Unità di apprendimento programmata di termodinamica n.1

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1 ermodinamica 9

2 Unità di apprendimento programmata di termodinamica n. Equazione di stato dei gas Esercizi su Rappresentazione degli stati e delle trasformazioni di un sistema termodinamico Lavoro esterno in trasformazioni quasi statiche e non quasi statiche Quantità di calore Obiettivo. Saper applicare l equazione di stato dei gas per determinare la coordinata mancante delle tre coordinate termodinamiche di stato P,,, note due di esse e il numero di moli, oppure determinare il numero di moli note P,,. Una mole di gas perfetto si trova in uno stato di equilibrio termodinamico caratterizzato da un volume di 0 l e da una pressione di atm. Determinare la temperatura del gas. Nella equazione di stato dei gas perfetti PnR si sostituisce a il valore in litri e a P il valore in atmosfere, a n il numero delle moli, a R, costante universale dei gas, il suo valore in l.atm/(k.mol) che è 0,08. Si ha quindi: l atm 0 l atm mol 0, 08 da cui si ricava la temperatura 7,7K k mol Esprimendo in gradi centigradi si ha t7,7-748,7 Se si fosse voluto usare il valore di R8,J/(K mol) si sarebbe dovuto esprimere e P nel Sistema Internazionale, cioè: 0l0 0 - m,0 0 - m P atm 0Pa 060 Pa e sostituendo si sarebbe ottenuto per lo stesso valore, tenuto conto delle approssimazioni: Si noti che l atm 0J. Una mole di gas perfetto si trova in uno stato di equilibrio termodinamico caratterizzato da Patm e,4l. Determinare nel sistema tecnico e nel S.I.. re moli di gas biatomico si trovano in uno stato di equilibrio termodinamico caratterizzato dai seguenti valori 00K e P,00 0 Pa. Determinare il volume.4 Una mole di gas perfetto si trova in uno stato di equilibrio termodinamico caratterizzato dai seguenti valori P,0 0 Pa e 7. determinare. Dieci moli di gas perfetto si trovano in uno stato di equilibrio termodinamico caratterizzato dai seguenti valori 0 l e 00K. Determinare la pressione sia nel sistema tecnico che nel S.I..6 Una certa quantità di gas perfetto costituito da 0 moli si trova in uno stato di equilibrio termodinamico, i cui valori delle coordinate termodinamiche sono 0, m e 00K. Determinare P..7 Una certa quantità di gas perfetto si trova in uno stato di equilibrio termodinamico, i cui valori delle coordinate termodinamiche sono m,, P 0 Pa, 00K. Determinare il numero di moli di gas..8 Una certa quantità di gas perfetto si trova in uno stato di equilibrio termodinamico, i cui valori delle coordinate termodinamiche sono 80l,, P0, atm, 00K. Determinare il numero di moli di gas..9 Una mole di gas perfetto si trova in equilibrio termodinamico alla temperatura di 0 e alla pressione di atm occupando il volume di,4l. Determinare il valore di R 96

3 obiettivo Saper rappresentare lo stato di equilibrio termodinamico di un sistema termodinamico gassoso in sistemi di assi cartesiani ortogonali rappresentanti i valori delle coordinate termodinamiche.. Rappresentare nel piano P- lo stato di equilibrio termodinamico (0l, P atm). racciati due assi cartesiani ortogonale si fissano su di essi le opportune scale e si determina il punto le cui coordinate corrispondono ai valori dati. E da notare che non viene specificato il numero delle moli del gas. utto il diagramma si riferisce infatti ad una P(atm) certa quantità di gas, cioè ad un certo numero di moli (tale numero viene utilizzato per calcolare ). olendo considerare un altro stato di equilibrio termodinamico della stessa quantità di gas, esso si rappresenta con un altro punto dello stesso diagramma. olendo invece considerare un altro gas con diverso numero di moli, e volendo rappresentare alcuni stati di di questo gas, non si può utilizzare il diagramma considerato, ma bisogna considerare un altro (l) diagramma, analogo a questo.. Rappresentare in piani P- gli stati termodinamici degli esercizi dell obiettivo. Rappresentare in piani P- gli stati termodinamici degli esercizi dell obiettivo.4 Rappresentare in piani - gli stati termodinamici degli esercizi dell obiettivo Obiettivo Saper rappresentare nel piano P- alcune trasformazioni quasi statiche. Sia data la trasformazione Pcost di una certa quantità di gas, ad esempio una mole, da un volume a un volume. Rappresentare tale trasformazione sapendo che P è espresso in Pa, è espresso in m, la costante vale 400J; 0 - m e m. La trasformazione, essendo data da una relazione analitica tra P e, è quasi statica, cioè è costituita da una successione di stati di equilibrio termodinamico. Infatti ad ogni valore di corrisponde un determinato valore di P. ale trasformazione è rappresentabile nel piano P_ mediante una linea costituita dai punti che rappresentano i vari successivi stati di equilibrio del sistema. Se la trasformazione avviene tra un certo stato ed un altro sarà rappresentata da un tratto di linea congiungente i due stati, iniziale e finale del sistema. Nel nostro caso abbiamo, per gli stati iniziale e finale: 400J 4 0 J P 4 0 Pa 0 m P J m ( 0 m ; P 4 0 Pa) ( 4 0 m ; P 0 400J Pa per cui Per determinare il tratto di curva consideriamo altri punti intermedi 4 0 J per c 0 m si ha Pc 0 Pa 0 m 4 0 J per D 0 m si ha PD, 0 0 m Pa 97

