funzione inversa del ln e ln(x 4x 5) > e 4 Ma la funzione inversa della stessa funzione non nient altro che l argomento della funzione x 4x 5 > e 4 Il sistema diventa 8 : (x 4x 5) > e 4 (x 4x 5) > 0 e la sua soluzione è x 4x 5 > e 4 erchè e 4 > 0: Devo uindi risolvere x 4x 5 e 4 > 0 Questa diseuazione la saiamo fare, infatti basta trovare gli zeri dell euazione di

8 secondo grado euivalente e rendere i valori esterni. Abbiamo uindi x = e 4 = 9 + e 4 e il dominio è n x 1; 9 + e 4i [ h + o 9 + e 4 ; +1 r 4 x x ln(x 4x 5) Dobbiamo imorre er trovare il dominio della funzione il seguente sistema Dalla rima segue 8 : 4 x x 0 x 4x 5 > 0 N 0 ) 4 x 0 ) x 4 0 ) (x ) (x + ) 0 ) x D > 0 ) x > 0 avendo come soluzone x 0 x mentre dalla seconda (x 5) (x + 1) > 0 che ha soluzione er valori esterni x 1 x > 5

9 Il sistema ha soluzioni solo er e uindi il dominio è x x ( 1; ] log 1 (x 1) Dobbiamo imorre er trovare il dominio della funzione il seguente sistema 8 : log 1 (x 1) 0 x 1 > 0 Dalla rima diseuazione del sistema segue (il log è in base 0.5) che 0 x 1 1 Questa condizione euivale al seguente sistema che dobbiamo unire alla condizione 8 : x 1 1 x 1 > 0 x 1 > 0

10 Il sitema da risolvere è 8> x 1 1 x 1 > 0 >: x 1 > 0 La soluzione del sistema è: x 1 1 x e uindi il dominio è nh x ; 1 [ 1; io log 10 sin x Dobbiamo imorre er trovare il dominio della funzione la seguente condizione sin x > 0 e il dominio è uindi (aiutatevi con la circonferenza goniometrica) x (0; ) Ovviamente stiamo studiando la funzione nell intervallo [0; ] 1 ln (x + 1) + e sin x

11 Dobbiamo imorre er trovare il dominio della funzione la seguente condizione 1 ln x + 1 > 0 che diventa ln x e uesta diseuazione euivale alla seguente e ln(x +1) e 1 che diviene x + 1 e 0 ) x 1 e x + 1 e 0 che ha soluzione er valori interni 1 e x 1 e e uindi il dominio è x 1 e; 1 e