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1 Serie 5: Soluzioni FISICA II liceo Esercizio 1 Primo rinciio Iotesi: Trattiamo il gas con il modello del gas ideale. 1. Dalla legge U = cnrt otteniamo U = 1, J. 2. Dal rimo rinciio U = Q+W abbiamo Q = U W = 6, J 560J = 5,92kJ. 3. Poiché Q gas est = Q est gas otteniamo in questo caso Q = 5,92kJ. Esercizio 2 Trasformazione isobara 1. Il rocesso avviene alla ressione costante di = 110 kpa. 2. Se la ressione è costante allora W = e quindi il rimo rinciio si scrive U = Q da cui nel rimo caso = 0m 3 e nel secondo = 4, m 3. Nel secondo caso otevamo revedere > 0, infatti ciò corrisonde ad un esansione del gas, ossia ad un lavoro negativo (il gas cede energia). 3. Poiché il gas è mantenuto costantemente alla ressione = 110 kpa ossiamo raresentare la trasformazione nel diagramma come una retta orizzontale [kpa] 110 W 8,2 12,4 [10 3 m 3 ] 4. L area sotto la curva raresenta il lavoro W. Attenzione: L area in generale raresenta il valore assoluto W del lavoro, il segno è + er una comressione (oiché in una comressione il gas riceve energia) mentre è er una dilatazione in cui il gas singe un istone oiché esso erde energia che viene trasferita al istone. 1

2 Esercizio 3 Trasformazione isobara 1. Graficamente si ottiene [atm] 2 W 3 5 [L] 2. W = 2atm(5L 3L) = 2 101,3kPa m 3 = 405,2J < 0. Si uò esrimere il lavoro nel grafico () come l area sotto la curva alla quale va aggiunto il segno. Esercizio 4 Comressione isoterma di un gas ideale 1. Se la comressione avviene molto lentamente (rocesso quasi-statico) la ressione del gas sarà semre uguale alla ressione esercitata sul istone er comrimere il gas. Infatti se consideriamo temoraneamente il istone come sistema e la comressione è lentissima si uò dire che il istone è semre vicinissimo ad una situazione di equilibrio meccanico er la quale F gas istone + F esterno istone 0 = F gas istone F esterno istone da cui, utilizzando = F S, si ottiene gas = esterna. 2. La comressione del gas avviene tramite l azione di una forza esterna (notare che quindi il sistema non è isolato) di intensità F, che visto la comressione infinitesimale uò essere suosta costante. Notiamo che la comressione d corrisonde ad una diminuzione della lunghezza del cilindro x x dx. In questo caso abbiamo (notiamo δw il lavoro svolto dalla forza esterna er una comressione iccolissima) δw = Fdx = F S Sdx > 0 ora Sdx èugualea d esiccomeilvolumediminuisce avremo d < 0,utilizzando = F (ciò che riviene a suorre, iotesi valida vista la comressione S iccolissima), ossiamo quindi scrivere δw = d > 0 2

3 3. Per un gas ideale = Nk BT da cui 4. Abbiamo 1 W = Nk B T ln δw = Nk BT d ( ) /2 = Nk B T ln2 5. Dal rimo rinciio abbiamo U = W +Q, ma er una comressione isoterma di un gas ideale U = 0 e quindi Q = W, dunque Q = Nk B T ln2. Esercizio 5 Trasformazione isoterma 1. Se il gas si esande liberamente non comie nessun lavoro (raticamente non singe nulla), quindi W = 0: questo risultato vale in generale (e non unicamente er i rocessi isotermici). 2. In questo caso saiamo che W < 0 ed utilizzando il risultato trovato sora W = Nk B T ln f i otteniamo W = Nk B T ln3, da cui visto che T = 0 = U = 0 dal rimo rinciio si ha Q = W = Nk B T ln3. 3. In questo caso W > 0 e vale W = Nk B T ln3. Esercizio 6 Calore da fornire 1. Il lavoro vale W = nrt ln f i = 0,5mol8,31J/(mol K)310Kln 0,45m3 0,31m 3 = 480J e U = 0. Da cui utilizzando il rimo rinciio U = Q + W otteniamo Q = 480J. 2. L equazione dei gas ideali = nrt da (omettendo le unità d misura) l equazione di un ierbole = nrt = 1246,5 da cui il grafico seguente 1 Notiamo che la ressione, e quindi la forza, non è costante durante il rocesso. 3