4 P (0 Pa) (0 - m ) La rappresentazione della trasformazione è quella descritta dal tratto di iperbole equilatera disegnata.. Rappresentare nel piano P- la trasformazione di equazione P8 l atm con P in atmosfere e in litri di un certo numero di moli di gas che evolve dallo stato di volume 0 l allo stato 80l.. Due moli di gas perfetto evolvono dallo stato ( m, P 0 Pa) allo stato (0l) mediante una trasformazione del tipo Pcost. Rappresentare nel piano P- tale trasformazione..4 Una mole di gas perfetto evolve da uno stato ( m, P 0 Pa) allo stato (40l) mediante una trasformazione quasi statica a temperatura costante. Rappresentare nel piano P- tale trasformazione..una certa quantità di gas perfetto evolve da uno stato ( m, P 0 Pa) allo stato (P8 0 Pa) mediante una trasformazione quasi statica a volume costante. Rappresentare nel piano P- tale trasformazione..6una certa quantità di gas perfetto evolve da uno stato ( m, P 0 Pa) allo stato (0l) mediante una trasformazione quasi statica a pressione P costante. Rappresentare nel piano P- tale trasformazione..7una certa quantità di gas perfetto evolve da uno stato ( m, P 8 0 Pa) allo stato (0l) mediante una trasformazione di equazione P cost. Rappresentare nel piano P- tale trasformazione..8una certa quantità di gas perfetto evolve da uno stato ( m, P 8 0 Pa) allo stato (0l) mediante una trasformazione di equazione P γ cost (con γ/). Rappresentare nel piano P- tale trasformazione..9una certa quantità di gas perfetto evolve da uno stato ( m, P 4 0 Pa) allo stato (l) mediante una trasformazione di equazione 0 m P m. Rappresentare nel piano P- tale Pa trasformazione..0una certa quantità di gas perfetto evolve da uno stato ( m, P 7 0 Pa) allo stato (0l) mediante una trasformazione di equazione 0 Pa m P + Pa. Rappresentare nel piano P- tale trasformazione. 4 Obiettivo Saper calcolare il lavoro scambiato con l esterno da un gas che compie una trasformazione quasi statica. 4. Una mole di gas perfetto evolve da uno stato ( m, P 0 Pa) allo stato (0 0 - m ) mediante una trasformazione quasi statica rappresentata da una equazione del tipo Pcost. (Isoterma). Determinare il lavoro scambiato con l esterno. P(0 Pa) 0 0 (0 - m ) 98

5 Nella figura abbiamo rappresentato lo stato iniziale e quello finale e la trasformazione quasi statica. Il lavoro, essendo nel nostro caso la trasformazione quasi statica e rappresentabile analiticamente, è dato dall integrale: cost W Pd d cost ln cost ln Ricordando che PcostP 0 0 J e sostituendo a e i loro valori si ha: 0 W 0 0 J ln 0 0 ln J 90J 0 Il lavoro ottenuto è rappresentato geometricamente dall area sottesa dal tratto ed ha segno positivo perché percorso nel senso dei valori crescenti del volume (Lavoro fatto dal sistema sull esterno). 4. Determinare il lavoro scambiato con l ambiente esterno dal sistema termodinamico descritto nell esercizio.9, supponendo che evolva dallo stato (l, P8atm) allo stato (0l, P4atm). P(atm) (l) La trasformazione è rappresentata in figura. L area tratteggiata rappresenta il lavoro, che avrà segno negativo dato che la trasformazione avviene nel verso dei volumi decrescenti (lavoro subito dal sistema). Per calcolare il valore del lavoro basta calcolare l area del trapezio tratteggiato. Si ha: ( P + P ) ( ) W 7 atm. olendo il lavoro espresso in Joule, si ha: W 0 (-7)J-707J. 4. Determinare il lavoro scambiato con l ambiente esterno dai sistemi termodinamici descritti negli esercizi.;.;.;.4;.;.6;.7;.8;.0 che evolvono secondo le trasformazioni ivi descritte. 4.4 Un sistema termodinamico costituito da una mole di gas perfetto evolve da uno stato (0 0 - m, P 0 Pa) allo stato (0 0 - m ) secondo una trasformazione quasi statica di equazione P cost. successivamente il sistema torna allo stato mediante una trasformazione rappresentata dal segmento. Determinare il lavoro scambiato dal gas con l esterno quando è ritornato allo stato dopo aver compiuto le due trasformazioni. (ILO). (Per risolvere il problema basta considerare la trasformazione ciclica come somma di due trasformazioni e. Il lavoro sarà dato dalla somma algebrica dei due lavori, ciascuno con il segno che gli compete). 4. alcolare il lavoro scambiato con l esterno da un sistema termodinamico costituito da una mole di gas perfetto il quale compie le seguenti trasformazioni cicliche: a) da (0 0 - m, P 0 Pa) allo stato (Patm) secondo una trasformazione quasi statica di equazione cost. Da a (40l) mediante una trasformazione quasi statica con Pcost. Da ad mediante una trasformazione isoterma quasi statica. (N:: Per prima cosa si rappresentino le trasformazioni nel piano P-. b) da (0 0 - m, P 0 Pa) allo stato ( m ) secondo una isoterma quasi statica. Da a (60l) mediante una isobara quasi statica. Da ad mediante un segmento di retta. c) da (0 0 - m, P 0 Pa) allo stato (0 0 - m, P 0 Pa) mediante un segmento di retta. Da a mediante una isobara ( Pcost) quasi statica. Da ad mediante una isocora (cost)quasi statica. d) da (0l, 400K) allo stato (00K) mediante una trasformazione quasi statica a volume costante. Da a ( 40l) mediante una isoterma quasi statica. Da a D ( ; ) mediante una isocora (cost) quasi statica. Da D ad mediante una trasformazione isoterma quasi statica. 4.6 Una mole di gas perfetto evolve secondo una trasformazione ciclica così descritta: 99

6 da (l,p6atm) allo stato (Patm) mediante una trasformazione quasi statica a volume costante. Da a ( 0l) mediante una isobara quasi statica. Da ad mediante una trasformazione non quasi statica. Della quale si conosce il lavoro pari a 40 l atm. alcolare il lavoro scambiato dal gas con l esterno durante la trasformazione ciclica. 4.7 Una mole di gas perfetto evolve secondo una trasformazione quasi statica ciclica con m e P,0 0 Pa, m e P,0 0 Pa, secondo la ellisse in figura. alcolare il lavoro scambiato dal gas con l ambiente esterno nei due casi il cui ciclo venga percorso: in verso orario e in verso antiorario P(0 Pa) 4,,8 0 0 (0 - m ) 4.8 Una mole di gas perfetto si trova in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole senza attrito, occupando un volume di m con un parete conduttrice a contatto con un termostato a temperatura costante 00K. Si supponga di far espandere il gas fino a un volume di 0l eseguendo questa trasformazione lentissimamente. alcolare il lavoro scambiato dal gas con l esterno. 00K 4.9 alcolare il lavoro scambiato con l esterno dal sistema gassoso dell esercizio 4.8, supponendo che il gas venga ora compresso lentissimamente fino a un volume di 0l. 4.0 Una mole di gas perfetto si trova in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole senza attrito, occupando un volume di m e la pressione è la pressione atmosferica sia a destra che a sinistra del pistone scorrevole (P 0 Pa). Supposto che la superficie del pistone sia di,0dm e che il gas nel cilindro venga riscaldato lentamente fino ad occupare il volume di m. alcolare il lavoro scambiato dal gas con l esterno. P 4. ome nell esercizio 4.0 supponendo che il gas venga raffreddato attraverso la parete conduttrice fino a un volume di 0 l. 4. Due moli di gas perfetto monoatomico sono contenute in un cilindro chiuso da un pistone senza massa e senza attriti, occupando un volume di 0l alla pressione di, 0 Pa ottenuta dalla pressione atmosferica esterna e da un mucchio di sabbia. Si supponga di aumentare il mucchietto di sabbia fino a ridurre il volume a m. Si supponga che le pareti del cilindro e del pistone siano isolanti e che la trasformazione avvenga lentamente (cioè che la trasformazione sia adiabatica quasi statica). alcolare il lavoro scambiato dal sistema con l esterno. 00

7 4. come il 4., supponendo di togliere la sabbia granello per granello fino ad arrivare alla pressione di una atmosfera. 4.4 In un cilindro adiatermano chiuso diviso a metà da un pistone adiatermano scorrevole senza attriti e con massa trascurabile né attriti sono contenute due moli di gas perfetto monoatomico una a destra e l altra a sinistra e alla temperatura di 0, occupando volumi uguali di 0l ciascuna, a pressioni ovviamente uguali. Si supponga di riscaldare la mole contenuta nella parte a sinistra fino a un volume di 0l comprimendo così quella di destra fino a farle occupare un volume di 0l. (Lentamente) alcolare il lavoro scambiato dalla mole di destra con quella di sinistra. Quanto vale invece il lavoro scambiato dalla mole di sinistra con quella di destra? Obiettivo Saper calcolare il lavoro scambiato con l esterno da un sistema termodinamico gassoso che compia una trasformazione non quasi statica..una mole di gas perfetto si trova in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole senza attrito e di massa trascurabile come in figura. Il volume è di 0 litri e la pressione P di atmosfere. Esternamente al pistone agisce la pressione a atmosferica (Pa atm). Supponendo che la sezione del cilindro chiuso dal pistone sia di dm e che il pistone venga lasciato scorrere liberamente fino al volume del cilindro di 0 litri (togliendo di colpo i pioli di fermo e ) limitato dai pioli e D. alcolare il lavoro scambiato dal sistema con l'ambiente esterno durante questa trasformazione. D S F S I Ilpistone è sollecitato da una pressione interna del gas, tre volte maggiore di quella esterna:. Levando i pioli e il pistone scatterà di colpo fino a fermarsi contro i pioli e D. hiaramente non si tratta di una trasformazione quasi statica. Gli stati intermedi del gas tra quello. iniziale e quello finale non sono stati. di equilibrio perciò il lavoro scambiato con l esterno non si può calcolare come 0

8 F W Pd I Infatti P non è data e non si può nemmeno dire che a un certo istante sia uguale in tutti i punti del gas. Per calcolare il lavoro scambiato bisogna allora guardare all esterno del gas e cercare di valutare le forze che agiscono sul gas attraverso il pistone. Nel nostro caso si ha una forza costante dovuta all azione della pressione atmosferica sulla superficie esterna del pistone. ale forza è: Fe Pe con area della sezione del cilindro chiusa dal pistone. Il lavoro fatto dalla forza esterna dallo stato iniziale allo stato finale F è: W ' F F Fe d s Fe I I ds F e ( S S ) P ( S S ) P ( ) F I e F I Il segno negativo è dovuto al fatto che lo spostamento è contrario alla forza. Il lavoro scambiato dal sistema con l esterno è: W IF W ' P e ( ) F I con il segno positivo in accordo con il fatto che la trasformazione avviene nel verso dei volumi crescenti. Nel nostro caso particolare vale: W IF (0 0) l atm 0l atm 0 0J 00J. onsideriamo il gas contenuto nel cilindro dell esercizio precedente.. Supponiamo che sul pistone scorrevole sia appoggiato un peso di 0kg F. Quanto vale il lavoro scambiato con l ambiente esterno dal gas nell espansione dal volume di 0l al volume di 0l come nel precedente esercizio?. Supponiamo che il gas dell esercizio. si trovi nello stato finale con il pistone mobile nella posizione delimitata dai pioli e D e supponiamo di appoggiare di colpo sul pistone un peso del valore di 400kg F, che lo faccia scendere fino alla posizione. Quanto vale il lavoro scambiato con l esterno dal sistema durante questa trasformazione?.4 Due moli di gas perfetto si trovano in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole, senza attriti e con massa trascurabile come in figura. Il volume occupato è di 0l, la pressione di atm, mentre a destra del pistone c è il vuoto. iene applicata al pistone la forza F 00N e il pistone viene lasciato libero di muoversi fino ai pioli, D spostandosi di 0, m. alcolare il lavoro scambiato dal sistema con l esterno. e F I F D. Supponiamo che il gas venga fatto tornare alla posizione di partenza applicando una forza F 000N. Si determini il lavoro scambiato dal sistema gassoso con l'esterno durante questa trasformazione. Quanto vale ti lavoro totale scambiato dal gas con l ambiente esterno durante le due trasformazioni degli esercizi.4 e.?.6 Una mole di gas perfetto si trova in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole senza attriti e con massa trascurabile come in figura Il volume occupato è di 0 litri e la pressione di atm. l pistone è poi attaccata una molla di costante elastica k000n/m. Sganciando i pioli, il pistone si ferma contro i pioli,d alcolare il lavoro scambiato dal gas con l esterno supponendo che la corsa fatta dal pistone sia un metro. (- posizione di riposo molla) F D 0