4 W i f Il valore assoluto del lavoro W corrisonde all area nel grafico. Esercizio 7 W, U e Q 1. Otteniamo 2 i i W i 3 i 2. Calcolando l area otteniamo W = 3 i i, 3. U = 3 2 nr(t f T i ), dove utilizzando le equazioni del gas ideale ossiamo scrivere T i = i i nr e T f = f f nr = 2 i3 i nr = T = 5 i i nr da cui U = 15 2 i i, 4. dal rimo rinciio U = Q + W otteniamo Q = 21 2 i i, il sistema riceve energia nella modalità calore. 4

5 Esercizio 8 Trasformazione isobara + isocora 1. Graficamente si ottiene 2 ➀ ➁ W < 0 1 ➃ ➂ Ciclo ➀ ➁ ➂ ➃ ➀ W = W 1 2 +W 2 3 +W 3 4 +W 4 1 = [ 2 ( 2 1 )]+0+[ 1 ( 1 2 )]+0 = ( 1 2 )( 2 1 ) < 0. Si uò esrimere il lavoro nel grafico () come l area sotto la curva alla quale va aggiunto il segno, ciò è dovuto al fatto che il ciclo è ercorso in senso orario. 3. Poiché la trasformazione è ciclica, e quindi U in = U fin, si ha U = 0. Dal rimo rinciio U = Q+W otteniamo Q = W. Esercizio 9 Trasformazione isocora 1. Abbiamo f i 2. Poiché d = 0 si ha W = Per determinare Q utilizziamo il rimo rinciio che, visto il unto recedente, si riduce a U = Q, ora U = 3 2 Nk B(T f T i ) ele temerature iniziale e finale si determina con l equazione dei gas ideali. Si ottiene Q = 151,5J. 5

6 Esercizio 10 Ordina 1. W 4 > W 3 > W 2 > W 1 (utilizzando l area), 2. tutti uguali, infatti U è una grandezza di stato e U diende unicamente dagli stati iniziale e finale e non dal rocesso, 3. utilizzando il rimo rinciio otteniamo Q 4 > Q 3 > Q 2 > Q 1. Esercizio 11 Trova T 1. Il calore scambiato in questo rocesso è ositivo. Infatti se il gas si esande W < 0 e inoltre da = Nk B T si ottiene un aumento di temeratura, ciò che uò avvenire unicamente se Q > 0 (oiché W < 0). 2. Dalla legge dei gas ideali si trovano T i e T f da cui T = 6,99K. 3. Dal rimo rinciio si ottiene Q = U + da cui Q = 290J. Esercizio 12 Trasformazioni adiabatiche di un gas ideale 1. Utilizzando l equazione dei gas ideali = Nk B T si elimina e si ottiene e γ 1 = 1/c. Nk B T γ = cost = T γ 1 = cost 2. Si ha l equazione = cost γ da cui una curva i riida dell ierbole. Esercizio 13 Lavoro ed energia 1. Per un rocesso adiabatico Q = 0 e quindi dal rimo rinciio U = W da cui U = 640J. 2. Da U = 5 R T si ottiene T = 30,81K. 2 6

7 Esercizio 14 Aria calda 1. Dall equazione del gas ideale = nrt otteniamo la ressione iniziale i = nrt i i = 105kPa e oi utilizzando l equazione delle adiabatiche γ = cost (e quindi si ha i γ i = f γ ) otteniamo (γ = 5/3) f f = i ( i f ) γ = 276kPa. 2. la temeratura finale del gas si ottiene con l equazione T = nr risultato T f = 465K. che dà il Esercizio 15 Dilatazione adiabatica 1. Utilizzando T 1/c = cost si ottiene T f = T i ( i f ) 1/c = 258K. 2. Il fatto che il gas si sia raffreddato (da 310K a 258K) significa che la sua energia interna è diminuita. L energia interna ersa è servita a svolgere il lavoro di esansione (er esemio sollevare un istone). Esercizio 16 Tio di gas 1. Dobbiamo determinare γ, utilizziamo γ = cost: i γ i = f γ f = ( i f ) γ = = ln i f i = γln f = γ = f i e si ottiene γ = 5/3, da cui si ha c /c = γ = 5/3. 2. Si tratta di un gas monoatomico c = 3/2. 3. La temeratura finale vale T f = 2, K. 4. i sono n = 4, mol. ln i f ln f i 7

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