9 6 Obiettivo Saper calcolare la quantità di calore scambiata da un sistema termodinamico noti i calori specifici. 6. Una mole di gas perfetto monoatomico si trova in uno stato caratterizzato da un volume 0 l e da una temperatura 00K. Successivamente viene riscaldato fino alla temperatura di 400K tenendo costante il volume. Si calcoli la quantità di calore scambiata dal sistema con l'esterno sapendo che il calore specifico molare del gas a volume costante è / R. Si ha una trasformazione a volume costante. Per la quantità di calore Q si ha: Q n. S.( F - ) con calore specifico durante la trasformazione ed n numero di moli. Nel nostro caso è S (calore specifico a volume costante) /R. Sicché:. Q OO.s / R OO 0 R ,J 6. Due moli di gas perfetto monoatomico si trovano a temperatura 4OO K e alla pressione di atrn. Supposto che la pressione rimanga costante e che la temperatura passi da 400K a 4OK calcolare la quantità di calore Q scambiata con l'esterno (Il calore specifico molare a pressione costante per i gas monoatomici è P / R). 6. Una mole di gas perfetto biatomico si trova in uno stato caratterizzato da una pressione P atm e 00K. alcolare la quantità di calore scambiata con l'esterno supponendo che il gas compia una trasformazione a volume costante fino alla temperatura di K. (N.. Il calore specifico molare a volume costante del gas biatomico è v/ R> 6.4 La mole di gas perfetto biatomico dell'es.. viene portata alla 600K, mediante una trasformazione a pressione costante. alcolare la quantità Q di calore scambiata dal sistema con l'esterno. ( P 7/R) 6. ome l esercizio 6. supponendo che passi da 00K a 00K 6.6 alcolare la quantità di calore scambiata con l esterno dal gas degli esercizi 4. e 4.4 supponendo i gas monoatomici 0

10 Unità di apprendimento programmata di termodinamica n. Energia interna dei gas Esercizi su pplicazioni del Primo Principio della ermodinamica 7 Obiettivo Saper calcolare la differenza di energia interna tra due stati e di un sistema termodinamico, noti il lavoro W e la quantità di calore Q. 7. Un sistema termodinamico evolve secondo una trasformazione, compiendo un lavoro W00J e assorbendo una quantità di calore Q0cal. alcolare la variazione di energia interna U -U. Dal primo principio abbiamo, qualunque sia la trasformazione: ΔU Q W Sostituiamo a W e a Q i loro valori, trasformando tutte le unità in J oppure calorie (ricordando che cal 4,8J). Otteniamo: 00 ΔU U U 0 cal 7, 79cal 4,8 ΔU U U ( 0 4,8 00) J 8,7 00 6, J La variazione di energia interna è negativa, il che significa che il sistema, passando da a, subisce una diminuzione di energia interna. 7. Un sistema termodinamico evolve secondo una trasformazione, compiendo un lavoro W00J e assorbendo una quantità di calore Q600J. alcolare la variazione di energia interna U -U. 7. Un sistema termodinamico passa da uno stato ad uno stato scambiando con l esterno un lavoro W-00J e una quantità di calore Q00J. alcolare la variazione di energia interna U -U. 7.4 Un sistema termodinamico passa da uno stato ad uno stato scambiando con l esterno un lavoro W- 00J e una quantità di calore Q-00J. alcolare la variazione di energia interna U -U. 7. Una mole di gas perfetto monoatomico evolve dallo stato ( m, P 0 Pa) allo stato ( m, P 0 Pa) secondo una trasformazione quasi statica reversibile a pressione costante (ad esempio riscaldando lentamente il gas in un cilindro racchiuso da un pistone scorrevole, senza attrito e di massa trascurabile, quando all esterno c è la pressione atmosferica). onsiderando che il calore specifico molare a pressione costante del gas è c P / R, calcolare la variazione di energia interna U -U. (N.. Per prima cosa rappresentare gli stati e e la trasformazione nel piano P-) P tm 7.6 Una mole di gas perfetto biatomico evolve dallo stato ( m, P 0 Pa) allo stato ( m, P 0 Pa) secondo una trasformazione quasi statica reversibile a volume costante (ad esempio riscaldando lentamente il gas contenuto in un recipiente chiuso). onsiderando che il calore specifico molare a volume costante / R, calcolare la variazione di energia interna U -U. 04

11 7.7 alcolare la variazione di energia interna per i sistemi degli esercizi.,.,.,.6, supponendo che le pareti del cilindro e del pistone non conducano calore. 8 Obiettivo Saper calcolare il lavoro W o la quantità di calore Q scambiati da un sistema termodinamico durante una trasformazione da uno stato ad uno stato nota una delle due grandezze e la variazione di energia interna ΔU tra i due stati e 8. Un sistema termodinamico evolve tra gli stati e mediante una trasformazione durante la quale compie un lavoro di 000J. La variazione di energia interna tra i due stati è ΔUU -U 000J. alcolare la quantità di calore scambiata Q durante la trasformazione. Dal primo principio abbiamo Δ U Q W, qualunque sia il tipo di trasformazione, da cui sostituendo i valori dati, 000JQ-000J Q000J. olendo Q espresso in piccole calorie si ricordi che 4,8Jcal, da cui: Q000/4,8J94,74cal 8. Un sistema termodinamico evolve tra gli stati e mediante una trasformazione durante la quale compie un lavoro di -000J. La variazione di energia interna tra i due stati è ΔUU -U 000J. alcolare la quantità di calore Q scambiata durante la trasformazione. 8. Un sistema termodinamico evolve tra gli stati e mediante una trasformazione durante la quale scambia con l esterno una quantità di calore Q000J. Se U -U 00J, calcolare il lavoro W. 8.4 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati e mediante una trasformazione durante la quale assorbe una quantità di calore Q00cal. Se U -U 00J, calcolare il lavoro W scambiato. 8. Un sistema termodinamico evolve tra gli stati e mediante una trasformazione durante la quale scambia con l esterno una quantità di calore Q000J e un lavoro W000J. Durante un altra trasformazione da a è Q00J. Quanto vale Wi questa seconda trasformazione? 8.6 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati e mediante una trasformazione durante la quale scambia con l esterno una quantità di calore Q00cal ed è W-00J. Quanto vale Q in un altra trasformazione, nella quale è W-000J? 8.7 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati e mediante una trasformazione ciclica che lo riporta allo stato. Sapendo che il lavoro scambiato dal sistema durante la trasformazione è di 80J, quanto vale la quantità di calore scambiata durante la trasformazione? 9 Obiettivo Saper calcolare la variazione di energia interna di un gas perfetto tra due stati e 9. Un gas perfetto monoatomico costituito da due moli si trova prima in uno stato ( 0l, P atm) e poi in uno stato ( 0l, P atm). alcolare la variazione di energia interna U -U In un gas perfetto l energia interna dipende solo dalla temperatura e si ha: U U n ( ) ove è il calore molare a volume costante ed n è il numero di moli. Nel nostro caso è nmol e / R essendo il gas monoatomico. Per le temperature e abbiamo: P 0l atm K nr 0,08l atm mol Kmol P 60l atm 66K nr 0,08l atm mol Kmol Sia avrà: P P U U n R ( P P ) ( 60 0) l atm 60latm 6060J nr nr 9. Una mole di gas perfetto biatomico si trova in uno stato (0l, P0,atm) e poi in uno stato ( 0l, Patm). alcolare la variazione di energia interna U -U. 0

12 9. Una mole di gas perfetto monoatomico si trova in uno stato (0l, 00K) e poi in uno stato ( 0l, 400K). alcolare la variazione di energia interna U -U. 9.4 Due moli di gas perfetto monoatomico si trovano in uno stato (0l, 00K) e quindi in uno stato ( 80l, 00K). alcolare la variazione di energia interna U -U. 0 Obiettivo Saper calcolare la quantità di calore Q scambiata da un sistema termodinamico gassoso con l esterno durante una certa trasformazione conoscendo la trasformazione e gli stati iniziale e finale. 0. Una mole di gas perfetto biatomico evolve dallo stato ( m, 00K) allo stato ( 400K) secondo una trasformazione P cost. alcolare la quantità di calore Q scambiata dal gas con l esterno durante la trasformazione considerata. Dal primo principio si ha: Q W + ΔU U U + W Per U -U possiamo scrivere: U U n ( ) mol R (400 00) K 0 0,08l atm 0,l atm 070,J. Per il lavoro W si ha, dato che la trasformazione, essendo data analiticamente, è quasi statica, cost i W Pd d cost Per determinare il valore della costante si determina il valore di P, considerando che è nr 0,08 00 P atm 0,8atm 0 sostituendo il valore ottenuto si ha: cost P 0,8 900atm l 78atm l Per determinare il valore consideriamo che è: P 78atm l P nr 0,08 400atm l,8atm l Dividendo membro a membro si ha 78 l, l,8 Il lavoro W sarà: W 78atm l l atm l atm 78 8,, 0 La quantità di calore Q sarà: Q0,l atm-8,l atm, l atm. Il segno è positivo, da cui si deduce che la quantità di calore è assorbita dal sistema. 0. Una mole di gas perfetto monoatomico ( / R) si trova in uno stato ( m ; P 0 Pa) ed evolve secondo una trasformazione isoterma fino allo stato ( m ). alcolare la quantità di calore Q scambiata dal gas con l esterno durante la trasformazione. 0. Due moli di gas perfetto biatomico ( / R) si trovano in uno stato ( m ; P 0 Pa) ed evolvono secondo una trasformazione adiabatica fino allo stato (0 0 - m ). alcolare la quantità di calore Q scambiata dal gas con l esterno durante la trasformazione. 0.4 re moli di gas perfetto monoatomico evolvono dallo stato ( m ; P 0 Pa) allo stato ( m ; P 0 Pa) secondo la trasformazione rappresentata dal segmento di retta che nel piano P- congiunge i due punti rappresentanti gli stati e. alcolare la quantità di calore Q scambiata dal gas con l esterno durante la trasformazione. 0. alcolare la quantità di calore Q scambiata con l esterno dal sistema termodinamico dell esercizio 4,, specificandole per ogni trasformazione e per tutto il ciclo. 0.6 Un sistema termodinamico, costituito da una mole di gas perfetto monoatomico, si trova in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole, senza massa né attriti, occupando un volume di 0 l, alla temperatura 0 di 00K 06

13 Supposto di levare i piolini e e che il pistone, di superficie dm si sposti velocemente fermandosi contro i piolini e D, occupando ora un volume di 0 l, calcolare la quantità di calore Q scambiata con l esterno (termostato a temperatura costante 0 ) nei seguenti casi: a) sopra il pistone è appoggiato un peso di 00kg; b) sopra il pistone c è la pressione atmosferica; c) sopra il pistone c è la pressione atmosferica e il peso. Se il gas fosse biatomico si avrebbe lo stesso risultato? Unità di apprendimento programmata di termodinamica n. Macchine termiche Esercizi su Obiettivo Saper calcolare il rendimento di una macchina termica reversibile note le trasformazioni costituenti il suo ciclo.. Un sistema termodinamico costituito da una mole di gas perfetto monoatomico funziona da macchina termica compiendo il ciclo D così definito: a) da (0 0 - m, P 0 Pa) a (P 0 Pa) mediante una isocora reversibile; b) da a ( m ) mediante una trasformazione isobara reversibile; c) da a D(P D P ) mediante una trasformazione isocora; d) da D ad mediante una isobara reversibile. alcolare il rendimento del ciclo. P(0 Pa) D 0 40 (0 - m ) Il rendimento è definito come il rapporto tra il lavoro compiuto dal sistema durante il ciclo e la quantità di calore assorbita dal sistema, cioè: W Q Q η che si può anche scrivere η H QH QH tenendo presente che il lavoro durante il ciclo è pari alla differenza tra la quantità di calore entrata Q H e quella uscita Q. alutiamo ora queste quantità esaminando le singole trasformazioni.. rasformazione. 000J 000J Q ΔU + W n Δ + 0 mol R ( ) mol R 400J molr molr rasformazione. Q ΔU + W mol R ( ) + P ( ) 0000J 000J mol R + 000J 700J molr molr rasformazione D. 07

14 8000J 0000J Q ΔU + W n Δ + 0 mol R ( D ) mol R 8000J molr molr rasformazione D. Q ΔU + W mol R ( D ) + P ( D ) 000J 8000J mol R 6000J 9000J J molr molr Per l intero ciclo abbiamo: W900J e per la differenza Q H -Q, tenendo presente che Q H e Q rappresentano in valore assoluto le quantità di calore assorbite ( quelle positive) e quelle cedute (quelle negative) si ha: QH Q J J 4000J 00' J 9000J Si noti che tale valore coincide con quello del lavoro W. Per il rendimento avremo quindi: 9000 η 0, % Un sistema termodinamico costituito da una mole di gas perfetto monoatomico funziona da macchina termica reversibile compiendo il ciclo così definito: a) da (0 0 - m, P 0 Pa) a (P 0 Pa) mediante una isoterma reversibile; b) da a mediante la trasformazione reversibile P cost; c) da a mediante una trasformazione adiabatica reversibile; alcolare le coordinate termodinamiche degli stati e e il rendimento del ciclo. P(0 Pa), 0 8,7 0 (0 - m ) Per trovare le coordinate del punto si osserva che trovandosi ed sulla stessa isoterma, deve essere: P 0 0 m 0 Pa P P da cui si ha 0 0 m P 0 Pa Il punto, invece, si trova sulla trasformazione di equazione P cost e sulla adiabatica di equazione P γ cost. Possiamo perciò scrivere: γ P P P P γ - P γ γ γ γ P P P P P P γ γ P 8,7 0 - m P P, 0 Pa (0 - m ) P (0 Pa) (K) ,7, 0 rasformazione isoterma : d Q 0 + W Pd nr nr ln 40J rasformazione : isogna tenere conto che P cost è equivalente a P / cost. 08

15 Q d R( ) + W Pd R( ) + cost R( ) + cost R( ) + cost R( ) + P c P R( ) + R R 7 R( ) 960J rasformazione : trattandosi di una trasformazione adiabatica Q Per quanto riguarda il rendimento del ciclo si ha : η 0,6 6% 960. Un sistema termodinamico costituito da una mole di gas perfetto monoatomico funziona da macchina termica reversibile compiendo il ciclo D così definito: a) da (0 0 - m, P 0 Pa) a (P0,8 0 Pa) mediante una isoterma reversibile; b) da a ( 0 - m ) mediante la trasformazione isobara reversibile; c) da a D mediante una trasformazione isoterma reversibile; d) da D ad mediante una isobara reversibile. alcolare le coordinate termodinamiche degli stati e e il rendimento del ciclo..4 alcolare il rendimento di una mole di gas perfetto monoatomico che funziona come macchina termica seguendo ognuno dei cicli descritti nell esercizio 4.. Obiettivo Saper calcolare il rendimento di una macchina termica irreversibile note alcune trasformazioni e alcune quantità di calore e/o alcuni lavori scambiati durante le varie trasformazioni.. Una mole di gas perfetto monoatomico funziona da macchina termica seguendo un ciclo formato dalle trasformazioni irreversibili,, : a) dallo stato (0 0 - m, P,0 0 Pa) allo stato (0 0 - m, P,0 0 Pa) scambiando con l esterno un lavoro pari a 7070J; b) dallo stato allo stato (8,7 0 - m, P, 0 Pa) scambiando con l esterno una quantità di calore pari a 00J c) Dallo stato allo stato scambiando con l esterno un lavoro di +00J. alcolare il rendimento della macchina termica. E necessario esaminare separatamente ogni trasformazione. rasformazione. QΔU+W0+(-7070J)-7070J Essendo negativa è ceduta dal sistema e ΔU è uguale a zero in quanto e sono alla stessa temperatura, come è possibile verificare dal fatto che P P P. rasformazione. Q00J che essendo positiva è assorbita dal sistema. rasformazione. 00J 4J Q U + W mol R + 00J 680J + 00J 70J molr molr Si ha perciò: QH Q η 0,6 6% Q H. Una mole di gas perfetto biatomico funziona da macchina termica seguendo un ciclo formato dalle trasformazioni,, : 09

16 a) dallo stato (0 0 - m, P,0 0 Pa) allo stato ( m, P0,0 0 Pa) secondo una isoterma reversibile; b) dallo stato allo stato (0 0 - m ) secondo una trasformazione isobara reversibile; c) Dallo stato allo stato mediante una trasformazione irreversibile scambiando con l esterno un lavoro di -060J. alcolare il rendimento del ciclo.. Due moli di gas perfetto biatomico compiono il ciclo : a) dallo stato (0 0 - m, P,0 0 Pa) allo stato ( m ) secondo una isobara reversibile; b) Dallo stato allo stato mediante una trasformazione irreversibile scambiando con l esterno un lavoro di -4040J. alcolare il rendimento del ciclo..4 Una mole di gas perfetto monoatomico è contenuta in un cilindro chiuso da un pistone di massa 0kg, come in figura. (Macchina di enussi) Il cilindro ha la parete di base conduttrice di calore e si trova a contatto con un termostato alla temperatura di 00K. Sul cilindro cade dal caricatore una palla di massa kg e conseguentemente il pistone di sezione 0,dm si abbassa. questo punto la parete conduttrice viene a contatto con una sorgente di calore a temperatura di 600K e il pistone porta la palla ad una certa altezza che rappresenta il nuovo stato di equilibrio del sistema. questa altezza la palla rotola fuori dal cilindro, per cui il pistone sale ulteriormente, raggiungendo la massima quota. Si sostituisce nuovamente il termostato con quello a 00K finché il pistone non si ritroverà nella posizione di caricamento. alcolare il rendimento del ciclo. ERMOSO Obiettivo Saper calcolare l efficienza di una macchina termica reversibile o irreversibile funzionante come frigorifero e come pompa di calore. onsiderare il ciclo dell esercizio. percorso in senso inverso. alcolare l efficienza della macchina frigorifera funzionante con tale ciclo inverso. L efficienza di una macchina frigorifera è definita come: Q Q ω dove Q è la quantità di calore W Q Q assorbita dal sistema che opera nel senso inverso. W è il lavoro fatto dall esterno sul sistema. Q è la quantità di calore che nell esercizio. corrisponde a Q e vale 000J. W è uguale al lavoro calcolato nell esercizio. e vale 9000J pertanto l efficienza sarà: 000 ω, Se vogliamo calcolare l'efficienza della macchina pensando di utilizzarla come pompa di calore allora la Q Q efficienza è definita come: ε ove Q rappresenta il calore ceduto ( pompato) dal sistema che W Q Q opera in senso inverso. alcolare l efficienza come frigoriferi e come pompa di calore degli esercizi dell'obiettivo, considerandoli sistemi funzionanti in senso inverso come frigoriferi e come pompe di calore. 0

17 4 Obiettivo Saper risolvere semplici problemi riguardanti il ciclo di arnot. 4. Un motore funziona tra due sorgenti di calore alla temperatura di 400K e 00K. a) Se in ogni ciclo il motore riceve 00 cal dalla sorgente a 400K quante calorie cede alla sorgente a 00K? b) Se il motore funziona a ciclo inverso, come frigorifero, sottrae 00cal dalla sorgente a 00K. Quante calorie cede alla sorgente a 400K? Sapendo che in un ciclo di arnot il rendimento vale: Q Q η per cui sostituendo si ha: Q cal Q η da cui segue 00cal Q 00cal cal Q 900cal Per quanto riguarda la seconda domanda bisogna guardare alla efficienza definita come Q Q 00 00cal ω sicchèω da cui Q 600cal W Q Q Q 00cal Q Q +W Q W Si ottiene lo stesso risultato ricordando che per un ciclo di arnot è in valore assoluto: Q 4. Un motore di arnot il cui rendimento è del 0%, cede calore ad un serbatoio alla temperatura costante di 0. Si desidera aumentare il rendimento al 40%. Di quanti gradi deve essere aumentata la temperatura della sorgente di calore? Sapendo che in un ciclo di arnot il rendimento vale: η e che 7K, si hanno le relazioni: 7K + Δ 7K 0, e 0,4 Da cui + Δ 0, - 7K cioè 90K e 0,4 + 0,4Δ + Δ 7K 7K 0,6 Δ 6K 0,6 Q 4. Determinare le temperature necessarie per ottenere un rendimento del 0% e del 70% da una macchina di arnot funzionante in senso diretto con il termostato inferiore a 00K. Se la macchina cede 00 cal a 00K, quante calorie assorbe a tali temperature? alcolare inoltre la efficienza dei cicli inversi se la macchina funzionasse da frigorifero tra tali temperature. 4.4 Determinare le due temperature e di una macchina di arnot funzionante in senso diretto con un rendimento del 60% supposto che se si aumentino entrambe le temperature di 00K, il rendimento sia diventato del 0%. olendo ottenere con queste temperature un lavoro di un kw, quante calorie bisogna far assorbire al sistema? Quante calorie vengono cedute al termostato a temperatura inferiore?

18 Obiettivo Saper applicare il teorema di arnot sui rendimenti delle macchine termiche a semplici problemi.. E possibile realizzare una macchina termica funzionante tra due termostati a temperatura rispettivamente di 00K e 00K, che abbia un rendimento del 70%? E possibile realizzarla con un rendimento del 0%? Il rendimento di una macchina termica non può essere superiore a quello di una macchina di arnot funzionante tra le temperature massima e minima dei termostati con i quali avviene lo scambio di calore. Pertanto calcoliamo il rendimento della macchina di arnot funzionante tra le temperature date: 00 η 40% 00 Questo è il massimo rendimento possibile. perciò è impossibile realizzare una macchina termica con un rendimento del 70%. E possibile invece realizzare una macchina termica con un rendimento del 0%. Si vuol realizzare una macchina termica che prelevi 000cal da un serbatoio di calore a temperatura 00K e ceda 00cal ad un altro serbatoio. Si dica quale deve essere la temperatura massima di questo serbatoio affinché la macchina sia realizzabile e per quale valore tale macchina è reversibile.. Una macchina termica ha il rendimento del 0% e assorbe una quantità di calore pari a 000cal. Sapendo che il calore viene ceduto ad un serbatoio a 0K calcolare la temperatura minima del termostato a temperatura maggiore affinchè la macchina sia realizzabile e per quale valore tale macchina è reversibile..4 E possibile che una macchina termica funzionante in senso diretto tra due serbatoi a 00K e a 00K assorba 0cal dal termostato a temperatura superiore e ceda 000cal al termostato a temperatura inferiore?. E possibile che una macchina termica reale funzionante tra le stesse temperature dell esercizio.4 scambi una quantità di calore di 00J con il termostato a temperatura superiore e 80 J con quello a temperatura inferiore?

19 Unità di apprendimento programmata di termodinamica n.4 Esercizi su emperature di equilibrio di due sistemi termodinamici in contatto termico ariazione di entropia di sistemi termodinamici e dell Universo 6 Obiettivo Saper calcolare la temperatura di equilibrio tra due sistemi termodinamici messi in contatto termico. 6. Un recipiente a pareti adiatermane è diviso da un setto pure adiatermano che lo divide in due parti uguali e. In è contenuta una mole di gas perfetto monoatomico alla temperatura di 00K e alla pressione di,0 0 Pa,. in una mole di gas perfetto biatomico alla temperatura di 400K. perto il rubinetto di comunicazione tra i due serbatoi e si attendono le condizioni di equilibrio. alcolare temperatura e la pressione di equilibrio. onsidero come sistema l insieme dei serbatoi e. Poiché durante la trasformazione non si hanno né interazioni meccaniche né scambi di calore con l esterno, per il primo principio della termodinamica essendo Q0, W ES 0 si ha ΔU0. (Si noti che il primo principio della termodinamica può essere scritto ed è valido indipendentemente dal tipo di trasformazione eseguita dal gas, purché siano noti lo stato iniziale e lo stato finale del sistema). Essendo poi ΔUΔU +ΔU dei due gas, possiamo scrivere: R( F 00K) + R( F 400K) 0 e con semplici passaggi si ottiene per la temperatura finale F 6,K. Dalla equazione di stato si ha per i serbatoi prima dell esperimento: Per P 0 mol R 00K e per P0 mol R 400K Dopo l esperimento essendo F 0 e il numero di moli uguale a due: molrf PF 0 mol R F da cui PF 0 onoscendo poi il valore di P,0 0 Pa, dalla prima si ottiene: molr,0 0 Pa,0 0 Pa da cui PF F,66 0 Pa. 0 00K 00K Si noti che la pressione nel serbatoio inizialmente era di 4,04 0 Pa.

20 6. Un calorimetro contiene l di acqua e 0,kg di ghiaccio alla temperatura di equilibrio di 0. Si introduce un blocco di metallo di massa m alla temperatura di 80 e si osserva che metà del ghiaccio fonde. Quale temperatura raggiungerebbe il sistema se il blocco di metallo avesse massa quadrupla? Si trascurino le perdite di calore del calorimetro verso l esterno e così pure la capacità termica del calorimetro. Infine, sapendo che il calore specifico è 0, cal/(g ) calcolare la massa del blocco. (Detto S il calore specifico del blocco di metallo, la quantità di calore ceduta da questo al calorimetro risulta: Q c m Δt c m 80 ) S S Il calore assorbito dal calorimetro, sapendo che il calore di fusione del ghiaccio è λ kj/kg risulta: J Q H m λ 0g 6600J g Da cui la capacità termica del blocco di metallo risulta: J J , 80 Se il blocco ha massa quadrupla si può senz altro dire che il ghiaccio si scioglie tutto (basterebbe per scioglierlo che fosse doppia), richiedendo 00J. Una volta sciolto il ghiaccio, la temperatura di equilibrio si ottiene considerando che nel calorimetro ci sono 00g di acqua a zero gradi. La quantità di calore ceduta dal metallo sarà: J cs 4m ( F I ) 4 ( F I ) 80 ( F 80 ) K La quantità di calore assorbita dal calorimetro sarà: 00J + c 00g( ') 00J ( 0 ) sh O F I F Sommando le due quantità ed eguagliando a zero, visto che il sistema è isolato, si ha: J J 00J F + 80 F 66400J 0 J 96 F 00J F, J La massa del blocco si ottiene considerando che è : 6600J 0, 4,86 m 80 g m 0g 6. Un calorimetro di capacità termica Σ0 cal/ contiene una massa ml di acqua alla temperatura di equilibrio di t 0. Si introduce una massa m 0,0kg di vapore acqueo alla temperatura di 00. Si determini la temperatura di equilibrio del sistema. Si trascurino le perdite di calore del calorimetro verso l esterno. Poiché il calore latente di ebollizione λ dell'acqua è di circa 0cal/g e la temperatura di equilibrio è compresa tra 0 e 00 si può impostare la equazione del bilancio termico, indicando con t e la temperatura di equilibrio: Σ t t + m c t t m λ + m t 00 ( ) ( ) ( ) 0 e e e cal cal cal 0 e e e g g Risolvendo si ottiene: t e 0, ( t 0 ) + 000g ( t 0 ) 0g ( t 00 ) alcolare la quantità di calore ceduta in ogni ora da un termosifone all ambiente dove si trova, sapendo che in esso circolano due litri di acqua al minuto che entrano alla temperatura di 80 ed escono alla temperatura di alcolare la quantità di calore necessaria per sciogliere 0 g di ghiaccio con temperatura iniziale di 0 e per portare l acqua ottenuta fino alla temperatura di 0. alore specifico del ghiaccio 0, cal/(g ) 4